- •Введение
- •1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Кинематические пары и их классификация.
- •1.3. Кинематические цепи.
- •1.4. Краткие сведения из теории матриц.
- •2. Создание алгоритма решения прямой задачи о положениях.
- •2.1. Определение числа степеней подвижности ok
- •2.1.2. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.
- •2.1.3. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01.
- •2.1.4. Определение числа степеней подвижности для кинематической структуры манипулятора ПР.
- •2.2. Назначение собственных систем координат.
- •2.2.1. Общие принципы назначения собственных систем координат.
- •2.2.2. Назначение собственных систем координат при решении задачи для кинематической структуры манипулятора ПР мод. М20П.40.01.
- •2.2.3. Назначение собственных систем координат при решении задачи для кинематической структуры манипулятора ПР мод. М10П.62.01.
- •2.2.4. Назначение собственных систем координат при решении прямой задачи о положениях для кинематической структуры ПР.
- •2.3. Преобразования систем координат. (edit)
- •2.3.1. Общие принципы преобразования систем координат.
- •2.3.2. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.
- •2.3.3. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01.
- •2.3.4. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР.
- •3. Реализация вычислительного алгоритма на ЭВМ.
- •3.1. Работа с системой MathCAD.
- •3.1.1. Общее описание системы и ее запуск.
- •3.1.2. Общие приемы работы в среде.
- •3.1.3. Работа с векторами и матрицами.
- •3.2. Тестирование алгоритма.
- •3.2.1. Классификация ошибок.
- •3.2.2. Проверка правильности решения прямой задачи о положениях манипулятора ПР.
- •Список литературы
- •Приложения
- •Решение прямой задачи о положениях для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.
- •Решение прямой задачи о положениях для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01.
- •Решение прямой задачи о положениях для кинематической структуры манипулятора ПР
- •Варианты заданий.
|
æ1 |
0 |
0 |
0ö |
æ cosϕ |
0 |
sinϕ |
0ö |
æ cosϕ |
-sinϕ |
0 |
0ö |
|||||||
Матрица |
ç |
0 |
cosα |
-sinα |
0 |
÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
ç |
|
cosϕ |
0 |
0 |
÷ |
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç sinϕ |
÷ |
||||||||||||||
преобразо- |
ç |
0 |
sinα |
cosα |
0÷ |
ç -sinϕ |
0 |
cosϕ |
0÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
0÷ |
|||||
вания |
|||||||||||||||||||
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
||
|
|||||||||||||||||||
|
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
Таким образом, в табл. 2.1 и 2.1 приведены шесть матриц преобразования, ко- торые реализуют принцип шести степеней свободы. Следует отметить, что матрицы угловых смещений в общем случае между собой не коммутируют, однако они ком- мутируют с матрицами линейных смещений. Отвлекаясь от математики, вышеска- занное можно пояснить так: не важно сначала повернуть объект, а затем доставить его в заданную точку или наоборот.
Подробнее эти ситуации будут рассмотрены на примерах расчетов конкретных кинематических структур.
2.3.2. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.
Координаты точки А в собственной системе координат звена 4 из-за отсутствия эксцентриситета в общем виде принимают значения: A4 (0×cosϕ4 ,0×sinϕ4 , L4 ) (рис.
2.4, б). Здесь величина L4 характеризует длину звена 4.
Для вычисления координат этой же точки, но в системе 0 необходимо найти за- коны перехода от системы 4 к системе 3, затем от 3й ко 2й и от 2й к 1й. Переход от системы 1 к системе 0 не требуется, поскольку в пункте 2.1.2. настоящего пособия было отмечено, что одноименные оси и точки начал этих систем совпадают.
Начиная с перехода от 4й к 3й системе, заметим, что одноименные координат- ные вектора сонаправлены (рис. 2.12) и учет угловых смещений не требуется. Одна- ко точки начал систем смещены друг относительно друга. Причем модуль этого смещения не постоянен, а зависит от обобщенной координаты s3, поскольку жестко связанная со звеном 3 система координат 4 поступательно перемещается при нали- чии движения в кинематической паре 3. Следует учесть, что при назначении собст- венных систем координат ось z3 была направлена вдоль поступательного движения, поэтому смещение точки начала системы 4 (точки В) на величину s3 происходит
вдоль оси z. Это находит свое отражение в координатах точки B (0;0; s3 ) и описы- вается матрицей:
|
|
æ1 |
0 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
M |
4→3 |
= ç |
÷ . |
||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
s |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
3 |
÷ |
|
|
è |
1 |
ø |
При переходе от 3й ко 2й системе координат (рис. 2.13, а), заметим, что посту- пательное движение в паре 2 никоим образом не влияет на взаимную ориентацию
32
осей указанных систем. Кроме этого, учтем, что из трех пар одноименные коорди- натных векторов сонаправлены только х2 и х3, остальные же имеют угловое смеще- ние, а также не совпадают точки начал систем координат, что говорит о наличии линейных смещений. Поскольку матрицы перехода учитывают лишь одно из сме- щений, то введем в рассмотрение вспомогательную систему координат х'y'z', начи- нающуюся в точке С. Данная система получается из системы х2y2z2 путем переноса точки начала вдоль оси Oz на расстояние L2 (длина звена 2). Таким образом, пере- ход от 3й ко 2й системе координат будет происходить не напрямую, а через вспомо-
гательную систему х'y'z'. |
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 2.12. Переход |
|
|
от системы 4 |
|
|
к системе 3. |
Рис. 2.13. Переход от системы 3 к системе 2 |
Итак, переход от 3й системы к х'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oх второй системы на –90° (рис. 2.13, б). Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α = −90o :
|
æ1 |
0 |
0 |
0ö |
æ1 0 |
0 |
0 |
ö |
||||
|
ç |
0 |
cos(-90o ) |
