конспект лекции__1
.3.pdfа)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно |
обнаруживающего S-кратныеошибки |
б)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно |
исправляющего t-кратныеошибки |
в)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно |
обнаруживающегоошибкикратностидо |
S'и |
исправляющего V кратныеошибки |
|
|
Рис5 |
.3 |
|
58
5.1.3 Классификацияпомехоусто |
йчивыхкодов |
|
|
|
Ужеотмечалось,чтоп мехк подразделеныдыустойчивые |
надвао |
бширныхкласса |
– |
|
блоковыеинепреркод.Блоковыеыкодсвоюноч |
|
ередьделятсянанеразделимые |
|
|
коды.Очастоеньвразд |
елимыхкодахизбыточныеинформационныеэлементысвязываютсямежду |
|
|
|
собойсистемамилинейныхпроверочныхсоотно |
|
шений.Такиеразделкодыпрназыватьимнятое |
|
|
систематическимикодами.Всилутого,что |
|
збыточныеэлементывсистематическихкодахявляются |
|
|
результатомпроверкиначе |
тностьпределенныхинформационныхэлемен,частоизбыточныев |
|
|
|
элементыкодомбинвой |
ацииназывают |
проверочными. |
|
|
Нарис. 5 |
.прив4 сх,иллюстрирующаяеденамарассмотреннуюкласс |
ификацию |
||
помехоустойчивыхкодов. |
|
|
|
|
Помехоустойчивые
коды
Блоковые |
|
Непрерывные |
|
|
|
Разделимые |
|
Неразделимые |
|
|
|
Систематические |
|
Несистематические |
|
|
|
Рис.5 .4.
59
5.1.4 Граничныесоотношениямеждухарактеристикамипомехоусто |
|
|
|
|
йчивыхкодов |
|
|||||
|
Однойизважнейших |
задачпостропомекхнияосздаустойчивого |
|
|
|
|
аданными |
||||
характериявляетсяустантикамиоовлениеметношения |
|
|
|
ждуегоспособностьюобнаруживатьили |
|
|
|||||
исправлятьошибкиизбыточн |
остью,.е.связьмежду |
|
n – k и dmin.Сущесрядоценокэтсвязивуетой. |
|
|
||||||
Рассмотримн |
аиболеепопуля.Есликодпреныедиспрляназнавлениячен |
|
|
|
|
t – кратныхош |
ибок,тов |
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
каждойиз2 |
защитныхзонегоразрешенныхко |
|
мбинацийдолжнонаходитьсяпо |
|
|
∑ Cni различных |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
комб,аобщаяисумманх,естественноций,недолжнапр |
|
|
|
евышатьч |
исла2 n,т.е. |
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 n ≥ 2 k ∑ Cni ,или |
2n−k ≥ ∑Cni ,т.е. |
n − k ≥ log2 ∑ Cni . |
|
|
||||
|
|
|
i =0 |
|
|
i =0 |
|
i =0 |
|
|
|
|
Этосоотношениепринятоназывать |
|
границейХэ |
мминга. |
|
|
|
|
|||
|
Другоеграничсоотявлянослшениеследующихтсятвиемра |
|
|
|
|
ссуждений.Евсферули |
|
||||
радиусом2 |
t,пров еденнуювоклюбойругазр |
|
ешеннойкомби,непопникадругаяцииеткая |
|
|
|
|
||||
разрешеннаякомбинация,токодспособправвсошибкиекратнть |
|
|
|
|
остидо |
t включительно.Число |
|||||
разрешенкомбитакныхаций |
огокодабудетопределятьсясоотношением |
|
|
2 k ≥ |
2 n |
,откуда |
|||||
|
|
2t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ Cni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
2 n−k ≤ ∑ Cni |
или n − k ≤ log 2 ∑Cni . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
i =0 |
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
Даннаяоценкап |
олучиланазывание |
границыВаршамова |
– Гилберта. |
|
|
|
||||
|
ГраницаХэммингауказывает,прикакомминимальномзнач |
|
|
|
|
ении n – k можетсуществовать |
|||||
помехк,гарантийнодустойчивый |
|
справляющий t – кратныеошибки,границаВаршамова |
|
|
– |
||||||
Гилбертапоказывает,при |
|
акомзначении |
n – k определенносущесткодтакимивоуетйс |
|
|
|
|
твами. |
|||
|
Определиммаксимальвозсоомеждуошениетн |
|
|
|
|
dmin и n-k.Вкаждойкодовой |
|||||
комбинациипомех даустойчивого |
|
k разрядовиспольз |
уютсядлпередачиинформацисточникаи |
|
|
|
|||||
сообщений.Очеви,чток дно |
|
овыепоследовательности,располнаэтих,зрядахгаемыедолжны |
|
|
|
|
|
||||
отличатьсядруготдругахотябыноднуединицукодовогорасст. яния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Можнопредп,чтсуществуютоложтакить |
