2. Создание алгоритма решения прямой задачи о положениях.

В рамках данного раздела рассмотрим ход решения прямой задачи о положени- ях пространственного манипулятора ПР, начиная с определения числа степеней подвижности, а, следовательно, и числа обобщенных координат, необходимого для однозначного описания кинематической структуры манипулятора, и заканчивая

матричными преобразованиями собственных систем координат его отдельных звеньев. Рассмотрение будет производиться на примере конкретных кинематиче- ских структур манипуляторов ПР.

2.1.Определение числа степеней подвижности ok

2.1.1.Определение числа степеней подвижности для пространственной

кинематической структуры манипулятора.

Число степеней свободы W, которым обладает кинематическая цепь, относи- тельно звена, принятого за неподвижное, вычисляется по следующей формуле

W = 6×n - 5× p5 - 4× p4 - 3× p3 - 2× p2 -1× p1 , (2.1)

где n – число подвижных звеньев, р1–5 – число пар I, II, III, IV и V класса соответст- венно.

Смысл формулы заключается в следующем: каждое из n подвижных звеньев, будучи несвязанным, имеет 6 степеней свободы, поэтому максимальным пределом числа степеней свободы для кинематической цепи является число 6n. Однако нали- чие в кинематической цепи пар V класса отнимает некоторое количество степеней подвижности. Поскольку каждая из пар V класса отнимает 5 степеней, то p5 пар отнимают 5×p5 степеней свободы. Распространяя подобные доводы и на кинемати- ческие пары остальных классов, получаем зависимость (2.1).

Формула (2.1) впервые, в несколько ином виде, была дана П.И. Сомовым в 1887 г. и развита А.П. Малышевым в 1923 г. и носит название формулы Сомова– Малышева.

В рамках решения прямой задачи о положениях для кинематических структур манипуляторов ПР, приведенных в приложениях настоящего пособия, рекомендует- ся пронумеровать звенья структуры механизма. Причем неподвижное звено (стой- ка) должно иметь индекс «0», а все последующие в порядке возрастания номеров, тогда номер последнего подвижного звена (схвата) будет численно равен количест- ву подвижных звеньев n механизма. Более наглядно это рассматривается далее на примере конкретных кинематических структур.

14

2.1.2. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.

Кинематическая структура манипулятора представлена на рис. 2.1, а. После анализа структуры и нумерации ее звеньев в соответствии с рекомендациями, ука- занными в п. 2.1.1., выясняется, что механизм имеет 5 звеньев (в т.ч. 4 подвижных), соединенных четырьмя одноподвижными парами (V класс), из которых 2 враща- тельные и 2 поступательные (рис. 2.1, б). Число степеней подвижности кинематиче- ской цепи манипулятора ПР согласно формуле (2.1) составляет:

W = 6×4 -5×4 - 4×0 -3×0 - 2×0 -1×0 = 4

Учитывая необходимость равенства числа степеней подвижности и числа обобщенных координат, для решения прямой задачи о положениях должны быть заданы четыре обобщенные координаты.

2.1.3. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01.

Кинематическая структура манипулятора данного ПР представлена на рис. 2.2, а. После нумерации звенья структуры в соответствии с рекомендациями, указанны- ми в п. 2.1.1. выясняется, что 5 звеньев (в т.ч. 4 подвижных) соединены четырьмя одноподвижными парами (V класс), из которых 3 вращательные и одна поступа- тельная (рис. 2.2, б). Число степеней подвижности кинематической цепи манипуля- тора ПР согласно формуле (2.1) составляет

W = 6×4 -5×4 - 4×0 -3×0 - 2×0 -1×0 = 4 .

Следовательно, и число обобщенных координат также равно четырем.

a)

б)

a)

б)

Рис. 2.1. Кинематическая структура манипулятора ПР мод. М20П.40.01

a)б)

Рис. 2.2. Кинематическая структура	Рис. 2.3. Кинематическая структура
манипулятора ПР мод. М10П.62.01	манипулятора ПР.
	15