ПП_5_2_Функ_ряды
.pdfПП 5.2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
5.2.1. Функциональные ряды. Общие положения |
|
|
||
Пусть функции |
fn (x), n N определены в области D, x D . |
|||
|
∞ |
(x)= f1 (x) + f2 (x) +…+ fn (x) +… |
|
|
Выражение вида |
∑ fn |
(1) |
называется |
|
|
n=1 |
|
|
|
функциональным рядом. |
При x = x0 D из функционального ряда (1) |
|||
|
|
∞ |
|
|
получается числовой ряд |
∑ fn (x0 ) = f1 (x0 )+ f2 (x0 )+… |
(2). |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
Если для x0 D |
числовой ряд (2) сходится, то точка |
x0 называется |
точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точке
∞
x D1 D числовые ряды ∑ fn (x) сходятся, то функциональный ряд (1) на-
n=1
зывается сходящимся в области D1 .
Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).
Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1):
Sk (x)= f1 (x)+ f2 (x)+…+ fk (x).
Ряд (1) сходится к функции f (x) в области сходимости, если предел
последовательности его частичных сумм lim Sk (x)= f (x).
k →∞
5.2.1.1. Равномерная сходимость
Пусть lim Sn (x)= f (x). По определению предела это означает, что для
n→∞
любого x из области сходимости, например, x0 и x1 , выполняются условия:
1) |
x = x0 D1 : ε > 0 N0 (ε), n > N0 |
|
Sn (x0 )− f (x0 ) |
|
<ε ; |
||||
|
|
||||||||
2) |
x = x1 D1, x0 ≠ x1 : ε > 0 N1 (ε), n > N1 |
|
Sn (x1 )− f (x) |
|
<ε . |
||||
|
|
Заметим, что числа N0 и N1 , вообще говоря, различны.
Функциональный ряд, сходящийся для всех x D1 из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если существует не зависящий от x номер N (ε), такой, что при n > N (ε) выполняется неравенство Rn (x) < ε для всех x из области сходимости, где
∞
Rn (x)= ∑ fk (x)− остаток ряда.
k =n+1
Геометрический смысл равномерной сходимости заключается в следующем:
если окружить график функции y = f (x) ” ε - полоской”, определяемой соотношением f (x)−ε > y > f (x)+ε, x [a,b], то графики всех функций Sk (x),
1
начиная с достаточно большого k , целиком лежат в этой ” ε - полоске”, окружающей график предельной функции y = f (x).
∞
Функциональный ряд ∑ fn (x) называется
n=1
мажорируемым в некоторой области изменения x , если существует такой сходящийся
∞
числовой ряд ∑un с положительными чле-
n=1
нами, что для всех
f n (x) ≤ un , n =1,2,…. . Ряд
x из этой области выполняются неравенства
∞ |
∞ |
∑un |
называется мажорантой ряда ∑ fn (x). |
n=1 |
n=1 |
5.2.1.2. Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда)
Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.
|
|
∞ |
(1) |
|
∞ |
(2) в силу ограниченности |
|||||||||||
Например, для рядов ∑an sin nx, |
|
∑an cos nx |
|||||||||||||||
функций выполняется |
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||
|
an sin nx |
|
≤ |
|
an |
|
, |
|
an cos nx |
|
≤ |
|
an |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
По признаку Вейерштрасса, если ряд ∑an сходится абсолютно, то ряды
n=1
(1), (2) сходятся равномерно на любом промежутке.
