ПП_5_3_Ряды_Фурье
.pdfПП5.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
5.3.1.Гармонический анализ. Основные положения
Гармоническим колебанием называется периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса.
Основной гармоникой называется простейшая периодическая функция вида y = f (x ) = a sin (ω x + ϕ0 )= a co s (ω x − ϕ0 ), где a – амплитуда, ω -
круговая частота, ϕ0 - начальная фаза колебания.
Если независимая переменная - время t , то величина y = f (t ) совершает
гармоническое колебание с периодом T = |
2π |
и частотой ν = |
1 |
= |
ω |
. |
|
ω |
T |
|
|||||
|
|
|
|
2π |
|||
Функции a2 sin (2ωx +ϕ0 ), a3 sin (3ωx +ϕ0 ), ... |
называются высшими |
гармониками относительно основной (второй, третьей, и т.д.).
Основная гармоника может быть представлена в виде суммы двух тригонометрических функций одного и того же аргумента:
a sin (ωx + ϕ0 )= a sin ωx cosϕ0 + a cos ωx sin ϕ0 = A sin ωx + B cos ωx .
Функции sin x и cos x являются периодическими с периодом T = 2π . Функции sin 2x и cos 2x , sin 3x и cos3x ,… также имеют период 2π . Любая линейная комбинация вида
a0 +a1 cos x +b1 sin x +a2 cos 2x +b2 sin 2x +... |
(1) |
также является периодической с периодом T = 2π . |
|
Гармонический анализ используется для изучения |
периодических |
процессов. Любая величина f (t ), связанная с периодическим процессом,
по истечении периода T возвращается к своему первоначальному значению, т.е. является периодической функцией с периодом T .
Сущность гармонического анализа заключается в представлении функций, описывающих периодические процессы, в виде конечной или бесконечной суммы гармонических колебаний вида (1); гармонический анализ состоит в разложении периодических функций в сходящийся ряд Фурье.
5.3.2. Ортогональные системы функций
Предварительно укажем следующие утверждения, которые следует знать для дальнейшего изложения.
1)Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Если f (−x)= − f (x), то
∫a f (x)dx = 0 .
−a
2)f (−x)= f (x), f (x) – четная функция:
∫a f (x)dx =2∫a f (x)dx.
−a 0
1
3)Если функция f (x) имеет период 2π, то интеграл от нее по любому отрезку длины 2π имеет одно и то же значение, т.е.
a+∫2π |
f (x)dx = 2∫π |
f (x)dx. |
||
a |
|
|
0 |
|
Пусть функции |
f1 (x) |
и |
f2 (x) заданы на отрезке x [a,b,], а произве- |
|
дение этих функций |
f1 (x) |
f2 (x) интегрируемо на этом отрезке. |
||
Функции f1 (x) |
и f2 (x) |
|
называются ортогональными на отрезке |
[a,b], если ∫b f1 (x)f2 (x)dx =0.
a
Рассмотрим систему периодических тригонометрических функций с общим периодом 2π : {cos0 =1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... cos nx, sin nx,... }.
Эти функции ортогональны на отрезке [−π, π], а значит, в силу утверждения 3) и на любом отрезке [a, a + 2π].
Интегралы:
|
|
|
π∫sin nxdx =0, |
|
π∫cos nxdx =0, |
π∫cos mxsin nxdx = 0, |
|
|
|
|
−π |
−π |
−π |
||
при m ≠ n : |
π∫ cos mx cos nx dx = 0 |
, |
π∫sin mxsin nxdx =0 , |
||||
|
|
|
−π |
|
−π |
|
|
при m=n: |
π∫sin2 nx dx =π ; |
|
π∫cos2 nx dx =π . |
||||
|
|
|
−π |
|
−π |
|
|
5.3.3. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье |
|
||||||
Функциональный ряд вида: |
|
|
|
||||
|
a0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
+a1 cos x +b1 sin x + a2 cos 2x +b2 sin 2x +... = a0 + ∑(an cos nx +bn sin nx) |
||||||
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
n=1 |
называется тригонометрическим рядом, а постоянные числа an , bn , (n =1, 2, 3...) называются коэффициентами ряда.
Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π
Если: 1) f (x) – периодическая функция с периодом 2π;
2)f (x) интегрируема на интервале (−π ,π );
3)f (x) для всех x (−π ,π ) является суммой тригонометрического
|
|
a0 |
∞ |
|
|
ряда, |
f (x)= |
+ ∑(an cos nx +bk sin nx), равномерно сходящегося к |
|||
|
|||||
f (x) |
2 |
n=1 |
интервал (−π ,π ), |
||
на любом отрезке, вложенном в |
|||||
то для коэффициентов тригонометрического |
ряда справедливы |
2
формулы Фурье: |
|
|
|
|
|||
a0 = |
1 |
π∫ f (x)dx, an = |
1 |
π∫ f (x)cos nx dx, bn = |
1 |
π∫ f (x)sin nx dx ; |
|
|
|
||||||
π |
π |
||||||
π |
|||||||
|
|
−π |
|
−π |
|
−π |
числа an , bn называются коэффициентами Фурье функции f (x), а
тригонометрический ряд, коэффициентами которого служат эти числа, – рядом Фурье функции f (x).