|
|
способыкодирования,кот пускаютрые |
|
|
n-k |
||||
отличийкод мбинацийвыхостальных |
|
n-k разрядах. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Суммируя сказанн,прихслеодграничномуеимующемусоотнош |
|
|
|
|
ению: dmin≤1+n-k |
||||
Этаграницабылавпервыеобоснована |
|
Синглтоном иноситегоимя.Коды,длякоторых |
|
|
|
справедливо |
|||||
dmin=n-k+1получилиназваниекодовсма |
|
ксимальнодостижимымрасстоянием |
|
|
(МДР -коды). |
60
5.1.5.Задачи |
|
|
|
|
|
1Определить. долюнеобнаруживаемыхтрансфкод рмацийвых |
мбинацийприпередаче |
||||
информациипоканалуспомехобнамиружива |
|
ющимошибкикодо |
м,имеющимдлинукодовой |
||
комбинации n =ич256избсло |
|
ыточныхэлементов16. |
|
||
2Определить. возможностик |
одаГолея,имеющего |
n=23, k = 12, dmin =поисправлению7 , |
|||
обн,атакрусовместномужеобнаружению |
|
справлениюошибок. |
|||
3Для.передачиинформации |
сисправлениемодношибкратныхпри,состоящийденениз |
|
|||
двухкомбин |
аций: 001Определ0.составзащить |
тныхзонэтихкомбинаций. |
|||
4Выбран. код,состоящийизследующихчетырехкомб |
|
инаций |
|||
11010, |
01101, |
10111, |
00001. |
|
|
Каизкодуюкомбинацийвыхсл |
едуетзаменачистонитьулевуюкомбин |
ацию(00000),чтобы |
|||
кодимел |
dmin =3? |
|
|
|
61
|
|
5.2Г. РУППОВЫЕ КОДЫ И СПОСОБЫ ИХ ОПИСАНИЯ |
|
|
|
||||||||||
5.2.1 Основныеалгебраичессистемы,используемыев кодирие |
|
|
|
|
ования |
|
|
|
|||||||
|
|
Соврипеменныерспективныепомехострдыустойчивыенаятся |
|
|
|
|
сновенекоторой |
||||||||
матемамодели,чптичезволяетдосткой |
|
|
|
|
аточнопросторешатьвопропределенияихсывойств |
|
|
|
|||||||
реализуем.Припосткодовроенииспоалгебраическиеьзуюсис:группатемыся |
|
|
|
|
|
, |
векторное |
||||||||
пространство, кольцоиполе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а)Гру |
ппа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пустьимеется |
|
ножество G элементовпроизвприроды,к льнойт |
орыеобозначим |
a, b, c…,и |
|||||||||
пуснадэтэлеимиьожноентамипроизводитьоперациюсложеилиумнтакиможенияобразом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чтодвумлюбымэлеме |
|
|
нтаммножества |
G поопределеннымправиламставитсяоднозначное |
|
|
|
||||||||
соответствиенекоэлемтожмрыйгоеножества |
|
|
|
G.Вобщемвидевв опденную |
ерациюбудем |
||||||||||
обозначатьзнаком |
|
.Дляоперациисложенумножбудемияспнияобщепринятыельзоватьнаки |
|
|
|
|
|
||||||||
(“+”и |
×”соответстве |
нно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Множество G называютгруппой,есдлявведеннойиоп |
|
|
|
ерациионоудовслетворяетдующим |
|
|
|
||||||
требованиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
G1Множество. замкнуто:если |
|
|
|
a и b принадлежат G, тои |
c,получе нноенаосновевведенной |
|
|||||||
операции c = a b такжепринадлеэтомужемноэлемжитеству |
|
|
|
ентов G.Присложении |
|
c = a + b ,при |
|||||||||
умножении c = a×b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G2Вып. сочетательныйлняеассоциати( ся |
|
|
|
вный)закон: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (b c) = (a b) c . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Присложении |
a + (b + c) = (a + b) + c, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приу |
множении a×(b×c) = (a×b)×c . |
|
|
|
|||
|
|
G3Наличие. ед |
иничногоэлемента |
|
e:средиэлементовмножества |
G имеетсятакойэлемент |
e, |
||||||||
длякотоспрогоаведливо |
a e = e a = a ,где |
a - произвольныйэл |
емент G. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Вслучаеоперацсложениянадч равенствослами |
|
|
|
|
a + e = e + a = a возможнолишьвтом |
|
||||||
случае,когда |
e =Еслиже0над.числамипроизводитсяоперацияумн, равежнияство |