5.2.1.3. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов
∞
Пусть ряд ∑ fn (x)= S (x) с непрерывно дифференцируемыми члена-
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
∞ |
[a,b], |
ми сходится для |
|
и ряд ∑ fn′(x) сходится равномерно на |
|||||||||
|
|
|
|
∑fn (x) |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
тогда |
сходится |
равномерно, его сумма дифференцируема и |
|||||||||
|
( |
x |
) |
|
∑ n ( |
x |
) |
, т.е. ряд |
∑ |
fn (x) можно дифференцировать почленно. |
|
S |
|
|
′ = |
∞ f ′ |
|
∞ |
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(x) равномерно сходится на [a,b], тогда: |
|
|
|
|
Пусть ряд ∑ fn (x)= S |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||
1) этот ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке и |
|
||||||||||
|
|
|
|
∞ |
b |
|
|
b |
|
|
|
2) ряд ∑∫ fn (x)dx = ∫S (x)dx сходится равномерно. |
|
||||||||||
|
|
|
|
n=1 a |
|
|
a |
|
|
|
2
5.2.2. Степенные ряды
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
= a0 + a1 (x − x0 )+ a2 |
(x − x0 )2 +… |
|
|
|||||||||
Функциональный ряд вида ∑an (x − x0 )n |
(1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется степенным рядом по степеням (x − x0 ), |
|
|
x0 = 0 |
|
|
|||||||||||||||||
a 0 , |
a1 , a 2 …- |
коэффициенты |
ряда. |
При |
|
|
|
ряд |
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑an xn = a0 + a1 x + a2 x2 +… |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является степенным по степеням x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ряд (1) сводится к ряду (2) заменой (x − x0 )→ x . Ряд (2) сходится по край- |
||||||||||||||||||||||
ней мере в одной точке: при x = 0 S = a0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля |
≠ 0), то он абсо- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
сходится в точке x0 (x0 |
|||||||||||||||
1) |
Если степенной ряд ∑an xn |
|||||||||||||||||||||
лютно сходится для x : |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
< |
|
x0 |
|
, |
причем на любом отрезке |
|
x |
|
≤ R < |
|
x0 |
|
схо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
димость будет равномерной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Если степенной ряд расходится в точке x0′ (x0′ ≠ 0), то он расходится и
для всех x таких, что x > x0′ .
∞
1). Областью сходимости степенного ряда ∑an xn является симметричный
n=0
интервал с центром в точке 0.
2). Существует граница между точками сходимости x0 и расходимости x0′ : R = su p {x0 } = in f {x0′ }.
Число R такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R - расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал x (− R, R) -
интервалом сходимости.
В граничных точках x = ±R поведение ряда требует дополнительного исследования.
∞
Для ряда ∑an (x − x0 )n интервал сходимости имеет вид x (x0 − R, x0 + R) с
n=0
центром в точке x0 :
3
5.2.2.1. Вычисление радиуса сходимости
Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.
1. |
По признаку Даламбера: |
|
|
lim |
|
u |
n+1 |
(x) |
|
= lim |
|
|
an+1 |
|
|
|
x |
|
n+1 |
= |
|
x |
|
lim |
|
a |
n+1 |
|
<1, сходится, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
un (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
an |
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
an |
>1, расходится. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ряд сходится, если |
|
x |
|
< |
|
1 |
|
|
|
. R = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
an |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
По признаку Коши: lim n |
un (x) |
= lim n an |
|
|
x |
n |
= x lim n an |
|
<1,сходится, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
>1, расходится. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если x < |
1 |
, то ряд сходится и R |
= |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim n |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.2.2. Свойства степенных рядов
В силу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на (− R, R), его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интер-
вале сходимости.
Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
5.2.2.3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена
Формула Тейлора для f (x):
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
f (n) (x |
) |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
|
|
f (x)= f (x0 )+ |
f (x0 ) |
(x − x0 )+ |
|
f (x0 ) |
|
(x − x0 )2 +… + |
|
|
0 |
|
(x − x0 ) |
|
+ Rn (x). |
||||||||||||||
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Rn (x)= |
|
f (n+1)(x0 |
+θ(x − x0 )) |
×(x − x0 )n+1 |
- остаточный член в форме Лагранжа, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
где 0 <θ <1. |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x), имеющая |
производные |
всех порядков |
в интервале |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Функция |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − x0 |
|
|
< R , |
однозначно представима на этом интервале своим рядом Тейло- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ра: |
|
f (x)= ∑an (x − x0 )n , где |
an = f (n)(x0 ), тогда и |
только |
тогда, когда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Rn (x)= 0 |
|
. n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(0)x 2 +…+ f |
|
(0)x n +… |
|||||||||||
|
При x0 = 0 ряд f (x)= ∑an x n = f (0)+ f ′(0)x + |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||
называется рядом Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Для того, |
чтобы функцию f (x) можно было разложить в степенной |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
на интервале (− R, |
R) достаточно, чтобы |
|
|
|
|
имела на (− R, R) |
|||||||||||||||||||||
ряд ∑an xn |
|
|
f (x) |
n=0
4
производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная M , что f (n)(x) ≤ M при n = 0,1,2,… и при всех x (− R, R).