Если функция f (x) разлагается в равномерно сходящийся триго-
нометрический ряд, то этот ряд является ее рядом Фурье.
5.3.4. Разложение функций в тригонометрические ряды
Вопрос о возможности разложения функции f(x) в тригонометрический ряд сводится к ответу на вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция f (x), чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и
его сумма совпала с f (x).
В отличие от степенных рядов, в которые разлагаются только функции, имеющие производные всех порядков, в тригонометрические ряды разлагаются почти любые периодические функции.
Функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], ес-
ли этот отрезок с помощью конечного числа точек x1, x2,…, xn-1 можно разбить на интервалы так, что на каждом из них функция f (x) непрерыв-
на и монотонна.
Кусочно-монотонная и ограниченная на [a,b] функция f (x) может иметь только конечное число
точек разрыва I рода.
Если в точке x=c имеет место разрыв, то в силу монотонности функции f (x) слева от точки с суще-
ствует предел lim f (x)= f (c −0), а в силу монотон-
x→c−0
ности справа существует предел lim f (x)= f (c +0).
x→c+0
Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
Если функция f (x) с периодом 2π ограничена и кусочномонотонна на отрезке [−π,π], то ряд Фурье, построенный для f (x), схо-
дится во всех точках этого интервала. При этом:
1) сумма S(x) этого ряда равна f (x) в точках непрерывности функции f (x);
2) если точка х = с является точкой разрыва f (x), то сумма ряда Фурье
S (c)= f (c +0)+ f (c −0). 2
3
5.3.4.1. Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π
Пусть f (x) – периодическая функция с периодом 2π.
1). Если функция f (x) нечетная, f (−x)= − f (x), ее ряд Фурье содер-
∞
жит только синусы кратных дуг: f (x)= ∑bn sin nx.
n=1
2). Если функция f (x) четная, f (−x)= f (x), ее ряд Фурье содержит
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
только косинусы кратных дуг: |
f (x)= |
+ ∑an cos nx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
5.3.4.2. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l |
|||||||||||||||||||
Если |
f (x + 2l )= f (x), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x)= |
a |
∞ |
|
|
nπ |
x +bn sin |
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 + ∑ an cos |
l |
l |
x , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
a =1 l |
f |
(x)dx; |
a =1 l |
f (x)cos n π x dx; |
b |
= |
1 |
l |
f (x)sin |
nπ |
x dx; |
|||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
l −∫l |
|
|
n |
l −∫l |
|
|
l |
|
n |
|
l −∫l |
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (π )= S (−π )= |
f (π +0)+ f (π −0) |
. |
|
2 |
|||
|
|
5.3.4.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Сумма ряда Фурье есть периодическая функция, поэтому непериодическую кусочно-монотонную, заданную на интервале (−∞,∞) функцию
нельзя представить рядом Фурье. Но можно разложить ее в ряд Фурье, периодически продолжив, для любого конечного промежутка.
Для функции f (x)
построим функцию ϕ(x)
такую, что ϕ(x)= f (x) для x (−l; l ), а на всю действительную ось она
продолжается периодически с периодом 2l :
ϕ(x)=ϕ(x + 2l ).
4
Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ± l выполняется:
|
|
S (l )= |
ϕ(l −0)+ϕ(l + 0) |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
||
где |
ϕ(l −0)= f (l −0), ϕ(l +0)=ϕ(−l +0)= f (−l +0), |
||||||
то есть |
S (l )= |
f (l −0)+ f (−l +0) |
, S (−l )= S (l ). |
|
|||
2 |
(0,l ), ее мож- |
||||||
|
|
|
|
||||
Если произвольная функция f (x) задана на интервале |
но представить в виде периодической функции ϕ(x) с периодом 2l , дополнив (продолжив) f (x) произвольным образом некоторой кусочномонотонной функцией f1 (x) на интервал (−l,0) так, что:
f (x), x (0, l );
ϕ(x)= f1 (x), x (−l, 0).