|
|
|
|
|
|
||||||||
a ×e = e×a = a возможнолишьтомсл |
учае,когда |
|
e = 1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
G4Наличие. обратныхэлементов:дляпроизвольногоэлемента |
|
|
|
|
а множества G существует |
||||||||
этоммножестветакойэле |
|
|
мент |
a |
,длякотоспрого |
|
|
аведливо |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a = a a = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Есэлеимножестваентами |
|
G являютсячисла,топрислож |
ении |
a |
= −a ,апри |
|||||||
умножении a = a−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
Примерыгрупп: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1Множе. целыхчиположитеселтво |
|
льных,отринуляцательных |
|
|
вляетсягруппой |
|
||||
операциисл |
ожения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2Числа. 0образуют1 групооперациипусложение“ пом |
|
|
|
одулю2”. |
|
|
||||
|
1)Замкн.Обутабтостьсловленаицей |
|
ожения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2)Сочетательность.Легкопроверить,чтосложениепо |
|
|
модулюпо2 |
дчиняетсясочетательному |
|
|||||
закону, |
апример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (1+1) = 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0 = 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(1+1) +1 = 0 +1 = 1. |
|
|
|
|
|
|
3)Единичныйэлем.Здявляется0 сьнт |
|
единичнымэлементом |
|
|
|
|
||||
|
4)Обратныеэлементы.Каждоечисяв яется |
|
обратнымксам |
|
омусебе, |
т.к. 0 + 0 = 0 |
и |
||||
1+1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример5 |
.1.Про,явлеримножествояесярехразрядныхькомб |
|
|
|
|
инаций000,001,011 010 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
группойоперациипоразрядногосложениямодулю2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1)Замкну.Состаблсавостьожицум |
|
ения: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
000 |
001 |
010 |
011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
00 |
000 |
001 |
010 |
011 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
001 |
000 |
011 |
010 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
010 |
011 |
000 |
001 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
011 |
010 |
001 |
000 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мывидим,чтосулюбпарымакомбинацийтакжеявляетсякомб |
|
|
|
|
|
инациейизданного |
|
|||
множества,..требовазамкудовленутосиетвори |
|
яется. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
2)Сочетательность.Этотр |
|
ебованиетакжеудовлетворяется,.к.осн |
|
|
овеоп |
ерации – сложение |
|||||
помодулю2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Единичныйэлемент.Комбинация000являетсяединичнымэлеме |
|
|
|
|
|
нтомвданмножествем |
|
||||
(см.табл |
ицусложения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4)Обратныеэлементы.Обратнойкомбинациейдлюбойякомбинацииявля |
|
|
|
|
|
|
етсяэтаже |
|
|||
комбинациясм(.табсложицу |
|
|
ения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак,множествокомбинаций000,011является001,группойоперации010 |
|
|
|
|
|
|
оразрядного |
||||
сложенияпомодулю2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группаназыабелевойтсячестьизвестногонорвежскогоматемат |
|
|
|
|
|
икаН.Х.Абеля(1802 |
- |
||||
1829),если |
|
множество |
G повведеннойоперацииобл |
|
|
адаетещеиследующимисвойствами: |
|
|
||||
a b = b a ,т.е.выполняетсяпереме |
|
стительныйкоммутативный( )закон.Группы,рассмотренные |
|
|
|
|
||||||
предыдущихпримера,являютсяабел |
|
|
евыми. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Важпонятиемвтеорииымгруппявляет |
|
|
сяпонятиеподгру |
ппы. |
|
|
|
|
|||
|
Еслимножествоэлементов |
|
G составляет группуинек |
отораячастьэтогомн (жества |
