2.1.4. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР.

Рассмотрим манипулятор ПР, имеющий следующую кинематическую структу- ру, изображенную на рис. 2.3, а.

Девять подвижных и одно неподвижное (стойка) звено соединены девятью од- ноподвижными парами (V класс), из которых пять вращательных и четыре поступа- тельные (рис. 2.3, б). Число степеней подвижности кинематической цепи манипуля- тора ПР согласно формуле (2.1) составляет

W = 6×9 - 5×9 - 4×0 - 3×0 - 2×0 -1×0 = 9 .

Следует отметить, что данная кинематическая структура имеет сравнительно большое число степеней подвижности (особенно по сравнению с рассмотренными ранее), что позволяет говорить как о ее плюсах, так и о ее минусах. К достоинствам следует отнести немалую маневренность (максимально 3 степени подвижности), возможность реализации рабочей зоны большого объема и, как следствие, большая универсальность. В качестве недостатков можно отметить сравнительно меньшие точности позиционирования и отработки траектории, вызванные накоплением по- грешностей в каждой из пар.

Последнее, о чем хотелось бы сказать, это то, что данная кинематическая структура манипулятора приведена как абстрактный пример решения прямой зада- чи о положениях, следовательно, она не обязательно применяется в ПР существую- щих конструкций.

2.2.Назначение собственных систем координат.

2.2.1.Общие принципы назначения собственных систем координат.

Как уже упоминалось во введении, совмещение осей координат с характерны- ми признаками звена во многом облегчает решение прямой задачи о положениях. В общем случае можно ориентировать оси произвольным образом, однако это затруд-

нит понимание и конструирование алгоритма решения задачи и во многих случаях увеличит объем вычислительной работы. Верно и обратное: продумывая при назна- чении собственных систем координат операции их преобразования, можно добиться уменьшения количества последних.

Точки начал систем координат должны находиться в кинематических парах. Рекомендуется при выборе направлений осей собственных систем координат руко- водствоваться следующими принципами:

–ось z направлять вдоль оси вращения во вращательных кинематических парах или вдоль направления поступательного перемещения в поступательных па- рах;

–ось х или у совмещать с осевой линией звена либо направлять перпендикуляр- но к ней (в некоторых случаях бывает уместным совместить координатный

16

вектор с плоскостью, образованной соседними звеньями);

–оставшуюся ось следует направлять таким образом, чтобы в общем получа-

лась правосторонняя система координат1.

При решении допускается использовать и левостороннюю систему координат, однако не рекомендуется в рамках расчета одной кинематической структуры ком- бинировать использование указанных систем, поскольку отход от однообразия по- вышает вероятность возникновения ошибок и затрудняет их поиск.

Также при назначении собственных систем координат отдельных звеньев ре- комендуется стремиться к тому, чтобы оси хотя бы одной из трех пар одноименных координатных векторов соседних систем были коллинеарны друг другу, поскольку это упрощает переход между соседними системами координат. Однако это стремле- ние не должно носить приоритетный характер.

Кроме этого, при назначении систем координат следует учитывать то, каким образом в рамках данной системы координат будет отсчитываться обобщенная ко- ордината (имеется ввиду от чего и в каком направлении она будет отсчитываться).

При изображении направлений осей на эскизе рекомендуется придерживаться следующего: выбирается направление под произвольным углом и принимается, что в этом направлении будут откладываться координатные вектора, перпендикулярные плоскости листа. Причем, если вектора направлены на нас, то рекомендуется ориен- тировать их параллельно выбранному направлению смотрящими вниз, в то время как направленные от нас – смотрящими вверх. Для иллюстрации вышесказанного наглядно рассмотрим назначение собственных систем координат на примере раз- личных кинематических структур манипуляторов ПР.

2.2.2. Назначение собственных систем координат при решении задачи для кинематической структуры манипулятора ПР мод. М20П.40.01.