Так как продолжение f1 (x) первоначально заданной функции f (x) может быть выбрано бесчисленным множеством способов, то существует
бесчисленное множество рядов Фурье, которые сходятся к |
f (x) |
в интер- |
|||||||||||||||||||||
вале (0,l ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) выберем четное и нечетное |
||||||||||
|
Среди |
|
различных продолжений |
||||||||||||||||||||
продолжения, |
в результате которых получатся разложения |
f (x) |
либо по |
||||||||||||||||||||
косинусам, либо по синусам кратных дуг соответственно. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
Если f1 (x)= f (−x), |
x (−l, 0), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
= a0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
то |
+ ∑an cos nπx, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
где an = |
|
2 l |
f (x)cos |
nπx |
dx, x (0, l ), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n =1, 2,... |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
l ∫0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Если f1 (x)= − f (−x), |
x (−l, 0), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
nπ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
то |
f (x) |
= ∑bn sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
= |
2 |
|
l f (x)sin |
nπx |
dx, |
|
x (0, l ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
l ∫0 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.3.5. Комплексная форма ряда Фурье |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
inπx |
|
Ряд Фурье для функции |
f (x) с периодом 2l имеет вид: f (x)= ∑cne l , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
inπ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где cn = |
|
|
f (x)e− |
|
|
dx , n = 0, ±1, ±2, ... , (номер n считается не нату- |
|||||||||||||||||
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||
2l |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∫l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
ральным, а целым числом).
Эта сумма называется рядом Фурье в комплексной форме, слагающие ее
|
inπx |
|
функции |
c e l |
– комплексными гармониками, коэффициенты |
|
n |
|
cn – комплексными амплитудами гармоник.
5.3.6. Интеграл Фурье
Если непериодическая функция задана на всей числовой оси (−∞;∞), на любом конечном отрезке [−l;l] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и
∞
абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. ∫ f (x) dx = M < ∞,
−∞
то она может быть разложена в интеграл Фурье:
|
|
|
f (x)= |
1 |
∞∫dk ∞∫ |
f (t )cos k |
(x −t )dt . |
|
||||
|
|
|
π |
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эта формула называется формулой Фурье, а интеграл, стоящий в |
||||||||||||
правой части, – интегралом Фурье. Функция F (k ) |
называется спек- |
|||||||||||
тральной плотностью. |
|
|
f (x) с периодом |
2l набор величин |
||||||||
Для |
периодической функции |
|||||||||||
D = |
a |
2 +b 2 |
показывает, в какой мере в разложении функции f (x) |
|||||||||
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлены различные гармоники cos |
nπ x |
, sin |
nπx |
и называется спек- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
тром функции f (x). Для периодической функции f (x) спектр - функция
целочисленного аргумента, т.е. последовательность, величины отдельных членов которой показывает вклад соответствующих гармоник ( f (x) со-
ставляется как сумма бесконечного, но счетного количества гармоник). Для непериодической функции f (x) в разложении ее на простейшие
периодические составляющие присутствует несчетное количество слагаемых (интеграл), величина F (k )∆k описывает вклад гармоник с волно-
выми числами из интервала (k − ∆2k ;k + ∆2k ).
Интеграл Фурье можно представить в виде, подобном ряду Фурье:
|
|
|
∞ |
(A(k )cos kx + B (k )sin kx)dk , |
|||
|
f (x)= ∫ |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
A(k)= |
1 |
∞ |
(t)coskt dt, B(k)= |
1 |
∞ |
|
где |
∫ f |
∫ f (t)sin kt dt , |
|||||
π |
π |
||||||
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|||
|
|
|
|
|
и амплитуды D (k )= A2 (k )+ B2 (k ).
6
ПП5.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ
ПП5. 3.2. Ортогональные системы функций
Докажите соотношения:
|
1) |
π∫sin nxdx = 0, 2) |
|
π∫cos nxdx = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
π∫cosmxsin nxdx =0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4) |
∫ cos mx cos nxdx = 0 , |
|
|
|||||||||||||
|
при m ≠ n : |
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5) |
∫sin mx sin nxdx = 0 , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6) |
∫sin2 nx dx =π, |
|
|
|||||||||||
|
при m=n: |
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
7) |
|
|
∫cos2 nx dx =π. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПП 5.№72. |
1) |
π∫ |
sin nx dx = − |
cos nx |
|
|
= 0 в силу нечетно- |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−π |
|
|
|
n |
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
сти подынтегральной функции. |
|
|
|
||||||||||||||
|
2) |
π∫ |
cosnx dx = sin nx |
|
π |
= |
1 (sinπn −sin (−πn))=0 , |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
n |
|
−π |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
так как sinπn = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3) |
π∫cos mx sin nx dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
sin nxcosmx = |
|
sin |
m+n |
|
x +sin |
|
m−n |
|
x = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 π∫(sin (n +m)x +sin (m −n)x)dx = 0 2 −π
всилу нечетности подынтегральной функции.
