ПП_27_Диф_Ур 4
.docПП 27 системы дифференциальных уравнений
№ п/п |
ЗАДАЧИ ПП 27 1. Метод исключения неизвестных |
Ответ |
|
№ 1 |
Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений . Решение: Метод исключения неизвестных позволяет свести систему дифференциальных уравнений для двух неизвестных функций и к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка для одной из этих функций. Дифференцируя первое уравнение системы и заменяя у с помощью второго уравнения системы, получим Выразим у из первого уравнения системы , подставим в предыдущее уравнение, получим
- НЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решим НЛДУ методом неопределенных коэффициентов. 1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: . Характеристическое уравнение с корнями , . . 2) Находим частное решение уравнения. . Подставляя это решение в уравнение, находим неопределенный коэффициент А: , т.е. . 3) Общее решение уравнения имеет вид: . Вторую неизвестную функцию получаем из формулы . Общее решение системы имеет вид: Для решения задачи Коши подставим начальные условия в систему. При этом возникает система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и , . Решение задачи Коши:
|
||
№ 2 |
Найдите решение системы Решение: Продифференцируем первое уравнение: ; подставим из второго уравнения: ; получим НЛДУ второго порядка для : . Его решение , , , , , , , . . |
||
№ 3 |
Решите систему Решение: Дважды продифференцируем первое уравнение , подставим во второе , , , , .
|
||
№ 4 |
Найдите решение системы: Решение: Перепишем систему в других обозначениях: где , . Продифференцируем первое уравнение , подставим значение из второго уравнения, тогда , , откуда и . Из первого уравнения найдем . |
||
№ 5 |
Найдите решение системы Решение: . Корни действительные, разные: , , , . |
||
2. Метод интегрируемых комбинаций |
|||
№ 6 |
Решите систему: . Решение: Складывая почленно уравнения системы, получаем , . Вычитая уравнения, получаем , , , . Из системы получаем решение в виде:
|
||
№ 7 |
Решите систему: . Решение: Составим интегрируемые комбинации:
Решением системы является линия пересечения поверхностей: |