Для разложения функции y = f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) следует:
1)составить ряд по формуле;
2)найти его область сходимости;
3) доказать, что для всех x из области сходимости
lim Rn(2) = 0 (f (n)(x) ≤ M ).
n→∞
5.2.2.4. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
ex =1+ x |
+ |
|
|
|
|
+…= ∑ |
|
|
|
, x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
shx = |
|
ex −e−x |
|
|
|
= x + |
x3 |
+ |
|
x5 |
|
+…+ |
|
|
x2n−1 |
|
, x R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
5! |
(2n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
−e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
|
ch x = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 + |
|
|
|
|
+…+ |
|
|
|
, x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
sin x = x − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
−…= ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
|
cos x =1 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+…= ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
, |
|
x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n) |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n+1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
|
ln(1+ x)= x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+…= ∑ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
x |
|
, |
−1 < x ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n−1 |
|
x2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
|
arctg x = x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
−…= ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
−1 ≤ x ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
При |
|
x =1 получаем ряд Лейбница для вычисления числа π : |
=1− |
|
+ |
−… |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1+ x)m =1+ mx + |
m(m −1) |
x 2 +…+ |
m(m −1)…[m −(n −1)] |
x n +…= |
4 |
|
3 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3…n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
=1 + ∑ |
m(m −1)…(m − n +1) |
xn |
(биномиальный ряд) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для m R \N : x (−1,1); для m N : |
|
x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) m = −1 : |
|
|
|
|
|
=1−x +x2 −x3 +…=∑(−1)n xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
+ x + x2 + x3 +…= ∑xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
m = |
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x =1 + |
|
1 x − |
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
+ |
|
1 3 |
|
|
x3 |
−…; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
2 4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
m = − |
|
: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
=1 − |
1 x + |
1 3 |
|
x2 |
− |
1 3 5 |
x3 |
+…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
9. arcsin x = ∑∞ 1 3 5…(2n −1) x2n+1 , x (−1, 1). n=0 2n n!(2n +1)
Полученные разложения можно использовать как известные для разложения сложных функций f (u(x)) и разложений по степеням двучленов
(x − x0 ).
5.2.2.5. Применение степенных рядов
1.Вычисление значений функций.
2.Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях.
3.Решение дифференциальных уравнений:
методом последовательного дифференцирования, методом неопределенных коэффициентов.
5.2.3. Ряды в комплексной области
5.2.3.1. Числовые ряды с комплексными членами
Пусть zn = an +ibn , |
n N - последовательность комплексных чисел. |
∞ |
= z1 + z2 +…+ zn +… (1) называется числовым рядом |
Выражение ∑zn |
n=1
вкомплексной плоскости.
Ряд (1) сходится, если существует конечный предел
S =limS |
n |
z |
=lim (a +ib )+(a +ib )+…+(a +ib ) = |
||||
=lim |
|||||||
n→∞ |
n |
n→∞∑ k |
n→∞ |
1 1 |
2 2 |
k x |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
= A+iB, |
|
|
|
=lim ∑ak +i∑bk |
|
|
|
||||
n→∞ k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
где A и B - пределы соответствующих частичных сумм рядов, составленных из действительных и мнимых частей чисел zn .
