2.3.Преобразования систем координат. (edit)
2.3.1.Общие принципы преобразования систем координат.
Нижеприведенный алгоритм преобразования двух общих декартовых систем координат прак- тически без изменений взят из источника [].
Пусть в пространстве введены две общие декартовы системы координат xyz и х'у'z' (рис. 2.7). Выразим координаты произвольной точки А в системе координат x'y'z' через координаты ее в системе xyz.
Имеем
Рис. 2.7. Преобразование двух декартовых систем координат.
|
|
¢ |
|
¢ |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
, |
|
(2.2) |
||
|
O A = x ex′ + y ey′ |
+ z ez′ |
|
||||||||||||
|
¢ |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
||
|
O O = x0 ex′ + y0ey′ |
+ z0ez′ , |
|
||||||||||||
|
|
OA = xex + yey + zez , |
|
|
|
||||||||||
¢ |
¢ |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
) + (xex + yey + zez ) . |
(2.3) |
|||
O A = O O + OA = |
(x0ex′ |
+ y0ey′ + z0ez′ |
|||||||||||||
Векторы ex , |
ey , ez допускают однозначное представление через векторы ex′ , |
||||||||||||||
ey′ , ez′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìe = α |
11 |
e |
x′ |
+α |
12 |
e |
y′ |
+α |
13 |
e |
z′ |
, |
|
|
|
ï x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
íery = α21erx′ +α22ery′ |
+α23erz′ , |
|
||||||||||||
|
ïr |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|||
|
îez |
= α31ex′ +α32ey′ |
+α33ez′ , |
|
|||||||||||
где αij – координаты векторов ex , |
ey , ez |
относительно базиса ex′ , ey′ , |
ez′ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
Подставляя эти выражения в формулу (2.3) для O A , получим: |
|
||||||||||||||
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
O A = (x0 +α11 x +α12 y +α13 z)ex′ + ( y0 +α21 x +α22 y +α23 z)ey′ + |
|
||||||||||||||
+(z0¢ |
(2.4) |
+α31 x +α32 y +α33 z)erz′ |
Сравнивая (2.2) и (2.4), можно заметить, что выражения в скобках в последней формуле суть координаты вектора O¢A относительно базиса ex′ , ey′ , ez′ , т.е. коор-
динаты точки А в системе х'у'z'. Искомые формулы:
ìx¢ = α11 x +α12 y +α13 z + x0¢ , ïíy¢ = α21 x +α22 y +α23 z + y0¢, ïîz¢ = α31 x +α32 y +α33 z + z0¢.
В векторно-матричной форме:
24
æ x¢ö çç y¢÷÷ =
çè z¢ ÷ø
æα11 |
α12 |
α13 |
ö |
æ x ö |
æ x0¢ |
ö |
|
||
ç |
|
α22 |
α23 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
(2.5) |
çα21 |
÷ |
×ç y ÷ |
+ ç y0¢ |
÷ |
|||||
ç |
α31 |
α32 |
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
è |
α33 ø |
è z ø |
è z0¢ |
ø |
|
||||
Если обе системы координат хуz и х'y'z' прямоугольные (ортогональные), то ко- эффициенты формул удовлетворяют условиям ортогональности:
ìα112 +α122 |
+α132 |
=1, |
ìα11α21 |
+α12α22 |
+α13α23 |
= 0, |
||
ï |
2 |
2 |
2 |
= 1, |
ï |
|
|
= 0, . |
íα21 |
+α22 |
+α23 |
íα21α31 +α22α32 +α23α33 |
|||||
ï |
2 |
2 |
2 |
=1. |
ï |
+α32α12 |
+α33α13 |
= 0. |
α31 |
+α32 |
+α33 |
îα31α11 |
|||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть для перехода от системы координат х'y'z' к системе х''y''z'' справедливо следующее выражение:
æ x¢¢ö çç y¢¢÷÷ =
çè z¢¢ ÷ø
|
¢ |
¢ |
æα11 |
α12 |
|
ç |
¢ |
¢ |
çα21 |
α22 |
|
ç |
¢ |
¢ |
è |
α31 |
α32 |
α13¢ |
ö |
æ x¢ö |
æ x0¢¢ö |
|
||
¢ |
÷ |
ç |
¢÷ |
ç |
¢¢÷ |
(2.6) |
α23 |
÷ |
×ç y |
÷ |
+ ç y0 ÷ . |
||
¢ |
÷ |
ç |
¢ ÷ |
ç |
¢¢÷ |
|
α33 |
ø |
è z |
ø |
è z0 ø |
|
|
Тогда для перехода от системы хуz к системе х''y''z'' через систему х'y'z' с уче- том (2.5) и (2.6) справедливо следующее выражение:
æ x¢¢ö çç y¢¢÷÷ =
çè z¢¢ ÷ø
|
¢ |
¢ |
æα11 |
α12 |
|
ç |
¢ |
¢ |
ç |
α21 |
α22 |
ç |
¢ |
¢ |
è |
α31 |
α32 |
α13¢ |
ö ææα11 |
α12 |
α13 |
ö æ x ö |
æ x0¢ |
||
¢ |
÷ çç |
α21 |
α22 |
|
÷ ç |
÷ |
ç ¢ |
α23 |
÷×çç |
α23 ÷×ç y ÷ |
+ ç y0 |
||||
¢ |
