Пп № 4. Векторная алгебра Основные определения и формулы
В ектор - направленный отрезок.
Векторы коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
- два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Линейные операции над векторами
С уммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).
Свойства:
1 ˚.
2˚.
3˚.
4 ˚. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что .
Разностью векторов и будет вектор ,
идущий из конца вектора к концу вектора .
Произведением вектора на вещественное число .
Свойства операции умножения вектора на число:
5 ˚.
6˚.
7˚.
8˚.
Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
Линейной комбинацией векторов называют выражение:
,
где - произвольные действительные числа.
Система векторов называется линейно зависимой, если существуют действительные числа , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:
. (*)
В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех , то система векторов называется линейно независимой.
Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.
Геометрические критерии линейной зависимости
Система двух ненулевых векторов линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны.
Система трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Базис и координаты
Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.
Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.
Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:
.
При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.
Системой координат в пространстве называют совокупность базиса и некоторой точки, называемой началом координат.
Вектор , идущий из начала координат в точку , называется радиус-вектором точки .
Координатами точки называются координаты вектора .
Таким образом, координаты радиус-вектора и координаты точки совпадают.
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначения: ,
Т акой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векторы . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:
Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: – порождает ; – порождает ; – порождает . Координаты точки М (вектора ) в декартовой системе координат по осям , , называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Декартовы прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси , , соответственно; другими словами,
, , .
Здесь – углы, которые составляет вектор с координатными осями , , соответственно, при этом , , называются направляющими косинусами вектора .
Вектор представляет собой вектор единичной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
.
П роекция вектора на ось l - величина А`В` равна
, где - орт оси l.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .
Если , , то .
Алгебраические и геометрические свойства:
1°. Переместительное свойство: .
2°. Сочетательное свойство:
3°. Распределительное свойство: , .
4°. , если , и , если .
5°. ; .
6°. .
7°. = , .
8°. : - условие перпендикулярности.
9°. , - длина вектора.
10°. , , – расстояние между двумя точками.
11°. Направляющие косинусы вектора: , , ; cos2 α + cos2 β + cos2 = 1
ПП 4.1. Векторы, базисы, координаты |
||
№ п/п |
Задание |
Ответ |
ПП 4 .№1 |
З адан тетраэдр . В базисе из ребер , и найдите координаты вектора , где – точка пересечения медиан основания . РЕШЕНИЕ: Воспользуемся правилом треугольника: . Здесь – середина ребра ; точка находится на расстоянии длины медианы считая от вершины . Но
. Подставим в :
, то есть = . |
= |
ПП 4 .№2 |
В пространстве заданы треугольники и ; и – точки пересечения медиан этих треугольников соответственно. Разложите вектор по базису векторов , , . РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . . Найдем: ; ; ; ; ; ; . После последовательных подстановок
то есть = . |
= |
ПП 4 .№3 |
В треугольнике разложите биссектрису по базису векторов и . РЕШЕНИЕ: Пусть , , лежит на стороне . , где . Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: и тем, что . Отсюда следует, что . Итак,
|
|
|
ПП 4. №4 |
В треугольнике через обозначена точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов . РЕШЕНИЕ: О бозначим , , . Из рисунка по свойству медиан получаем, что . |
|
ПП 4 .№5 |
Д окажите, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении считая от вершины. РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . Отложим на медиане расстояние от вершины и поставим точку . Тогда
. Отложим от вершины по медиане расстояние и поставим точку . Найдем координаты вектора в базисе векторов и .
Но это координаты вектора . Таким образом, точка и точка совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы и в отношении считая от вершины. |
ПП 4 .№6 |
Т очки и – середины сторон и четырехугольника . Докажите, что . Выведите теорему о средней линии трапеции. РЕШЕНИЕ: , , , , . Если - трапеция, стороны и параллельны, тогда - свойство средней линии трапеции. |
ПП 4.2. Переход к новому базису. Преобразование координат |
||
ПП 4. №7 |
В пространстве векторы , заданы своими координатами в базисе . Докажите, что система векторов представляет собой базис в пространстве , и найдите координаты вектора в этом базисе, если , , , . РЕШЕНИЕ: Проверим, что - базис в пространстве :
значит - базис. Найдем координаты вектора в базисе двумя способами. 1-й способ: . Подставим выражения для , , . Тогда . Но
. 2-й способ: Запишем матрицу преобразования координат базиса к базису : ,
Найдем обратную матрицу:
, Координаты вектора в новом базисе обозначим .