Для описания ротации звена 4 (схвата робота) относительно звена 3 необходи- мо ввести систему координат 4, жестко связанную со звеном 3 и назначить правила отсчета обобщенной координаты (обозначим ее ϕ4), которая в данном случае будет учитывать угол ротации. Начнем с системы координат, которая берет начало в точ- ке В (рис. 2.4): вектор z4 в соответствии с п. 2.2.1. направим от точки C до точки B вдоль оси ротации кинематической пары, т.е. горизонтально. Вектор у4 направим вертикально вниз, тогда вектор х4 должен замкнуть правую тройку векторов, обра- зуя правостороннюю систему координат. Остается указать правила отсчета обоб- щенной координаты. Условимся угол ϕ4 отсчитывать от положительного направле- ния оси x до плоскости звена 4. Таким образом, на рис. 2.4 и в приложении 1 дано изображение кинематической структуры манипулятора ПР при ϕ4 = −90o (или

1 Для правосторонней системы координат справедливы следующие векторные ра-

венства: x × y = z , y × z = x , z × x = y .

17

ϕ4 = 270o ).

Всистеме 3 происходит описание выдвижения руки робота с помощью обоб-

щенной координаты s3. Начало системы совпадает с точкой С. При этом оси данной системы координат сонаправлены с одноименными осями системы 4. Положитель-

ным направлением отсчета координаты s3 назначим направление CB .

Оси системы 2, начинающейся в поступательной кинематической паре (точка D), направлены следующим образом: z2 ориентирована вдоль направления поступа- тельного перемещения звена 2 относительно звена 1 вертикально вверх; у2 лежит в плоскости звена 2, а ось х2 замыкает правую тройку векторов, совпадая с направле- нием нормали к указанной плоскости. При таких направлениях координатных осей вектора х2 и х3 остаются сонаправленными несмотря на значения любой из обоб- щенных координат.

Направления одноименных координатных осей и точки начал (точка О) систем координат 1 и 0 примем совпадающими. Ось z1 направим вдоль оси ротационной кинематической пары (в данном случае вверх); у1 – горизонтально вправо; х1 – гори- зонтально на нас. В системе 1 происходит описание ротации звена 1 относительно неподвижной стойки 0. При этом обобщенная координата ϕ1 отсчитывается от по- ложительного направления оси х1 до положительного направления оси х2. Таким образом, на рис. 2.4 и в приложении 1 кинематическая структура изображена в том положении, когда ϕ1 = 0o . Также в этой системе происходит учет поступательного

перемещения s2, которое влияет на высоту расположения руки робота. За положи- тельное принято направление OD .

Рис. 2.4. Назначение собственных систем ко-	Рис. 2.5. Назначение собственных сис-
ординат для ПР мод. М20П.40.01.	тем координат для ПР мод. М10П.62.01.

18

2.2.3. Назначение собственных систем координат при решении задачи для кинематической структуры манипулятора ПР мод. М10П.62.01.

В первой кинематической паре, обеспечивающей ротацию звена 1 относитель- но стойки 0, в точке О (рис. 2.5) начинаются системы 1 и 0. Неподвижная система 0 связана со стойкой и имеет следующую ориентацию осей: х0 – на нас; у0 – вправо, вдоль оси ротации; z0 – вертикально вверх.

Система 1 также жестко связана со стойкой, в ней производится учет ротации звена 1 с помощью угла (обобщенной координаты) ϕ1, отсчитываемого от положи- тельного направления оси х1 до положительного направления оси z2. При этом ось z1 направлена по оси кинематической пары; х1 – сонаправлена с осью х0; у1 – верти- кально вниз. Таким образом, на рис. 2.5 приведено положение манипулятора ПР при

ϕ1 = 0 .

Система 2 жестко связана со звеном 1 и начинается в точке D. При этом ось z2 направлена по оси кинематической пары (в данном случае горизонтально на нас); х2

– горизонтально по звену 1; у2 – дополняет правую тройку векторов. В рамках этой системы координат производится учет качания звена 2 относительно звена 1 с по- мощью обобщенной координаты ϕ2, отсчитываемой от положительного направле- ния оси х2 до плоскости звена 2 (в данном частном случае на рис. 2.5 изображено положение манипулятора ПР при ϕ2 = 270o ). Кроме этого, с помощью обобщенной

координаты s3 в данной системе происходит учет линейного смещения точки C вдоль оси z2.