Н)также |
|||||||
обладаетвсемигрупповымисво |
|
йствами,тоэту |
частьэлементгрупназыпоывдгруппой.Словоают |
|
|
|
|
|||||
“подгруппа”озн |
|
ачаетгруппа“ |
внутригруппы”Длятого. ,чт |
|
|
обыустановить,является |
|
Н подгруппой |
||||
G необхпроверитьзамкнутосдимоналичиеобраэлтныхь |
|
|
|
|
ементов.Еслимножество |
Н замкнуто |
||||||
относительнозаданной |
|
вгруоперацийсодеобратныежит |
|
|
элементы,то |
этомножествосодержит |
|
|||||
иединичныйэлемент |
|
группы,асоч |
етательныйзаконвыпол,таккаксправедливняетдляяех |
|
|
|
|
|
||||
элементовгру |
ппы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Основныесвойствагруппы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1Группа. содержитединствединичэл,дляменткаждогоныйэлементагруппы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеетединстя |
|
венныйобратныйэл |
емент. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2Группа. разлнсмежныегаетклассыподгруппе.яСмыслэтогоразложения |
|
|
|
|
|
|
|
||||
заключаетсявследующем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Обозначимэлементгруппы |
|
G через g1 , |
g2 ,…, |
аэлементпо |
дгруппы Н – через h1, |
h2 ,… |
|||||
Рассмотримтаблицу,образованнуюследующим |
|
|
|
азом. |
|
|
|
|
|
|||
|
Запишемвсеэлементыподгруппы |
|
|
Н,начинаясединичн |
огоэлемента,впервуюстроку,причем |
|
|
|||||
каждыйэлементподгруппы |
|
явитэтойстрятолькокединраз.Далеевыбираем |
|
|
|
|
юбойэлемент |
G , |
||||
непринадлежащий Н,изаписываемегонапермесвото |
|
|
|
оройстр,авсеостальныекеэлементы |
|
|
||||||
второйстрокинаходятсяприменезаданнойвгруоперациииемнад |
|
|
|
|
|
|
рвымэлементомвторой |
|
||||
стриокиответствующимиэлеме |
|
нтамиподгруппы |
H,записанными |
впервойстроке.Аналогично |
|
|||||||
образуютсятретья,че |
|
твертаяи.д.стр,дтехпор,кипокавсеэлементы |
|
|
|
|
G невойдуттаблицу.В |
|
||||
качествепервогоэлементакаждвсякийстроразкивыбираетсяпроизвольныйэл |
|
|
|
|
|
|
емент G ,не |
|||||
вошедшийпредшествующиестроки.Этотэлементназывобрсмежногоаютзующимкласса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
65
|
Врезультатеполучатабл м |
|
|
ицуследующеговида: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
h1 = e, |
h2 , |
h3 , |
…, |
hk |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g1 |
, g1 h2 , g1 h3 , …, g1 hk |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g m |
, g m h2 , g m h3 , …, g m hk |
|
|
|
|
||||||
|
Строкиполученнойподобнымобразомтаблицыназыв |
|
|
|
|
|
|
аютсясмежнымиклассами. |
|
|
|
|||||
|
Основныесвойстваразложениягруппына |
|
|
|
|
межныеклассыпо |
дгруппефо |
рмулируются |
||||||||
следующимобразом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Втаблице. разложениягруппы |
|
|
|
G насмежныеклассыпо |
|
дгруппеНпер всечисляются |
|||||||||
элементыгруппы |
|
G ,причемкаждыйэлементпоявляетсятаблицетол |
|
|
|
|
ько одинраз. |
|
|
|
||||||
|
4Состав. смежногокласпостояненизависитотвыбораобразу |
|
|
|
|
|
|
|
ющегоэлемента |
. |
||||||
|
5Число. элементовНявляетсяделитчислаэлелемме |
|
|
|
|
|
|
нтов |
G . |
|
|
|
||||
|
6Два.элемента |
gi и gj |
группы G принадлежитоднотосмуу |
|
|
жномуклассу |
|
подгруппе |
||||||||
H тогдаитолькотогда,когда |
|
|
|
gi gj |
принадлежат H. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7Операция. ,введеннаянадэлементамигруппы,можетб введенатьнадсмежными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
классами.Обозначим{ |
gi}смежныйкласс,содержащийэл |
|
|
ементгруппы |
{gi} .Тогда{ |
gi} {gj}={gi gj}, |
||||||||||
т.е.врезультопернадсмежнымициитеклассами,содержащимиэлементы |
|
|
|
|
|
|
|
gi и gj |
, получаетсяновый |
|||||||
смежныйкласс, |
|
одержащий gi gj |
.Вслучаеабелевойгрупнадерацияпысмежным |