÷ çç |
α31 |
α32 |
|
÷ ç |
÷ |
ç ¢ |
α33 |
ø èè |
α33 ø è z ø |
è z0 |
||||
öö
÷÷÷÷ +
÷÷
øø
æ x0¢¢ö çç y0¢¢÷÷ . çè z0¢¢÷ø
Следует отметить, что выше изложен метод преобразования декартовых систем координат в общем случае. Его достоинство проявляется в получении единственной матрицы перехода между двумя системами и вектора, содержащего координаты точки начала приводимой системы. Этот метод приводит к верным результатам, но
довольно громоздок и потому не слишком удобен при решении прямой задачи о положениях манипулятора ПР. Так, например, он трижды требует решения задачи о представлении координатных векторов старой системы в базисе координатных век- торов новой системы. Следствием этого является увеличение объема вычислитель- ных операций вспомогательного характера и размывание конечной цели расчета.
С увеличением числа конвертируемых систем векторно-матричное уравнение перехода от первой системы к последней усложняется. Кроме этого, в конечном выражении преобразования координат используются матрица и вектор, что наруша- ет единообразие операций. Это несколько усложняет конструирование вычисли- тельного алгоритма для ЭВМ. Применение механизма рекурсии при росте количе- ства координатных систем также является неоправданным с точки зрения затрачи- ваемых ресурсов.
В робототехнике (и других областях науки) при решении задач конвертирова- ния декартовых систем координат используется несколько иной подход. Основыва- ясь на особенности исполнительных механизмов ПР, описанной во введении, а
25
именно, что оси соседних кинематических пар или параллельны, или перпендику- лярны между собой, можно существенно упростить решение прямой задачи о по- ложениях, назначая ортогональные декартовы системы координат.
Кроме этого, при конвертации применяются расширенные матрицы перехода, которые получаются следующим образом. Перепишем уравнение 2.2 в следующем
виде: v′ = α ×v + v0′ , где v¢ = [x¢, y¢, z¢]T , v = [x, y, z]T , v0¢ = [x0¢, y0¢, z0¢ ]T , a α – матрица перехода. Введем в рассмотрение матрицу 4´4 следующей архитектуры:
M= æçα 
v0¢ ö÷ çè 0 
1 ÷ø
или в развернутом виде
|
çæα11 |
|
|
|
α12 |
|
|
|
α13 |
||||||||||||||
M = |
çα21 α22 |
|
|
|
α23 |
||||||||||||||||||
ç |
α31 |
|
|
|
α32 |
|
|
|
α33 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x¢ |
ö |
|||
0 |
÷ |
|||
y0¢ |
÷ . |
|||
z¢ |
÷ |
|||
|
|
0 |
÷ |
|
1 |
||||
÷ |
||||
|
|
|
ø |
|
|
|
Матрица М и носит название расширенной матрицы перехода. |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
] |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Модифицировав векторы |
|
v |
и |
|
v' |
следующим |
образом: |
v |
¢ |
= |
|
|
¢ |
¢ |
¢ |
|
T |
, |
||||||||||||||||
|
[ |
|
|
|
|
x , y , z ,1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
v = |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y, z,1 T , получим уравнение, так же описывающее переход от одной системы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
координат к другой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
¢ |
ö æ x |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
æ x |
|
ö æα11 |
α12 |
α13 |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
v′ = M ′×v или |
ç |
|
¢ |
÷ |
ç |
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
¢ |
÷ ç ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
|
|||||||||
|
|
ç y |
|
÷ |
= ç |
α21 |
α22 |
α23 |
|
y0 |
÷ |
× |
ç y ÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
¢ |
÷ |
ç |
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
¢ |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ç z |
|
|
÷ ç |
α31 |
α32 |
α33 |
|
z0 |
÷ ç z |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
