- •Пп № 3. Системы линейных уравненИй основные определения и формулы Системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •Правило Крамера
- •Системы m линейных уравнений с n неизвестными
- •Теорема КронекераКапелли
- •Однородные системы
- •Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными Эквивалентные преобразования системы:
Пп № 3. Системы линейных уравненИй основные определения и формулы Системы n линейных уравнений с n неизвестными
В матричной форме система имеет вид , где
, , .
Правило Крамера
Если главный определитель системы линейных уравнений , то есть матрица А имеет обратную , то система имеет, и притом единственное решение
,
или, в покомпонентной записи,
, ,
где - определители, получаемые из главного определителя системы заменой -го столбца на столбец свободных членов:
, ,… .
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
,
- расширенная матрица системы, - основная матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец свободных членов.
Система линейных уравнений называется неоднородной, если матрица не является нульматрицей , и называется однородной, если .
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
Теорема КронекераКапелли
Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:
.
Если то система решений не имеет.
Eсли , то возможны два случая:
1) (числу неизвестных) решение единственное и может быть получено по формулам Крамера;
2) решений бесконечно много.
Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными в случае бесконечного числа решений, если и
1) Из коэффициентов матрицы системы выберем любой отличный от нуля минор порядка
в качестве базисного,
– базисные неизвестные, а – свободные неизвестные.
2) Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:
3) Найдем решение этой системы по формулам Крамера или матричным способом.
При этом базисные неизвестные выражаются через свободные.
Если свободные неизвестные принимают значения , то общее решение неоднородной системы имеет вид:
,
здесь система вектор-столбцов
называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений получается из общего решения, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.
Однородные системы
.
Однородная система всегда совместна ( ), так как имеет тривиальное решение .
Для того чтобы однородная система имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимо и достаточно, чтобы = .
Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными
имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы .
Если , то заведомо , возникают свободные неизвестные , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
Общее решение при имеет вид:
и совпадает с соответствующим общим решением неоднородной системы при .
Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными Эквивалентные преобразования системы:
1) перемена местами двух любых уравнений системы;
2) умножение любого уравнения системы на произвольное число ;
3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число .
Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования элементов расширенной матрицы системы .
С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы может быть приведена к виду
,
и система принимает вид:
.
Если хотя бы одно из чисел , …., отлично от нуля, то система несовместна.
Если =….= = 0, то система совместна и выражения для базисных неизвестных через свободные очевидны.
Сформулируем алгоритм Жордана-Гаусса как преобразование строк матрицы к верхнему треугольному виду, которое позволяет не только вычислить ранги матриц и , но и записать решение системы.
ПП №3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИй
|
||
№ п/п |
Задание |
Ответ |
ПП 3.№1. |
Решите систему линейных уравнений матричным методом РЕШЕНИЕ: , , , |
|
ПП 3.№2. |
Решите систему РЕШЕНИЕ: , , , , по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.
|
несовместна |
ПП 3.№3. |
Решите систему линейных уравнений и ответьте на вопросы об этой системе. РЕШЕНИЕ: , , , . По формулам Крамера , , и .
Данная система линейных уравнений: 1) однородна - нет; 2) неоднородна - да; 3) основная матрица системы имеет ранг, равный единице - нет; 4) основная матрица системы имеет ранг, равный двум - нет; 5) основная матрица системы имеет ранг, равный трем - да; 6) основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет; 7) ранг прямой матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет; 8) ранг прямой матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да; 9) система несовместна - нет; 10) система совместна - да; 11) может быть решена методом Крамера - да; 12) может быть решена методом Гаусса - да; 13) имеет базисный минор первого порядка - нет; 14) имеет базисный минор второго порядка - нет; 15) имеет базисный минор третьего порядка - да; 16) имеет базисный минор более третьего порядка - нет; 17) имеет одно базисное неизвестное - нет; 18) имеет два базисных неизвестных - нет; 19) имеет более двух базисных неизвестных - да; 20) не имеет свободных неизвестных - да; 21) имеет одно свободное неизвестное - нет; 22) имеет более двух свободных неизвестных - нет; 23) решений не имеет - нет; 24) имеет единственное решение - да; |
|
ПП 3.№4. |
Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы . Если , то неизвестные можно найти по формулам Крамера: , , , . Вычислим основной определитель матрицы системы разложением по элементам первой строки:
Чтобы получить определитель , заменим в первый столбец столбцом свободных членов
Аналогично вычисляем и : , , . Отсюда , , , , . |
|
ПП 3.№5. |
Решите систему линейных уравнений
РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы
. Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению: . В качестве базисного неизвестного выберем , остальные неизвестные считаем свободными. При , , , выразим базисное неизвестное через эти параметры: . Итак, . |
|
ПП 3.№6. |
Решите систему линейных уравнений
РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы
В левом верхнем углу матрицы стоит треугольный определитель , его можно считать базисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера – Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью преобразований получим: . Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:
Базисный минор содержит базисные неизвестные , , . Свободными являются неизвестные . Придадим свободным неизвестным значения и перенесем их в правую часть уравнений:
|
|
ПП 3.№7. |
Решите систему линейных уравнений
РЕШЕНИЕ: Воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:
. В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка , значит ранг прямой матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна. Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования :
Восстановим по матрице решение системы уравнений при : . |
|
ПП 3.№8. |
Решите систему линейных уравнений
РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы уравнений
. Система несовместна, так как ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспомогательное преобразование : . Таким образом, элемент = 1, что удобно для вычислений. С помощью преобразования , получим
. Ранг прямой матрицы равен 3, так как она содержит минор
третьего порядка и не содержит отличных от нуля определителей большего порядка. Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор
четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система несовместна. |
несовместна |
ПП 3.№9. |
Решите систему уравнений и ответьте на вопросы об этой системе. РЕШЕНИЕ: Ранг основной матрицы системы равен двум и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. В качестве базисных неизвестных выберем , а z считаем свободным. Система, равносильная исходной имеет вид . При , , .
Данная система линейных уравнений: 1) однородна - да; 2) неоднородна - нет; 3) основная матрица системы имеет ранг, равный единице - нет; 4) основная матрица системы имеет ранг, равный двум - да; 5) основная матрица системы имеет ранг, равный трем - нет; 6) основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет; 7) ранг прямой матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет; 8) ранг прямой матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да; 9) система несовместна - нет; 10) система совместна - да; 11) может быть решена методом Крамера - нет; 12) может быть решена методом Гаусса - да; 13) имеет базисный минор первого порядка - нет; 14) имеет базисный минор второго порядка - да; 15) имеет базисный минор третьего порядка - нет; 16) имеет базисный минор более третьего порядка - нет; 17) имеет одно базисное неизвестное - нет; 18) имеет два базисных неизвестных - да; 19) имеет более двух базисных неизвестных - нет; 20) не имеет свободных неизвестных - нет; 21) имеет одно свободное неизвестное - да; 22) имеет более двух свободных неизвестных - нет; 23) решений не имеет - нет; 24) имеет единственное решение - нет; 25) имеет бесконечно много решений - да. |
|
ПП 3.№10. |
Решите систему РЕШЕНИЕ: Рассмотрим матрицу системы:
. Следовательно, . Выберем и в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:
Полагая , , где и произвольные числа, получаем общее решение однородной системы в виде: .
|
|
ПП 3.№ 11. |
Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений:
Матрица коэффициентов
имеет ранг r=2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор . Тогда укороченная система имеет вид
откуда, полагая , , , находим
Общее решение системы
Из общего решения находим фундаментальную систему решений , , . С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде: . |
|