|
|
|
|
иклассами |
||||||||
приводиткгруппе |
|
,э лемента,которойявлясмеится |
|
|
|
жныеклассы. |
|
|
|
|
||||||
|
Пример 5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть G - групооперациипасложент..адд( группаи),тивнаяс |
|
|
|
|
|
остоящаяизвсех |
|||||||||
положительотрицательныхцелыхч сел,упустья |
|
|
|
|
|
|
|
H – подгруппа,состоящаяизв |
|
|
сехчисел, |
|||||
кратныхцеломучислу |
|
|
|
n.Всечислаотнулядо |
|
|
|
n-1принадлразличнымсмежкл,т.к.дляссамт |
|
|
|
|
||||
того,чтобы |
a |
и b |
принадлодномусмеклассужнеалио,чтобымубходимочисло |
|
|
|
|
|
|
(-a)+b |
||||||
принапод,т.е.лежгруппебылократноло |
|
|
|
|
|
|
n,чтоневозможно.Зна |
чит,числаотдо0 |
|
n-1могутбыть |
||||||
выбраныкачествеобразующихсме |
|
|
жныхклассовидругихчисел,бытьнеможет.Легкопроверить,что |
|
|
|
|
|
||||||||
группа G - |
абелева,поэтомуможноввестиоперациюсложсмклассовжныхниясме |
|
|
|
|
|
|
|
жныеклассы |
|||||||
образуютгруппу.Положим |
|
|
n=2Т. |
огдасмежныеклассыимеютвид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
3, -1, 5, |
-3, 7, |
-5,… |
|
|
|
|
|
Еслиобозначсмежныекласи{0}ть{1}оответствен,тотабложеицасмжныхияо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
классовполучитвид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
{0} |
|
|
|
{1} |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
{0} |
|
|
|
{1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
{1} |
|
|
|
{0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Вэтойаблицелегк |
оузнтаетсябложенияицачиселпомодулю2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б)Векторноепр |
остранство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Множествоэлементовпроизвольнойприроды |
|
|
|
|
|
|
V,назыдалеевектоаемых,образуетми |
|
||||||
векторноепростран,еслионоудовслтвоетворяет |
|
|
|
|
|
едующимтр |
ебованиям. |
|
||||||||
|
|
1Множество. векторовобразует |
|
|
|
абелевугруппу |
поопер |
ациисложениявекторов. |
|
|||||||
|
|
2Определено. правилоумножениявектора |
|
|
|
|
v V наскаляр |
с,где с врассмнамитриваемом |
||||||||
случаепризначениеимаетили0 прои1, |
|
|
|
|
|
|
|
зведение cv |
являевектогожесяоромвек |
торного |
||||||
пространства V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3Выполня. распрзеделительныйтся |
|
|
акон: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- если с и d ск,аляры |
v - вектор( |
v V),то (c + d ) v = cv + dv , |
|
|||||||||||
|
|
- если v и u – векторы( |
v, u V),а |
|
с – скаляр,то |
c(v + u) = cv + cu . |
|
|||||||||
|
|
4Оп. ерацияумнскаляроженияподчиняесочетаз тсяельному |
|
|
|
|
|
|
акону:если |
с, d – ск,аляры v - |
||||||
вектор( |
v V),то |
c (d v) = (c d ) v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример5 |
.3. |
Про,явлеринаборяетсякомбинацийь000,001,010векторным011 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Впример |
е5 .1было.показано,чтоэтикомбинацииобр |
|
|
|
|
|
азуютгрупооперациипоразрядногоу |
|
||||||
сложенияпомодулюТак2как. юбыхякомбин |
|
|
|
|
|
|
|
ацийпорядоксложениясущественен, |
|
|||||||
например,001+010=010+001=011,тоэтагруппаявляетсяаб |
|
|
|
|
|
|
елевой. |
|
|
|
||||||
|
|
Будемполкакомбиждуюгать |
|
|
нациювекторумномж |
|
|
ениенаскалярпроизводитьследующим |
|
|||||||
образом: c v = v ,если |
с =и1, |
c v = 000 ,если |
с =где0, |
v - любаяизра |
ссматриваемыхкомбинаций. |
|||||||||||
|
|
Притакомвведоперацииумниискалярожениявыполняютсяра |
|
|
|
|
|
|
|
спределительныезаконы, |
||||||
например |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 +1) (011) = 1 011 = 011
или (0 +1) (011) = 0 011+1 011 = 000 + 011 = 011
и |
1 (011+ 010) = 1 001 = 001 |
или |
1 011 + 1 010 = 011 + 010 = 001 |
67