-sin (-90o ) |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
M |
ç |
÷ |
||||||||||
3′ = ç |
0 |
sin (-90o ) |
cos(-90o ) |
0 |
÷ |
= ç |
0 |
-1 |
0 |
0 |
÷ . |
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
||||||||
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
è |
|
|
|
|
ø |
Переход от х'y'z' к системе 2 происходит путем учета линейного смещения пер- вой относительно оси Oz второй системы на L2. Для учета линейных смещений дос- таточной найти координаты точки начала системы 3 (точки С) относительно систе-
мы координат 2 C (0;0; L2 ) и использовать следующую матрицу преобразования координат:
|
|
æ1 |
0 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
M |
2′ |
= ç |
÷ . |
||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
L |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
2 |
÷ |
|
|
è |
1 |
ø |
Таким образом, для преобразования координат 3й системы в координаты 2й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:
33
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
0 |
0 |
0 öæ |
1 |
0 |
0 |
0ö æ |
1 |
0 |
0 |
0 ö |
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
֍ |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
M |
3→2 |
= M |
2′ |
×M |
3′ |
= ç |
֍ |
÷ |
= ç |
÷ . |
||||||||||||
|
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
L |
֍ |
0 |
-1 |
0 |
0 |
÷ ç |
0 |
-1 |
0 |
L |
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
2 |
֍ |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
øè |
ø è |
1 |
ø |
Необходимо отметить, что в данном случае возможен и другой переход: сперва линейно перенести точку начала системы 3 в точку D, а затем повернуть на угол –90° (рис. 2.13, в). При таком порядке перехода изменится и последовательность матриц преобразования, однако результирующая матрица не изменится, поскольку, как упоминалось в п. 2.3.1., участвующие в этом переходе матрицы коммутируют
между собой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
0 |
0 |
0öæ |
1 |
0 |
0 |
0 ö æ |
1 |
0 |
0 |
0 ö |
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
֍ |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
M |
3→2 |
= M |
3′ |
× M |
2′ |
= ç |
֍ |
÷ |
= ç |
÷ . |
||||||||||||
|
|
|
ç |
0 |
-1 |
0 |
0 |
֍ |
0 |
0 |
1 |
L |
÷ ç |
0 |
-1 |
0 |
L |
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
֍ |
0 |
0 |
0 |
2 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
øè |
1 |
ø è |
1 |
ø |
Этот пример показывает, что в некоторых случаях порядок преобразования систем координат может быть различным, однако и с точки зрения выполняемых действий, и с точки зрения математических операций результат будет одним и тем же.
Теперь перейдем к дальнейшим преобразованиям. Ротация в первой кинемати- ческой паре на угол ϕ1 приводит к угловому смещению первого и всех последую- щих звеньев манипулятора относительно стойки. Система координат 2 жестко свя- зана со звеном 1, следовательно, и она будет иметь некоторое угловое смещение относительно оси z1 системы координат 1 (рис. 2.14, а). Кроме этого, в общем слу- чае системы 1 и 2 имеют линейное смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты s2, характеризующей перемещение во второй поступательной кинема- тической паре. Таким образом, при переходе от 2й к 1й системе координат необхо-
димо учесть указанные смещения. |
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 2.14. Переход от системы 2 к системе 1.
В этом случае, как и при переходе от 3й ко 2й системе через вспомогательную х'y'z' возможны 2 варианта. Далее будет более подробно рассмотрен один из них (рис. 2.14, б), второй же получается изменением порядка преобразований (рис. 2.14,
в).
34
Итак, переход от 2й системы к х'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oz второй системы на ϕ1. Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α = ϕ1 :
|
|
æcosϕ1 |
-sinϕ1 |
0 |
0 |
ö |
|
M |
|
ç |
|
cosϕ1 |
0 |
0 |
÷ |
2′ |
= ç sinϕ1 |
÷ . |
|||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
è |
ø |
Переход от х'y'z' к системе 1 происходит путем учета линейного смещения пер- вой относительно оси Oz второй системы на s2. Для учета линейных смещений дос- таточной найти координаты точки начала системы 3 (точки D) относительно систе-
мы координат 2 D(0;0; s2 ) и использовать следующую матрицу преобразования координат:
|
|
æ1 |
0 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ |
M |
1′ |
= ç |
÷ . |
||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
s |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
2 |
÷ |
|
|
è |
1 |
ø |
Таким образом, для преобразования координат 2й системы в координаты 1й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:
|
|
|
|
|
|
æ1 |
0 |
0 |
0 |
öæcosϕ1 |
-sinϕ1 |
0 |
0ö |
æcosϕ1 |
-sinϕ1 |
0 |
0 |
ö |
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
֍ |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
M |
2→1 |
= M |
1′ |
×M |
2′ |
= ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
÷ç sinϕ1 |
cosϕ1 |
0 |
0 |
÷ |
= ç sinϕ1 |
cosϕ1 |
0 |
0 |
÷ . |
||
|
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
s2 |
֍ |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
s2 |
÷ |
|||
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
֍ |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
øè |
ø |
è |
ø |
Еще раз отметим, что на основании совпадения точек начал систем координат и сонаправленности одноименных осей переход от системы 1 к системе 0 излишен2.
Таким образом, для нахождения координат точки А (точки схвата) найдены все промежуточные матрицы перехода и для получения окончательного решения необ- ходимо только правильно их расположить. Эта задача аналогична учету вспомога- тельной системы, поэтому матрица перехода от системы 4 к системе 0 получается в результате перемножения всех промежуточных матриц преобразования:
2 Строго говоря, в этом случае матрица перехода будет единичной, что никак не скажется на преобразованиях.
35