ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур
1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах
1) , . |
|
2) , . |
|
3) , . |
|
1.2. Вычисление площадей фигур, заданных кривыми в параметрическом виде
Если кривая задана параметрическими уравнениями:
, , .
.
1.3. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат
Если - непрерывная функция, - площадь криволинейного сектора. |
|
2. Вычисление длины дуги кривой
2.1. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах
, .
2.2. Длина плоской и пространственной кривой, заданной в параметрическом виде
,
;
,
.
2.3. Длина кривой, заданной в полярных координатах
, , .
3. Площадь поверхности вращения
- площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной функцией у = , а х b .
Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t1 t t2 , то Qх = 2 .
Если дуга задана в полярных координатах = (), , то Qх = 2 .
4. Вычисление объемов тел
4.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений
, - площадь поперечного сечения.
4.2. Вычисление объемов тел вращения
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = , а х b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по формуле:
.
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , c y d, вращается вокруг оси Оу, то . Величина Vу может быть также вычислена интегрированием по х: Vу = .
5. Приложеия определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
5.1. Моменты и центры масс плоских кривых
Статические моменты дуги кривой, заданной уравнением с плотностью (если не указано, то ), относительно координатных осей Ох и Оу:
,
.
Моменты инерции
,
.
Координаты центра масс и :
,
,
где - масса дуги.
Теорема Гульдена.
Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
5.2. Физические задачи
С помощью определенного интеграла вычисляются:
- путь, пройденный телом, если известен закон его движения;
- работа переменной силы, совершаемая в различных процессах;
- давление на погруженную в жидкость с удельным весом вертикальную стенку, ограниченную кривой ;
- количество электричества, протекающее через сечение проводника при силе тока за время ;
- количество тепла, выделяющееся в проводнике с сопротивлением , через который протекает ток .
кинетическая энергия; величина действующей силы; время; объем и др.
ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 1. Вычисление площадей плоских фигур 1.2. Вычисление площадей фигур, заданных в прямоугольных координатах |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №1 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абсцисс . Решение:
S = = = 3. |
3 |
ПП 22 №2 |
Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у = 2х х2. Решение: Преобразуем уравнение параболы: у = 2х х2 = (х2 2х + 1) + 1, (у 1) = (х 1) 2. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой : (0,0) и (3,-3) S = = = ==. |
|
ПП 22 №3 |
Вычислите площадь эллипса . Решение: , ,. |
|
ПП 22 №4 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: х = 4 (у 1)2 и х = у2 4у + 3. РЕШЕНИЕ: Найдем точки пересечения графиков функций х = 4 (у 1)2 и х = у2 4у + 3: 4 (у 1)2 = у2 4у + 3 2у (у 3) = 0 у = 0; 3. == == = 9. |
9 |
1.2. Вычисление площадей фигур, заданных кривыми в параметрическом виде |
||||||||||||||||||||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
||||||||||||||||||
ПП 22 №5 |
Вычислите площадь эллипса. Решение: Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид: , .
|
|||||||||||||||||||
ПП 22 №6 |
Найдите площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = а (t sin t); у = а (1 cos t) и отрезком оси абсцисс Решение: Точкам О и А соответствуют значения параметра tО = 0 и tА = 2, искомая площадь равна S=== == =а2 = 3a2. |
3a2 |
||||||||||||||||||
ПП 22 №7 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , х = (х ). РЕШЕНИЕ: Найдем точки пересечения астроиды и прямой х = : = 32cos3t cos3t = cos t = t1 = , t2 = .