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) является
∞ |
∞ |
одновременная сходимость числовых рядов ∑an |
и ∑bn с действительны- |
n=1 |
n=1 |
ми членами. |
|
∞
Если сходится положительный ряд ∑ zn , составленный из модулей
n=1
членов ряда (1), то ряд (1) так же сходится. Напомним, что
eiϕ = cosϕ +i sinϕ, eiϕ = cos2 ϕ +sin2 ϕ =1, z = x +iy = x2 + y2.
5.2.3.2. Степенные ряды в комплексной области Степенным рядом в комплексной области называется ряд вида
∞ |
(z − z0 )+ a2 |
(z − z0 )2 +..., |
|
∑an (z − z0 )n = a0 + a1 |
(1) |
n=0
6
где ai (i N ) u z0 - фиксированные комплексные числа, |
z = x + iy - независи- |
мая комплексная переменная. |
|
∞ |
|
При z0 = 0 ряд принимает вид ∑an zn = a0 + a1 z + a2 z2 +... |
(2) |
n=0 |
|
Пусть z1 - некоторое комплексное число. Ряд (1) сходится в точке z1 , если при подставке в него вместо z числа z1 , получается сходящийся ряд с ком-
плексными членами. В противном случае ряд (1) расходится.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1 , то он схо-
дится, и притом абсолютно, в любой точке z , которая лежит внутри окружности с центром z0 , проходящей через z1 , т.е. для
всех z таких, что z − z0 < z1 − z0 .
Множество точек z, в которых ряд сходится, на-
зывается областью сходимости ряда.
Для степенных рядов (1) возможны случаи: 1) ряд сходится только при z = z0 (R = 0);
2)ряд сходится при всех z (R = ∞);
3)существует такое число R>0, что ряд сходится при любом значении z, для которого z − z0 < R и расходится при любом z, для которого z − z0 > R .
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а круг z − z0 < R называется кругом сходимости ряда.
На границе области сходимости z − z0 = R ряд
может как сходиться, так и расходиться.
Для ряда (2) областью сходимости ряда является круг z < R радиуса R с центром в начале координат.
Радиус сходимости:
по признаку Даламбера: R = |
|
|
1 |
= lim |
|
an |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim |
|
a |
n→∞ |
a |
n+1 |
|
|
||
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n→∞ |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
по признаку Коши: R = |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n an
n→∞
7
ПП5.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ПП5.2.1. Функциональные ряды. Общие положения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||||
Найдите область сходимости ряда ∑ |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
2n |
||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 1 + x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Область определения всех слагаемых |
|
|
|||||||||||||||||||||
x (−∞, ∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
|
|
|
x |
|
<1, |
то limun |
= lim |
1 |
=1 ≠ 0, |
ряд |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x2n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
расходится, так как не выполняется необхо- |
|||||||||||||||||||||||
димый признак сходимости ряда; |
|
|
|
x (−∞, −1) (1, ∞) |
|||||||||||||||||||
ПП 5.№34. если |
|
|
|
x = ±1 , ряд ∑1 |
= 1 + 1 +… расходится; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
если |
|
x |
|
>1 : |
|
1 |
|
< |
1 |
|
– бесконечно убы- |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 + x 2n |
x 2n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вающая геометрическая прогрессия. |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||||
Сравнение со сходящимся рядом ∑ |
|
при |
|||||||||||||||||||||
|
2n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
x |
|
|
x >1 дает область сходимости исследуемого ряда x (−∞, −1) (1,∞).
ПП 5.2.1.1. Равномерная сходимость
Покажите, что ряд
∑(−2n1) |
n+1 |
= 21 |
− |
4 1 |
+…(−2n1) |
n+1 |
|
|
+… |
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 x + n |
x +1 |
|
x + 2 |
x + n |
|||
сходится равномерно при всех |
|
||||||
x (−∞ > x > ∞). |
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ:
По признаку Лейбница этот ряд сходится и его остаток можно оценить следующим обра-
ПП 5.№35. зом:
|
R |
(x) |
|
< |
|
|
|
u + (x) |
|
, |
|
R |
(x) |
|
< |
|
|
1 |
|
< |
1 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
x2n+2 |
+ n +1 |
|
n +1 |
||
|
1 |
|
|
≤ε, |
|
n ≥ |
|
1 |
|
−1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n +1 |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Возьмем |
|
N = |
1 |
|
|
−1, |
тогда для |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n ≥ N |
|
Rn (x) |
|
|
<ε |
для x из области схо- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
димости, значит ряд равномерно сходится.