|
ø è |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
ø è 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пусть имеется некоторая система координат х''y''z'', для которой справедливо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
æ x |
¢¢ |
|
|
¢¢ |
|
¢¢ |
¢¢ |
|
¢¢ |
|
|
|
¢ |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ö æα11 |
α12 |
α13 |
x0 |
ö æ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
v′′ = M ′′×v′ или |
ç |
|
|
¢¢ |
÷ |
ç |
¢¢ |
α |
¢¢ |
¢¢ |
|
¢¢÷ |
ç |
|
¢÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
|
|
||||||||
|
|
ç y |
¢¢ |
÷ = |
ç |
α21 |
22 |
α23 |
y0 |
÷ |
×ç y |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
¢¢ |
|
¢¢ |
¢¢ |
|
¢¢÷ |
ç |
|
¢ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ç z |
|
|
÷ ç |
α31 |
α32 |
α33 |
z0 |
÷ ç z |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
|
ø è |
0 |
0 |
0 |
1 |
ø è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Тогда для описания перехода от системы координат хуz к системе х''y''z'' через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему х'y'z' с учетом (2.7) и (2.8) справедливо выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
æ x |
¢¢ |
ö æ |
|
¢¢ |
|
|
¢¢ |
|
¢¢ |
¢¢ |
ö æ |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
¢ |
¢ |
|
ö æ x |
ö |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
α11 |
|
|
α12 |
α13 |
x0 |
α11 |
α12 |
|
α13 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ç |
¢¢÷ |
ç |
α |
¢¢ |
|
|
¢¢ |
α |
¢¢ |
¢¢÷ ç |
¢ |
|
α |
¢ |
|
|
¢ |
¢ |
÷ ç ÷ |
. |
(2.9) |
|
|
|||||||||||
v′′ = M ′′×M ′×v или ç y |
|
÷ |
= ç |
21 |
|
α22 |
23 |
y0 |
÷×ç |
α21 |
22 |
|
α23 |
y0 |
÷ ×ç y ÷ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ç |
¢¢ |
÷ |
ç |
|
¢¢ |
|
|
¢¢ |
|
¢¢ |
¢¢÷ ç |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
¢ |
¢ |
|
÷ ç |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç z |
|
÷ ç |
α31 |
|
|
α32 |
α33 |
z0 |
÷ ç |
α31 |
α32 |
|
α33 |
z0 |
|
÷ ç z |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
è 1 |
ø è |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
ø è |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
ø è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При наличии n систем координат переход от системы n к системе 1 будет вы- глядеть так:
n |
|
v1 = M2→1 ×M3→2 ×...× Mn−2→n−1 ×Mn−1→n ×vn или v1 = ∏Mi→i −1 ×vn . |
(2.10) |
i=2
Произвольной ориентации твердого тела и жестко связанной с ним системы координат можно добиться с помощью независимых (либо зависимых) друг от дру- га вращательных и/или поступательных смещений относительно трех осей непод- вижной системы координат, что реализует принцип степеней свобод, описанный в п. 1.1. Каждое из смещений математически описывается с помощью специальной матрицы перехода. Всего таких матриц шесть: по одной на каждую из степеней свободы. Рассмотрим далее принципы получения этих матриц.
Начнем со случаев математического описания поступательного смещения вдоль какой-либо из координатных осей. Пусть в пространстве введены две орто- гональные декартовы системы координат xyz и х'у'z' с точками начал О и О' соответ- ственно, причем одноименные оси обеих систем сонаправлены, а точка О' смещена относительно точки О на величину:
1) bx вдоль оси Ох (рис. 2.8, а); 2) bу вдоль оси Оу (рис. 2.8, б); 3) bz вдоль оси Оz (рис. 2.8, в).
Выразим координаты произвольной точки А в системе координат x'y'z' через
координаты ее в системе xyz. |
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 2.8. Линейные смещения систем координат относительно друг друга: а – вдоль оси х; б – вдоль оси у; в – вдоль оси z.