4) при m ≠ n |
π∫cos nx cos mx dx = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
−π |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
= |
cosnxcosmx = |
cos |
n+m x+cos |
n−m x |
= |
|||||||
|
|
|||||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
=1 π∫ (cos (n − m )x + cos (n + m )x )dx =
2 −π
= |
1 |
sin (n − m)x |
+ |
sin (n + m)x |
|
π |
= 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
n − m |
|
|
n + m |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
||||||
|
|
|
π∫sin nx sin mx dx = |
|
|
|
|||||||||
5) при m ≠ n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
= |
sin nxsin mx = |
cos |
n −m x −cos |
|
n +m x |
= |
|||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 π∫ (cos (n − m )x − cos (n + m )x )dx =
2 −π
|
|
1 |
|
|
sin |
( |
n −m |
) |
x |
|
sin |
( |
n +m |
) |
x |
|
|
π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
||||||||
|
2 |
|
n −m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +m |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) |
π∫sin2 nx dx = |
1 |
π∫(1 −cos 2nx)dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 2nx |
|
|
π |
|
1 |
(π +π )= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
π . |
||||||||
|
2 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
π∫ cos2 nx dx = |
|
1 |
|
π∫ (1 + cos 2nx)dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 2nx |
|
π |
|
1 |
(π +π )= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
π . |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП 5. 3.4. Разложение функций в тригонометрические ряды
Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π, если
1, |
x [0, π] |
. |
|
f (x)= |
|
x (π,2π] |
|
−1, |
|
||
|
|
|
|
ПП 5.№73.
РЕШЕНИЕ:
Вместо промежутка [0; 2π] будем рассматривать промежуток [−π;π]. Коэффициенты Фурье:
4 ∑∞ sin (2n +1)x π n=0 2n +1
8
an = π1 π∫ f (x)cos nx dx = 0 , n = 0,1,2,...,
−π
так как подынтегральная функция нечетна;
bn = |
|
1 |
π∫ |
f (x)sin nx dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
π |
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
∫(−1)sin nx dx + |
∫sin nx dx |
= |
|
|||||||||||||||
π |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
1 |
|
cos nx |
|
0 |
−cos |
nx |
|
|
π |
= |
2 |
(cos 0 |
−cos nπ )= |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
π |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
πn |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если п = 2k − четное;
=4 , если п = 2k +1− нечетное.
πn
Разложение |
f (x) |
в ряд Фурье имеет вид: |
|||||||||||
f (x)= 4 |
sin x + sin 3x + sin 5x +... = 4 ∑sin (2n +1)x. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π 1 |
3 |
5 |
|
π |
n=0 |
2n +1 |
|
Построим графики трех первых частичных сумм ряда.
С увеличением числа слагаемых частичная сумма все точнее представляет f (x).
Полученное разложение может быть исполь- |
|
|
|
|
|
|
||||||
зовано для приближенного вычисления числа |
|
|
|
|
|
|
||||||
π : подставляя в разложение |
x = π получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(−1) |
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
∞ |
=1− 1 + 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∑ |
|
|
+.... |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n=0 |
3 5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разложите в ряд Фурье периодическую |
|
|
|
k |
|
|
||||||
ПП 5.№74. функцию с периодом 2π, если на отрезке |
π |
|
|
cos2 |
kx |
|||||||
2 |
+ 4∑(−1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
[−π,π] она задана формулой |
f (x)= x2 . |
3 |
k =1 k |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
9
РЕШЕНИЕ: Коэффициенты Фурье:
bn = 0 в силу четности разлагаемой функции функции;
|
|
|
|
|
1 π |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x3 |
|
π |
|
2π |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a0 = |
|
|
|
−∫π |
|
x |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
|||||||
π |
|
π |
|
|
3 |
|
−π |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
an = |
1 |
π∫ |
x2 cos nxdx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(интегрируем по частям) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u = x2 , dv = cos nxdx |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
du = 2xdx, v = |
sin nx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
x2 sin nx |
|
π |
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
xsin nx dx |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
π |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
−∫π |
|
|
|
|
|
(еще раз ин- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тегрируем по частям)
u= x, dv =sin nx dx
=du = 2xdx, v = −cosnnx =
|
2 |
|
x cos nx |
|
π |
1 |
π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
∫cosnx dx |
= |
||
|
nπ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
−π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
, |
|
|
еслиn = 2k − четное; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
= |
|
cos nπ = n |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
, если n = 2k +1 − нечетное. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение в ряд Фурье имеет вид:
f |
(x)= |
π |
2 |
|
cos x |
|
cos 2x |
|
cos 3x |
|
|
|||||||||
|
|
−4 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
−... |
= |
|||||
3 |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
3 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π |
2 |
|
|
∞ |
|
(−1) |
k |
cos |
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
+ 4∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|