8
ПП 5.2.1.2. Признак Вейерштрасса
|
Найдите мажорирующий ряд для ряда |
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
(x − |
|
|
2n |
при x [2;4] и доказать его равно- |
|||||||||||||||||
|
∑ |
3) |
1 |
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n |
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
мерную сходимость на указанном отрезке. |
||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим числовой ряд ∑n=1 n n1 |
+1 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
При |
x |
|
[2;4] |
|
|
(x −3)2n |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ПП 5.№36. |
|
|
n |
n +1 |
|
|
≤ n n +1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
сходится, так как сходится |
|||||||||||||
|
Ряд ∑ |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
n +1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
∞ |
|
1 |
|
|
, а lim |
n n +1 |
=1 . |
|
|
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
n→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n32 |
|
|
|
|
2n |
||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||||||||||||
|
сходится и ряд ∑(x − |
3) |
при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n n + |
1 |
||
|
x [2;4], и притом сходимость равномерная. |
∞ |
1 |
∑ |
|
n=1 |
n n +1 |
ПП5.2.1.3. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов
Найдите сумму ряда ∑∞ (n2 +9n +5)xn+1 = f (x).
n=0
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑xn =1+ x + x2 +…= |
, |
|
x |
|
<1. |
(1) |
||
|
|
|||||||
1− x |
||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя левую и правую части фор- ПП 5.№37. мулы (1), получим последовательно
∑∞ nxn−1 = 1−1 x ′,
n=1
∞ |
n−2 |
|
1 ′′ |
|
|
∑n (n −1)x |
|
= |
|
. |
(2) |
|
|
||||
n=2 |
|
|
1− x |
|
Заменим в формулах (2) индекс суммирования:
|
|
|
1 ′ |
∞ |
n |
|
||
|
|
|
|
|
= ∑(n +1)x |
|
, |
|
1 |
|
|
||||||
|
− x |
|
n=0 |
|
|
f (x)= −3x3 + 5x
(1 − x)3
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
″ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑(n + 2)(n +1)x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Выделим в сумме, подлежащей вычислению, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
слагаемые, пропорциональные первой и вто- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
рой производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑(n2 +9n +5)xn+1 = |
∑((n + 2)(n +1)+ 6(n +1)−3)xn+1 = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= x ∑(n + 2)(n +1)xn +6∑(n +1)xn −3∑xn = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
″ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
n+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислим производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 ′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ″ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 |
− x)2 |
|
|
|
|
− x |
|
(1 − x)2 |
|
(1 − x)3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−3x3 + 5x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
тогда |
f (x)= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(1 |
− x)3 |
(1 − x)2 |
|
|
|
|
|
(1 − x)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найдите сумму ряда ∑ |
|
|
|
= f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Исследуем ряд ∑ |
|
x |
|
|
|
на абсолютную сходи- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
мость. Применяя признак Даламбера, полу- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
чаем условие абсолютной сходимости ряда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
x |
|
n+1 n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
x |
|
|
|
<1. Покажем, что на любом |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ (n +1) |
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ПП 5.№38. |
отрезке [a,b], содержащемся в интервале |
|
|
|
f (x)= −ln |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−1,1) |
ряд сходится равномерно по признаку |
1−x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вейерштрасса, так как мажорируется число- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вым рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пусть (−1 < a <b <1). Выберем M = min{ |
|
a |
|
, |
|
b |
|
}, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тогда x [a,b] |
|
|
|
|
|
x |
|
|
n |
|
M |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
≤ M n . Ряд ∑M n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
сходится, так как представляет геометриче- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
скую прогрессию с знаменателем 0 < M <1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Учитывая, |
что |
xn |
|
|
= ∫x tn−1dt , |
|
запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10