Для всех трех рассматриваемых случаев на основании сонаправленности одно- именных координатных векторов имеем следующее представление векторов x , y ,
z через векторы x′ , |
y′ , z′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx = 1× x¢ + 0 × y¢ + 0× z¢, |
æ x ö æ |
1 |
0 |
0ö æ x¢ö |
||||||
ï r |
r¢ |
r¢ |
r¢ |
ç r÷ ç |
0 |
1 |
0 |
÷ ç r |
¢÷ |
|
íy = 0 |
× x |
+1× y |
|
+ 0× z , или ç y ÷ = ç |
÷×ç y |
÷ . |
||||
ïr |
r¢ |
r |
¢ |
r¢ |
ç r÷ ç |
0 |
0 |
1 |
÷ ç r¢÷ |
|
îz = 0 |
× x |
+ 0× y |
|
+1× z . |
è z ø è |
ø è z |
ø |
|||
Однако вектора O¢O во всех трех случаях будут различными:
27
1)при смещении вдоль оси Ох: O¢O = bx × x¢ + 0× y¢ + 0× zr¢ ;
2)при смещении вдоль оси Оу: O¢O = 0× x¢ + by × y¢ + 0× zr¢ ;
3)при смещении вдоль оси Оz: O¢O = 0× x¢ + 0× y¢ + bz × zr¢ .
Имеем
OA = xA x + yA y + zA zr , O¢A = O¢O + OA = x¢A x¢ + y¢A y¢ + z¢A zr¢ . C учетом зависимостей ()–(), получаем:
1) при смещении вдоль оси Ох:
O¢A = (bx + xA + 0× yA + 0× zA ) x¢ + (0 + 0× xA + yA + 0× zA ) y¢ + (0 + 0× xA + 0× yA + zA ) zr¢ ,
|
ìx¢ |
|
= 1× x |
A |
+ 0× y |
A |
+ 0× z |
A |
+ b , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
íy¢A = 0× xA +1× yA + 0× zA + 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
× xA + 0× yA +1× zA + 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
îz¢A = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В векторно-матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ x¢ |
ö æ |
1 0 0ö æ x |
ö æb |
ö |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ç |
A |
÷ ç |
0 |
|
1 |
0 |
÷ |
ç |
A ÷ ç |
x |
÷ |
|
|
|
(2.11) |
||||||||
|
ç y¢A |
÷ |
= ç |
|
÷ |
×ç yA ÷ |
+ |
ç |
0 |
÷ . |
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
ç |
0 0 1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||
|
è z¢A |
ø è |
ø è zA ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) при смещении вдоль оси Оу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
|
||||||||
¢ |
+ xA + 0× yA + 0× zA ) x |
¢ |
+ |
(by + 0× xA + yA + 0× zA ) y |
¢ |
+ (0 |
, |
|||||||||||||||||
O A = (0 |
|
|
+ 0× xA + 0× yA + zA ) z |
|||||||||||||||||||||
|
ì |
¢ |
= 1× xA + 0× yA + 0× zA + 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï |
xA |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
× xA +1× yA + 0× zA + by , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
íy¢A = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ï |
|
= 0× xA + 0× yA +1× zA + 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
îz¢A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В векторно-матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ xA¢ |
ö æ |
1 0 0ö æ xA ö æ 0 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
ç |
0 |
|
1 |
0 |
÷ |
|
ç |
÷ |
+ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
(2.12) |
||
|
ç y¢A |
÷ |
= ç |
|
÷ |
×ç yA ÷ |
çby |
÷ . |
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
ç |
0 0 1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||
|
è z¢A |
ø è |
ø è zA ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) при смещении вдоль оси Оz: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
|
||||||||
¢ |
+ xA + 0× yA + 0× zA ) x |
¢ |
+ |
(0 + 0× xA + yA + 0× zA ) y |
¢ |
+ (bz |
, |
|||||||||||||||||
O A = (0 |
|
|
+ 0× xA + 0× yA + zA ) z |
|||||||||||||||||||||
|
ìxA¢ |
= 1× xA + 0× yA + 0× zA + 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
× xA +1× yA + 0× zA + 0, . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
íy¢A = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ï |
|
= 0× xA + 0× yA +1× zA + bz . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
îz¢A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
В векторно-матричной форме:
28
æ xA¢ |
ö æ |
1 |
0 |
0ö |
æ xA ö |
æ 0 |
ö |
|
||||
ç |
÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
(2.13) |
ç y¢A ÷ |
= ç |
÷ |
×ç yA ÷ |
+ ç |
÷ . |
|||||||
ç |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
è z¢A |
ø è |
ø |
è zA ø |
èbz |
ø |
|
||||||
Расширенные матрицы перехода для рассмотренных случаев приведены в табл.