Система 3 берет начало в точке C и имеет следующую ориентацию осей: z3 на-

правлена вдоль поступательного перемещения в третьей кинематической паре и сонаправлена с z2; х3 – лежит в плоскости звена 2; у3 – замыкая правую тройку век- торов, совпадает с нормалью к плоскости звена 2.

Система 4, начинающаяся в точке В, служит для описания ротации схвата ро- бота (звена 4) с помощью обобщенной координаты ϕ4, которая отсчитывается от положительного направления оси х4 до плоскости схвата. При этом ось z4 направле- на по оси кинематической пары; у4 – сонаправлена с осью у3; х4 – дополняет право- стороннюю систему координат.

2.2.4. Назначение собственных систем координат при решении прямой задачи о положениях для кинематической структуры ПР.

Система координат 9, относительно которой описывается ротация схвата ро- бота, является собственной для звена 9. Начинается она в точке B (рис. 2.6). Ось z9

совпадает с осью ротации и сонаправлена с вектором CB , ось х9 параллельна оси z8, а направление оси у9 делает данную систему координат правосторонней. Следует отметить, что при α8 = 180o оси у систем 8 и 9 будут сонаправлены. Обобщенная

координата α9, описывающая ротацию звена 9, отсчитывается от положительного

19

направления оси х9 и фиксирует плоскость звена 9. В частности на рис. 2.6 изобра- жен случай, когда α9 = 0o .

Рис. 2.6. Назначение собственных систем координат.

20

Начинающаяся в точке О система 0 имеет следующую ориентацию осей: ось z0 неподвижной системы координат стойки направлена вертикально вверх, ось х0 – вдоль направления поступательного перемещения в первой кинематической паре, перпендикулярно плоскости листа (на нас), ось у0 направлена вправо. В этой систе- ме координат происходит учет перемещения звена 1 относительно стойки в посту- пательной кинематической паре, которое описывается обобщенной координатой s1, отсчитываемой от начала системы 0 (точки О) до точки K.

Система 1: начало системы координат (точка K) совпадает с поступательной кинематической парой 1, ось z1 направлена вдоль линейного перемещения (сона- правлена с осью x0), ось у1 параллельна оси у0, ось х1 дополняет правую тройку ко- ординатных векторов, имея направление вертикально вниз. Можно заметить, что координатные вектора у0 и у1 остаются параллельными при любом допустимом зна- чении обобщенной координаты s1.

Система 2 берет свое начало в точке J вращательной кинематической пары, со- единяющей звенья 1 и 2. При этом ось z2 направлена вдоль оси этой пары верти- кально вверх, ось у2 параллельна оси у1, а ось х2 – оси z1. Как можно заметить и в этом случае удалось добиться параллельности одной пары одноименных осей. В этой системе, жестко связанной со звеном 1, с помощью обобщенной координаты α2 описывается ротация звена 2 относительно звена 1, а также линейное перемещение s3 звена 3 относительно звена 2. Причем угол α2 отсчитывается от положительного направления оси х2 до плоскости звена 2. Обобщенная координата линейного харак- тера s3 отсчитывается по вертикали от точки J до точки H.

Система 3 начинается в точке Н поступательной кинематической пары. Для

данной кинематической структуры манипулятора ПР в этой системе не происходит фиксирования каких-либо перемещений (линейных или угловых) обусловленных изменением значений обобщенных координат. Однако в ней будут учитываться постоянные линейные смещения вращательной кинематической пары 4 относитель- но поступательной пары 3. Оси этой системы направим следующим образом: z3 – вдоль направления поступательного перемещения s3, что означает параллельность осей z3 и z2 в независимости от значения координаты α2; ось у3 направлена перпен- дикулярно z3 и лежит в плоскости звена 2; ось х3 замыкает правую тройку векторов и совпадает с нормалью плоскости звена 2. Таким образом, при α2 = 90o одноимен-

ные оси систем 2 и 3 сонаправлены.