|
или
|
|
ПП 4.3. Построение ортогонального базиса |
|
ПП 4 .№8 |
Применяя последовательный процесс ортогонализации Шмидта к системе векторов пространства , постройте ортогональный базис, если . РЕШЕНИЕ: Процесс ортогонализации состоит в следующем. Из неортогонального базиса строят новый, ортогональный базис по формулам:
Проделаем эту процедуру.
.
Осталось нормировать базис . В итоге получаем: , , . |
, , . |
ПП 4.4. Декартов прямоугольный базис |
||
Направляющие косинусы и координаты |
||
ПП 4 .№9 |
В трапеции с основаниями и известны векторы , , . Найдите сумму координат вектора , где и - середины сторон и . РЕШЕНИЕ: , . . |
3 |
ПП 4 .№10 |
Даны точки , , . Найдите сумму координат точки , если РЕШЕНИЕ: , , .
. Сумма координат равна (6). |
-6 |
ПП 4 .№11 |
Дан модуль вектора и углы , и , которые он составляет с координатными осями , и соответственно. Вычислите проекции вектора на координатные оси. РЕШЕНИЕ: ; ; . =
|
|
ПП 4. №12 |
Даны векторы и . Вычислите направляющие косинусы вектора . РЕШЕНИЕ: . . ; ; . |
, ,
|
ПП 4 .№13 |
Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: , , ? РЕШЕНИЕ: Для направляющих косинусов выполняется равенство . Проверим его справедливость. равенство выполняется. |
да |
ПП 4. №14 |
Д аны точки , , . Найдите длину медианы треугольника . РЕШЕНИЕ: Координаты точки (середины ) , , . |
7 |
ПП 4. №15 |
Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах и , если , , , . РЕШЕНИЕ:
Пропорциональность компонент не выполняется, векторы неколлинеарны. |
нет |
ПП 4.5. Скалярное произведение векторов |
||
ПП 4. №16 |
Найдите а) и б) , если , , . РЕШЕНИЕ: а)
. |
а) , б) |
ПП 4 . №17 |
Найдите , если , . РЕШЕНИЕ:
|
|
ПП 4. №18 |
Найдите косинус угла между векторами и , если , , . РЕШЕНИЕ:
|
-1 |
ПП 4. №19 |
Вычислите синус угла, образованного векторами и . РЕШЕНИЕ: Найдем косинус нужного угла:
Так как угол между векторами , |
. |
ПП 4. №20 |
Для вектора найдите ортогональную составляющую базисного орта и ортогональную составляющую в плоскости векторов и . РЕШЕНИЕ: Найдем проекцию вектора на орт : Таким образом, ортогональная составляющая вектора вдоль равна , так как и , она ортогональна плоскости векторов и .
в плоскости и лежит составляющая . |
|
|
ПП 4. №21 |
Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4. РЕШЕНИЕ: П усть , . Тогда . Находим медианы треугольника: ,
. Осталось найти требуемое отношение:
|
ПП 4. №22 |
П окажите, что четырехугольник ромб, если , , , . Найдите угол при вершине ромба. РЕШЕНИЕ: ; ; ; ; ; ; .
и – ромб. , . |
|
ПП 4. №23 |
Докажите, что вектор перпендикулярен вектору . РЕШЕНИЕ: . |
|
ПП 4. №24 |
Д окажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифагора. Доказательство: а) Рассмотрим треугольник , построенный на векторах и . Пусть третья сторона . Тогда ,
Теорема косинусов доказана. б) При получаем теорему Пифагора. |
|
ПП 4. №25 |
Д окажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. РЕШЕНИЕ: Пусть и – стороны ромба. и - его диагонали. так как для ромба , и диагонали ромба взаимно перпендикулярны. |