|
|||||||||||||||||||
ПП 22 №8 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями РЕШЕНИЕ:
Точки пересечения линий: 2 2сos t = 3; сos t = , t a = x = , b = x = + . Площадь заштрихованной области: S== = = = = = = = = = = = = 4 = 4 = 3 5,196152. |
5,196152 |
1.3. Площадь фигур, заданных в полярной системе координат |
||||||||||||||||||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
||||||||||||||||
ПП 22 №9 |
Вычислите площадь круга . Решение: В силу симметрии достаточно вычислить половину искомой площади. |
|||||||||||||||||
ПП 22 №10 |
Найдите площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли 2 = а2 сos2 . Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади: = = = . |
а2 |
||||||||||||||||
ПП 22 №11 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 6 sin , r = 4 sin . РЕШЕНИЕ: Линии в полярных координатах r = 6 sin и r = 4 sin представляют собой окружности, смещенные вверх по оси Оy, с радиусами 3 и 2 соответственно. S = - площадь фигуры, ограниченной линией = (). Площадь фигуры, заключенной между окружностями: S = S1 S2 = == ==== = = 5 15,708. |
15,708 |
||||||||||||||||
ПП 22 №12 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 1 = cos 2 = , . РЕШЕНИЕ: 1: 2 = х2 + у2 = х - окружность с центром в точке О1 и радиусом R1 = ; 2 = – окружность с радиусом R2 = , центром в точке О2 (получается поворотом = cos на и увеличением радиуса в раз).
Площадь заштрихованной фигуры: S = + = = + = =+ = =+ = =+= = 0,535598. |
0,535598 |
||||||||||||||||
ПП 22 №13 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией
РЕШЕНИЕ: 0 1 + 0 сos , тогда . сos - четная функция, фигура симметрична относительно оси Ох.
S = == = = == = = ( + 1) 6,212389. |
6,212389 |
||||||||||||||||
ПП 22 №14 |
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 1 = 4 sin 3, 2 = 2 ( 2). РЕШЕНИЕ: sin 3 0 2n 3 + 2n, n z, . На интервале (0, 2) укладывается три периода функции sin 3. Составим таблицу для и учтем периодичность:
Найдем угол , соответствующий точке пересечения линий : 4sin 3 = 2; sin 3 = ; 3 = ; = . Половина площади одной "луночки": Sл = = = = = = == == =2 = 2 == + . Площадь всех заштрихованных областей: S = 6 Sл = 7,652892. |
7,652892 |
ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 2. Вычисление длины дуги кривой 2.1. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах
|
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №15 |
Вычислите длину кривой между точками . Решение:
|
|
ПП 22 №16 |
Вычислите длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат уравнением у = , 0 х 3. РЕШЕНИЕ: у = = chх , у = shх. l = = = = = (т.к. ch2х sh2х = 1)= = = sh 3 sh 0 = sh3 10,0179. |
|
2.2. Длина плоской и пространственной кривой, заданной в параметрическом виде |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №17 |
Вычислите длину винтовой линии . Решение:
|
|
ПП 22 №18 |
Вычислите длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: , 0 t . l = . l = = = 10,0179. |
|
2.2. Длина кривой, заданной в полярных координатах |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №19 |
Вычислите длину окружности. Решение:
|
|
ПП 22 №20 |
Вычислите длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах = 6 sin , 0 . l = . Линия представляет собой часть дуги окружности, с центром в точке (0; 3) и радиусом, равным 3. l = = = 2 6,28319. |
6,28319 |
ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 3. Площадь поверхности вращения |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №21 |
Найдите площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох. Решение: у = (а2/3 х2/3)3/2, у = (а2/3 х2/3)½( х1/3) = , = . Qх = 22 = = = =4а1/3=а2. |
а2 |
ПП 22 №22 |
Найдите площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = а (t sin t), у = а (1 cos t) вокруг оси Ох. Решение: х = а (1 cos t), у = а (sin t), = = = а = 2а sin. Qх = 2 = =8а2 = = 16а2 = а2. |
а2 |
ПП 22 №23 |
Найдите площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды = 2а (1+ cos) вокруг полярной оси. Решение: = 2а sin , = = 4а сos. Qх =2 = = 64 а2 =. |
ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 4. Вычисление объемов тел 4.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений |
|||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
|
ПП 22 №24 |
Найдите объём тела, основанием которого является круг с радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, представляет собой равнобедренный треугольник высотой h. Решение: Выберем систему координат, начало которой совпадает с центром круга. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, - равнобедренный треугольник с основанием 2у = 2 и высотой h; S(х) = = , V = = == = . |
||
ПП 22 №25 |
Найдите объем эллипсоида . Решение:
. . |
||
ПП 22 №26 |
Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями , z = 7, z = 0. Первая поверхность представляет собой эллипсоид с полуосями 4, 13, 14 соответственно, вторая и третья поверхности – плоскости, параллельные координатной плоскости Оxy.
