Приложения

Приложение 1

Решение прямой задачи о положениях для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.

▼ Матрицы преобразований

	æ1		0
	ç	0	cos(ϕ )
	Mϕx (ϕ ):= ç
	ç	0	sin(ϕ )
	ç	0	0
	è
	æ cos(ϕ )
	ç		0
	Mϕy (ϕ ):= ç
		-sin(ϕ )
	ç
	ç
	ç		0
	è

0

-sin (ϕ ) cos(ϕ )

0

0sin (ϕ )

10

0 cos(ϕ )

0 0

0ö

0÷÷

0÷

1÷ø

0ö

÷

0÷

0÷÷

1÷ø

æ cos(ϕ )		-sin (ϕ )	0	0ö
ç					÷
Mϕz (ϕ ) := ç sin(ϕ )		cos(ϕ )	0	0	÷
ç	0	0	1	0	÷
ç					÷
ç	0	0	0	1	÷
è					ø

		æ	1	0	0	sx	ö
Ms(sx		ç					÷
	, sy	, sz ):= ç	0	1	0	sy ÷
		ç	0	0	1	sz	÷
		ç	0	0	0	1	÷
		è					ø

▲ Матрицы преобразований

Матрица поворота вокруг оси х на угол ϕ.

Матрица поворота вокруг оси у на угол ϕ.

Матрица поворота вокруг оси z на угол ϕ.

Матрица параллельного переноса вдоль осей х, у и z соответственно.

57

▼ Исходные данные

Постоянные

параметры

структуры (размеры звеньев)

L2 := 500

L4 :=150

Переменные

параметры

структуры (обобщенные координаты)

ϕ1 := 0o s2 := 100 s3 := 300 ϕ4 := -90o

▲ Исходные данные Координаты точки схвата в собственной системе координат:

	æ0×cos(ϕ4 )ö				æ	0	ö
	ç		÷		ç		÷
A := ç		0×sin (ϕ4 )÷		A = ç		0	÷
4	ç	L	÷	4	ç150÷
	ç	4	÷		ç		÷
	ç	1	÷			1
	è		ø		è		ø

▼ Преобразования систем координат
	Переход от системы координат звена 4 к звену 3
					æ1			0	0	0	ö
					ç		0	1	0	0	÷
	M4 _ 3 := Ms (0,0, s3 )			M4 _ 3	= ç						÷
					ç		0	0	1	300	÷
					ç		0	0	0	1	÷
					è						ø
	Переход от системы координат звена 3 к звену 2
					æ1			0	0	0	ö
	æ	-	ö		ç	0		0	1	0	÷
M3 _ 2		π		M3 _ 2	= ç						÷
	:= Ms (0,0, L2 )× Mϕx ç	2	÷			0		-1	0
	è		ø		ç					500÷
					ç	0		0	0	1	÷
					è						ø

58

Переход от системы координат звена 2 к звену 1
											æ1			0	0	0 ö
											ç		0	1	0	0	÷
M2 _1 := Ms(0,0, s2 ) ×Mϕz (ϕ1 )								M2 _1		= ç							÷
											ç		0	0	1	100	÷
											ç		0	0	0	1	÷
											è						ø
			Переход от системы координат звена 4
				к неподвижной системе координат
											æ1			0	0	0		ö
											ç	0		0	1	300		÷
M		:= M		×M		× M		M		=	ç							÷
	4 _ 0		2 _1		3 _ 2		4 _ 3		4 _ 0		ç	0		-1	0	600		÷
											ç	0		0	0	1		÷
											è							ø

▲ Преобразования систем координат Координаты точки схвата в неподвижной системе координат

				æ	0	ö
				ç	450	÷
A := M		× A	A = ç			÷
0	4 _ 0	4	0	ç	600	÷
				ç	1	÷
				è		ø

	æ x0		ö	æ		0	ö	æ	0	ö
Проверка: A	= ç y		÷	= ç s + L			÷	= ç	450	÷
0	ç	0	÷	ç	3	4	÷	ç		÷
	ç z	0	÷	ç s	2	+ L	÷	ç	600	÷
	è		ø	è		2	ø	è		ø

59

Приложение 2

Решение прямой задачи о положениях для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01.

► Матрицы преобразований (см. приложение 1)
▼ Исходные данные						Постоянные
							параметры
							структуры
					(размеры звеньев)
					L1 := 350		L3 := 500				L4 := 100
					L2 := 250		R2 := 200
						Переменные
							параметры
							структуры
						(обобщенные
						координаты)
						ϕ1 := 0o				s3 := 50
					ϕ2 :=180o					ϕ4 := 0o
▲ Исходные данные
Координаты точки схвата в собственной системе координат:
	æ0×cos(ϕ4 )ö						æ	0	ö
	ç		÷				ç		÷
A := ç 0		×sin (ϕ4 ) ÷			A := ç			0	÷
4	ç	L	÷		4		ç100		÷
	ç	4	÷				ç		÷
	ç	1	÷					1
	è		ø				è		ø
▼ Преобразования систем координат
	Переход от системы координат звена 4 к звену 3
					æ 0			0	1	500ö
M4 _ 3 := Ms (L3			æ π	ö	ç	0		1	0	0	÷
		,0,0)×Mϕy ç		÷	M4 _ 3 = ç	-1		0	0	0	÷
			è 2	ø	ç						÷
					ç	0		0	0	1	÷
					è						ø

60

Переход от системы координат звена 3 к звену 2

M3 _ 2 := Ms (R2 ×cos(ϕ2 ), R2 ×sin (ϕ2 ),0)×Mϕz

æ

+

π

ö

çϕ2

2

÷× Ms (L2 ,0, s3 )

è

ø

æ 0

1

0

-200ö

ç

÷

M

=

ç

-1

0

0

-250÷

3 _ 2

ç

0

0

1

50

÷

ç

0

0

0

1

÷

è

ø

Переход от системы координат звена 2 к звену 1

æ 0

1

0

0

ö

M2 _1 := Ms(0,0, L1 )× Mϕz (ϕ1 )

æπ

ö

M2 _1 =

ç

0

0

-1

0

÷

×Mϕy ç

÷

ç

-1

0

0

350

÷

è 2

ø

ç

÷

ç

0

0

0

1

÷

è

ø

Переход от системы координат звена 1 к звену 0 (стойке)

æ1

0

0

0ö

æ

-

ç

0

0

1

0

÷

π ö

M1_ 0

= ç

÷

M1_ 0 := Mϕx ç

÷

0

-1

0

0

è

2 ø

ç

÷

ç

0

0

0

1

÷

è

ø

Переход от системы координат звена 4

к неподвижной системе координат

æ 0

0

-1 -750ö

ç

0

-1

0

550

÷

M

:= M

×M

× M

× M

M

= ç

÷

4 _ 0

1_ 0

2 _1

3 _ 2

4 _ 3

4 _ 0

ç

-1 0 0

50

÷

ç

0

0

0

1

÷

è

ø

▲ Преобразования систем координат Координаты точки схвата в неподвижной системе координат

				æ	50 ö
				ç	550	÷
A := M		× A	A = ç			÷
0	4 _ 0	4	0	ç	850	÷
				ç	1	÷
				è		ø

				Проверка:
	æ x0		ö	æ	s3		ö æ 50 ö
A = ç y			÷	= ç	L + R		÷	= ç	550	÷
0	ç	0	÷	ç	1	2	÷	ç		÷
	ç z	0	÷	ç L + L + L			÷	ç	850	÷
	è		ø	è	2 3	4	ø	è		ø
					61