Система 4, в которой будет описываться качание звена 4 относительно звена 3 с помощью обобщенной координаты α4, начинается в точке G и имеет следующую структуру: ось z4 направлена вдоль оси вращения в кинематической паре 4 и совпа- дает с вектором нормали плоскости звена 3 (сонаправлена с осью х3); остальные же оси лежат в указанной плоскости, причем ось х4 направлена от точки G вращатель- ной кинематической пары по осевой линии элемента L3 звена 3, а ось у4 перпенди- кулярна ей. В целом образуется правая система координат, и при этом опять же

21

удалось сохранить сонаправленность осей у систем 3 и 4.

Кроме учета угла α4 между звеньями 3 и 4, в этой системе происходит фикси- рование линейного перемещения s5 точки F поступательной кинематической пары 5. Причем угловая обобщенная координата α4 отсчитывается от положительного направления оси х4 до плоскости звена 4, а линейная обобщенная координата s5 отсчитывается по горизонтали от точки G до точки F. Этот случай аналогичен рас- смотренному на примере структуры манипулятора ПР (рис. 2.5, б) в п. 2.2.3.

Система 5, начинающаяся в точке F, служит для учета фиксированного линей- ного смещения точки Е. Ориентация осей носит следующий характер: z5 – вдоль направления поступательного перемещения s5, что означает параллельность осей z5 и z4 в независимости от значения координаты α4; ось х5 направлена перпендикуляр- но z5 и лежит в плоскости звена 4; ось у5 замыкает правую тройку векторов и совпа- дает с нормалью плоскости звена 4. Таким образом, при α4 = 180o одноименные оси

систем 4 и 5 будут сонаправлены.

Начало системы 6 совпадает с точкой Е вращательной кинематической пары 6, в которой с помощью обобщенной координаты α6 описывается качание звена 6 ма- нипулятора относительно звена 5, а также фиксируется линейное перемещение s7 звена 7 относительно звена 6. Ось z6 направлена вдоль оси вращения пары (на нас), ось х6 – от точки Е кинематической пары по звену 5, а ось у6 – перпендикулярно к ним, образуя правую тройку координатных векторов. Такая ориентация осей позво- лила сонаправить оси у обеих систем координат.

Отсчет угла α6 происходит от положительного направления оси х6, совпадаю- щей с осевой линией звена 5 до осевой линии звена 6. Базой для отсчета линейного перемещения s7 является точка Е, а конечным пунктом – точка D поступательной кинематической пары 7.

Оси 7 системы координат, берущей свое начало в точке D, направлены сле- дующим образом: z7 – вдоль направления поступательного перемещения s7 (по зве- ну 6); х7 лежит в плоскости, образованной звеньями 6 и 7, и перпендикулярна осе- вой линии звена 7, у7 дополняет правую тройку координатных векторов и совпадает

снаправлением нормали к последней указанной плоскости.

Вэтой системе для данной кинематической структуры не происходит учета ка- ких-либо перемещений, обусловленных изменением обобщенных координат, одна- ко ее удобно использовать для описания линейных смещений точки С вращатель- ной кинематической пары 8, вызванных наличием постоянных параметров структу- ры – размерами и конфигурацией звена 7.

Система 8 служит для описания поворота звена 8 относительно звена 7, обес-

печиваемого изменением значения обобщенной координаты α8 во вращательной кинематической паре 8, соединяющей указанные звенья. Начало этой системы на- ходится в точке С. Ось z8 направлена вдоль оси вращения, ось х8 совмещена с лини- ей звена 7 и исходит из точки С, ось у8 перпендикулярна плоскости звена и допол-

22

няет правую тройку координатных векторов. В этом случае также удалось сонапра- вить оси у систем 7 и 8.

Угол α8, отсчитываемый от положительного направления оси х8 (т.е. фактиче- ски от осевой линии звена 7), фиксирует осевую линию звена 8. Другими словами, угол α8 заключен между двумя звеньями.

23