S = . Найдем S (z) = 1 = 1. , S (z) = а b = 12 . V = = = = 12 241,903. |
241,903 |
|
4.2. Вычисление объемов тел вращения |
|||
ПП 22 №27 |
Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у2 = (х 1)3 и прямой х = 2 Решение: Vх = = = . |
||
ПП 22 №28 |
Найдите объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение: , . |
||
ПП 22№29 |
Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной графиками функций
РЕШЕНИЕ: Перепишем уравнения линий в виде
V = + V = + = = += = + = = = = 0,896602. |
0,896602 |
ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 5. Приложеия определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 5.1. Моменты и центры масс плоских кривых |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 22 №30 |
Найдите координаты центра масс дуги окружности , 0 t /2, . РЕШЕНИЕ: l = .
|
(,) |
ПП 22 №31 |
Найдите координаты центра масс полуокружности . РЕШЕНИЕ: Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна . По теореме Гульдена имеем . Отсюда , т.е. центр масс имеет координаты . |
5.2. Физические задачи |
||
ПП 22 №32 |
Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найдите путь, пройденный телом, за 5 сек от начала движения. РЕШЕНИЕ: м. |
150 м |
ПП 22 №33 |
Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? РЕШЕНИЕ: Работа переменной силы, действующей вдоль оси Ох на отрезке , выражается интегралом . Закон Ньютона: , М – масса Земли, r – расстояние массы m от центра Земли, k – гравитационная постоянная. На поверхности r=R, F=mg, mg=k , . При |
|
ПП 22 №34 |
С какой силой жидкость плотности давит на вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой h, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверхности? РЕШЕНИЕ: По закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности давит на площадку S при глубине погружения Н, равна . Рассмотрим элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине x, имеющую основание b и высоту dx. Из подобия треугольников CAB и CDE: . Сила давления жидкости на всю пластинку равна: |
|
ПП 22 №35 |
Два электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии 10 см. Сначала оба заряда закреплены, затем освобождается. Какую работу совершит сила отталкивания, если заряд а) удалится на расстояние 30 см; б) удалится в бесконечность? РЕШЕНИЕ: Закон Кулона: . а) ; б) . |
, |
ПП 22 №36 |
Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой и радиусом на его стенки, если плотность . РЕШЕНИЕ: Элемент давления на поверхность стенки в выделенной полоске выразится так: , откуда . |
|
ПП 22 №37 |
Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см? РЕШЕНИЕ: По закону Гука растягивающая сила . Коэффициент пропорциональности находим из условия: если , то , следовательно, , . . |
|
ПП 22 №38 |
Определить работу, необходимую для запуска ракеты для запуска ракеты весом с поверхности Земли на высоту . РЕШЕНИЕ: Сила притяжения тела Землей или вес тела зависит от расстояния до центра Земли: , – постоянная. Если – вес тела на поверхности Земли, т.е., , откуда и сила, преодолеваемая двигателем ракеты на высоте от поверхности Земли: . , . . |
|
ПП 22 №39 |
Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси взять одно масло. РЕШЕНИЕ: Удельный вес воды , удельный вес масла . Сила давления масла на верхнюю половину стенки: . Давление на глубине складывается из давления столба масла высотой и столба воды высотой : , . Полное давление смеси на стенку: . Если сосуд наполнить только маслом: , . |
|