2.3. П-теорема Букингама 1

Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или экспериментально представляют собой функциональные связи между величинами, характеризующими рассматриваемое явление. Они выражают собой физические факты, которые не должны зависеть от единиц измерения, хотя численные значения самих величин будут, естественно, зависеть от системы единиц. Поэтому функциональные зависимости должны обладать структурой, обеспечивающей выполнение указанного требования.

Пусть мы имеем некоторую размерную величину а, которая является функцией независимых между собой размерных величин а₁,а₂,……, a_n

a = f (а₁,а₂,….., а_k ,a_k+1,……, a_n) , (1)

некоторые из этих параметров могут быть переменными, некоторые – постоянными.

Выясним структуру функции f в предположении, что эта функция выражает некоторый конкретный физический закон, независимый от выбора системы единиц.

Пусть среди размерных величин а₁,а₂,……, a_n первые k величин имеют независимые размерности ( число основных единиц измерения должно быть  k). Это означает, что ни одна из первых k размерностей не может быть выражена через остальные.

Примем k независимых величин а₁,а₂,….., а_k за основные и обозначим их размерности как [a₁] = A₁, …., [a_k] = A_k . Тогда размерности остальных величин могут быть записаны в виде

[a] = A₁^m1… A_k^mk , [a_k+1] = A₁^p1... A_k^pk, …., [a_n] = A₁^q1, ….A_k^qk .

Изменим теперь единицы измерения величин а₁,…, a_n соответственно в z₁,..., z_k раз. Тогда в новой системе единиц имеем

a₁^ = z₁a₁ a^ = z₁^m1….z_k^mk a

a₂^ = z₂a₂ a^_k+1 = z₁^p1….z_k^pk a_k+1

…………………………………………..

a_k^ = z_ka_k a_n^ = z₁^q1….z_k^qk a_n

В новой системе единиц соотношение (1) примет вид

a^ = z₁^m1…z_k^mk a f (z₁а₁,z₂а₂,….., z_kа_k, z₁^p1….z_k^pk a_k+1,… , z₁^q1….z_k^qk a_n) . (2)

Поскольку масштабы z_i произвольны, выберем их следующим образом:

z₁ = 1/a₁, ….. z_k= 1/a_k. Тогда k первых аргументов функции f окажутся равными единице. Таким образом, число реальных аргументов будет равным n – k и численные значения параметров a, a_{k+1, … ,} a_n определятся формулами

П = а/( z₁^m1….z_k^mk), П₁ = a_k+1 /(z₁^p1….z_k^pk ), …, П_{n – k} = a_k+1 / (z₁^q1….z_k^qk) .

Нетрудно видеть, что значения П_, П₁, …, П_{n – k} не зависят от выбора первоначальной системы измерения, поскольку имеют нулевую размерность относительно A₁, …., A_k.

Используя относительную систему единиц, соотношение (1) можно представить в виде

П = f (1, 1, …,1, П₁, …, П_{n – k} ) . (3)

Таким образом, связь между n+1 размерными величинами можно пред-ставить в виде соотношения между n + 1 – k безразмерными комплексами. Этот вывод известен под названием П-теоремы или теоремы Букингема. В нем заключается основной источник полезных приложений метода теории размерностей к исследованию разнообразных физических задач.

Очевидно, что чем меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, по отношению к числу независимых размерностей, тем проще вести ее исследование. Это, в частности, определяет целесообразность сохра- нения некоторых дополнительных размерностей, о которых упоминалось выше. Впрочем выигрыш достигается лишь в том случае, если введение дополнительной основной единицы не связано с появлением дополнитель-ных физических размерных постоянных. Если в результате анализа мы получили лишь один комплекс П, то формула (3) примет вид

П = const (4)

В этом случае безразмерную величину П иногда называют автомодельной. Но само понятие автомодельности является более емким. Ниже мы кратко рассмотрим этот вопрос.

Теперь проиллюстрируем использование теории размерности на ряде примеров.