2.4.3. Теплоотдача тела в потоке жидкости

Рассмотрим далее еще один классический пример применения теории размерностей, на этот раз к теории теплообмена. Это рассмотренная Рэлеем

задача об установившейся теплопередаче к неподвижному телу, обтекаемому потоком, скорость которого на большом расстоянии от тела постоянна в пространстве. Мы несколько видоизменим его выводы, чтобы оставаться в рамках системы СИ.

Пусть Q – количество тепла, отдаваемое телом в единицу времени.

Жидкость считаем несжимаемой и идеальной. Величина Q зависит от следующих параметров:

l-характерного размера тела, U - скорости жидкости вдали от тела, Т – перепада температуры между телом и жидкостью вдали от тела, с_Р/ - объемной теплоемкости жидкости, - теплопроводности жидкости. Тогда можно записать

.Q = f (l, U, T, c_P, ) (13)

В качестве основных единиц измерения можно выбрать м, с, К. Дж, Заметим, что Релей, работа которого была написана в 1915 году, выбрал в качестве энергетической единицы калорию. Но поскольку в рассматриваемом нами процессе не происходит перехода механической энергии в тепловую, то это не приводит к какой-либо разнице. Итак

[Q]= Дж с^-1,[l] = м, [U] = м с^-1, [T]= К, [c_P]= дж м^-3 К, []= Дж м^-1с^-1 К^-1

Заметим, что в размерности всех переменных отсутствует масса. В соответствии с теорией мы можем составить два безразмерных комплекса – определяемый – Q/(lT) и определяющий lUc_P/). Отсюда имеем

Q/(lT) = f (lUc_P/)) (14)

Оба полученных комплекса широко используются в теории теплообмена. Первый из них носит название числа Нуссельта, а второй – числа Пекле. Зависимость (13), как это будет показано ниже, может быть получена также путем анализа уравнений конвективного теплообмена методами теории подобия. Поскольку эти комплексы мы будем неоднократно использовать ниже, то приведем их к форме, которая является общепринятой в настоящее время. Введем понятие о плотности теплового потока q. Она определяется как Q/F, где F – площадь поверхности тела. Очевидно, что F~ l². Тогда (13) можно переписать в виде

ql /(lT) = f₁ (lUc_P/))

Если далее ввести коэффициент теплоотдачи  = q/T, то с учетом, что c_P / = а запишем окончательно полученное выражение в виде

Nu = f₁(Pe) (15)

где Nu = l/, Pe = Ul/a

Заметим также, что Ре = Re Pr. Число Re уже было введено выше, а о числе Прандтля мы будем говорить при рассмотрении уравнений теплогид-родинамики.

Несколько слов о коэффициенте теплоотдачи . Выражение q =  T было введено еще Ньютоном и выражало гипотезу о линейности связи между тепловым потоком и разностью температур. Это предположение оказалось весьма удобным для решения уравнения теплопроводности, ибо обеспечивало линейность граничных условий и позволяло использовать аналитические методы. Однако при сильном отклонении от линейности использование величины  не дает существенных преимуществ. Такая ситуация имеет место, например, при кипении.

Теперь продолжим обсуждение формулы (13). В то время вывод Релея встретил возражение (Рябушинский) , которое состояло в том, что поскольку количество теплоты и температура имеют размерность энергии, если их рас-сматривать с точки зрения молекулярно-кинетической теории, то за основ-ные единицы измерения можно выбирать лишь массу, длину и время. В этом случае для температуры мы должны использовать размерность механической энергии - кг м² с^-2. Тогда для других переменных, связанных с тепловыми процессами мы получим следующие размерности с_Р/ = м^-3 и = м^-1с^-1.

При этом, учитывая, что число основных единиц измерения сократилось, мы получим уже две независимые безразмерные комбинации: luc_P/() и l³с_Р/. В результате приходим к формуле

Н/(lT) = f (luc_P/(), l³с_Р/.)

которая дает меньше сведений, чем формула (11). В приложении к реальным процессам смысл полученного дополнительного комплекса непонятен. В своем ответе Рябушинскому Релей резонно заметил, что «Мы бы имели дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молеку-лярной теории приводило бы нас к худшему положению, чем раньше…».

Таким образом, учет дополнительных соображений о механизме явления здесь не приводит к более информативному результату.

Однако, вывод Рэлея может быть дополнен иным образом. Снимем сделанное вначале предположение об идеальности жидкости. В этом случае к перечисленным выше физическим свойствам необходимо добавить вязкость. Учитывая, что мы использовали плотность для преобразование теплоемкости из массовой в объемную, добавим в правую часть уравнения (9) кинематическую вязкость , имеющую размерность м²с^-1. В этом случае мы получаем второй определяющий безразмерный комплекс – число Прандтля и вместо формулы (11) будем иметь зависимость

Nu = f(Re, Pr) , (16)

которая является общей формой связи между теплоотдачей и режимными параметрами.

Приведем еще два примера использования анализа размерностей для установления формы расчетных зависимостей.