2.1.
Таблица 2.1 Расширенные матрицы преобразования координат для учета линейных смещений
|
Перемещение вдоль оси |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
æ |
1 |
0 |
0 |
b |
ö |
æ |
1 |
0 |
0 |
0 ö |
æ1 |
0 |
0 |
0 |
ö |
|
||
|
|
ç |
|
|
|
x ÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
Матрица преобразования |
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
by ÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
b |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
z |
÷ |
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
è |
1 |
ø |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
этих |
||||||||||||||
|
Следует отметить, что они |
коммутируют |
между собой, а |
также любая |
из |
|||||||||||||||
матриц коммутирует с матрицей, полученной при перемножении двух других. Это математическое свойство находит подтверждение и при анализе действий, описы- ваемых матрицами. Ведь если объект необходимо доставить в точку с координата- ми (х,у,z), то не важна очередность перемещения объекта вдоль координатных осей, чтобы доставить его в заданную точку. Таким образом, можно использовать вместо трех одну универсальную матрицу, учитывающую линейные смещения приводимой системы относительно той, к которой приводят:
æ |
1 |
0 |
0 |
b |
ö æ |
1 |
0 |
0 |
0 ö æ |
1 |
0 |
0 |
0 ö æ |
1 |
0 |
0 |
b |
ö |
|
|
|||||
ç |
|
|
|
x ÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
x ÷ |
|
|
||
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
×ç |
0 |
1 |
0 |
by ÷ |
×ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
= ç |
0 |
1 |
0 |
by ÷ |
, |
(2.14) |
||
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ ç |
0 |
0 |
1 |
b |
÷ ç |
0 |
0 |
1 |
b |
÷ |
|
|
|||
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
z |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
z |
÷ |
|
|
è |
ø è |
ø è |
1 |
ø è |
1 |
ø |
|
|
|||||||||||||||||
где величины bx, bу и bz по существу являются координатами точки начала приво- димой системы координат в системе координат, к которой приводят (далее это бу- дет рассмотрено на конкретных примерах).
Теперь перейдем к математическому описанию углового смещения вокруг ка- кой-либо из координатных осей. Пусть в пространстве введены две ортогональные декартовы системы координат xyz и х'у'z' с совпадающими точками начал О и О' соответственно. При этом система xyz повернута на некоторый угол α:
1)вокруг оси Ох (рис. 2.9, а);
2)вокруг оси Оу (рис. 2.10, а);
3)вокруг оси Оz (рис. 2.11, а).
Выразим координаты произвольной точки А в системе координат x'y'z' через координаты ее в системе xyz.
Для всех трех рассматриваемых случаев в силу совпадения точек начал систем
29
координат имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
× x |
¢ |
+ 0 |
× y |
¢ |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
r |
|
O O = 0 |
|
|
0× z |
|
¢ r¢ |
|
r |
|||||||
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
¢ |
|
|||
OA = xA x + yA y + zA z , O A = O O + OA = OA = xA x |
|
+ yA y |
|
+ zA z |
= xA x + yA y + zA z . |
|||||||||||
Однако представление векторов |
xA x , |
yA y , |
zA z |
в базисе векторов x′ , |
y′ , z′ |
|||||||||||
во всех трех случаях будут различными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) при повороте вокруг оси Ох (рис. 2.9, б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9. Угловые смещения систем координат относительно друг друга вокруг оси х: а – векторное представление координат точки; б – преобразование векторов.
ìxA x = xA |
× x¢ + 0× y¢ + 0× z¢, |
|||
ï |
r |
|
r |
r |
ïíyAry = 0 |
×rx¢ + yA ×cosα |
×ry¢ + yA |
||
îzA z = 0× x¢ - zA ×sinα × y¢ + zA ×
×sinα × zr¢, cosα × zr¢.
Подставляя полученные зависимости в выражение, получим
|
¢ |
|
(xA |
+ 0 + 0) x |
¢ |
+ (0 + yA ×cosα - zA ×sinα |
||||
OA = O A = |
|
|||||||||
ìx¢ |
= x |
|
+ 0 + 0, |
|
|
æ x¢ ö |
æ1 |
|||
ï A |
|
A |
|
|
|
|
ç |
A ÷ |
ç |
0 |
íy¢A = 0 + yA |
×cosα - zA ×sinα, или ç y¢A ÷ |
= ç |
||||||||
ï |
= 0 + yA |
×sinα + zA ×cosα. |
ç |
÷ |
ç |
0 |
||||
îz¢A |
è z¢A ø |
è |
||||||||
2) при повороте вокруг оси Оу (рис. 2.10, б): |
||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
) y¢ + (0 + yA ×sinα + zA ×cosα ) zr¢
0 |
0 |
ö |
æ xA ö |
|
cosα |
|
÷ |
ç |
÷ |
-sinα ÷ |
×ç yA ÷ . |
|||
sinα |
cosα |
÷ |
ç |
÷ |
ø |
è zA ø |
|||
Рис. 2.10. Угловые смещения систем координат относительно друг друга вокруг оси y: а – векторное представление координат точки; б – преобразование векторов.
30
ìxA x = xA |
×cosα × x¢ + 0× y¢ - |
|||
ï |
r |
r¢ |
r¢ |
r¢ |
íyA y = 0× x |
+ yA × y |
+ 0× z , |
||
ï |
r |
|
r |
r |
îzA z = zA |
×sinα × x¢ + 0× y¢ + |
|||
xA ×sinα × z¢,
zA ×cosα × zr¢.
Подставляя полученные зависимости в выражение, получим |
|
|
r¢ |
||||||||||
¢ |
|
¢ |
+ (0 + yA + 0) y |
¢ |
|
|
|
|
|
||||
OA = O A = (xA ×cosα + 0 + zA ×sinα ) x |
|
|
+ (-xA ×sinα + 0 + zA ×cosα ) z |
||||||||||
ìxA¢ = xA ×cosα + 0 + zA ×sinα, |
|
|
æ xA¢ |
ö |
æ cosα |
0 |
sinα ö |
æ xA ö |
|||||
ï |
|
|
ç |
÷ |
ç |
0 |
|
|
1 |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
íy¢A = 0 + yA + 0, |
или ç y¢A ÷ |
= ç |
|
|
÷ |
×ç yA ÷ . |
|||||||
ï |
|
|
ç |
÷ |
ç |
-sin |
α |
0 |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
îz¢A = -xA ×sinα + 0 + zA ×cosα. |
|
|
è z¢A |
ø |
è |
cosα ø |
è zA ø |
||||||
3) при повороте вокруг оси Оz (рис. 2.11, б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.11. Угловые смещения систем координат относительно друг друга вокруг оси z: а – векторное представление координат точки; б – преобразование векторов.
|
ìxA x = xA ×cosα × x |
¢ |
+ xA ×sinα × y |
¢ |
+ |
¢ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0× z , |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï |
r |
|
×sinα |
|
|
r¢ |
|
|
|
|
|
r¢ |
|
r¢ |
|
|
|
|
|
|
íyA y = - yA |
× x |
+ yA ×cosα × y |
+ 0× z , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ï |
r |
r¢ |
r |
¢ |
|
|
|
r¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îzA z |
= 0× x |
+ 0× y |
|
+ zA × z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя полученные зависимости в выражение, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||
OA = O¢A = (xA ×cosα - yA ×sinα + 0) x¢ + (xA ×sinα + yA ×cosα + 0) y¢ + (0 + 0 + zA ) zr¢ |
||||||||||||||||||||
ìxA¢ |
= xA ×cosα - yA ×sinα + 0, |
|
|
|
|
æ xA¢ |
ö |
æcosα |
-sinα |
0 |
ö |
æ xA ö |
||||||||
ï |
|
|
×cosα + 0, или |
ç |
÷ |
ç |
|
|
|
cosα |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
||||||
íy¢A = xA ×sinα + yA |
ç y¢A |
÷ |
= ç sinα |
÷ |
×ç yA ÷ . |
|||||||||||||||
ï ¢ |
= 0 + 0 + zA . |
|
|
|
|
|
|
|
ç ¢ |
÷ |
ç |
0 |
|
|
0 |
1 |
÷ |
ç |
÷ |
|
îzA |
|
|
|
|
|
|
|
è zA |
ø |
è |
|
|
ø è zA ø |
|||||||
Расширенные матрицы перехода приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1 Расширенные матрицы преобразования координат для учета угловых смещений.
Поворот вокруг оси
|
х |
у |
z |
31