конспект лекции__1

мыполучилибывозможностьопределятьзначениепров				ерочногоэлементанаибпробразомлеестым
– решеодлинейногоогоиемуравсоднизвестнымнения.Дляэт					огоприупорядоченнойзаписи
столбцовматрицы	H(n,k)	вкачествепроверочэл необходимебратьтовэлементыыхсно 2оерами			i,
где i изменяетсяотдо0	m-1,таккакименноэтистолбцыдержаттолькопооднойединице.Посл днее
свидетельствуетотом,чтоэ		лементысномерами2	i	входяттолькооднупроверкуи,следов	ательно,
онимогутбытьвзятыкачествепроверочных.
Пример5.17		.Определитьместопопроверочэлеможкк ениетовых			одеХэмминга(7,4).
Повидуматрицы		H(7, 4) ,приведенной		предыдущпример,вкачесм	тпроверочных
элементоввыбира,котеснтыомответствуютрстолбцым,содержащиетолькопооднойединице,
т.е.первый,второйичетве		ртый.Следовательно, информационных4 элементакодолжны(7,4)
заниматьместа3,и 5, 6		7-горазрядов.Приведеннаяпредыдущпримерси ем			стемапроверочных
соотнпозволяетшепределитьнийачениекаждиз оэлемеговерзначениямыхпо тов
информационэлеме,т..позначэлтовепростниюменыхкода,которыйнеобходимовго
закодировать кодомХэ минга
		a1 = a3 + a5 + a7 ,
		a2 = a3 + a6 + a7 ,
		a4 = a5 + a6 + a7 .

Знаяместапроверочэлеме,легкопривестинматрицутовых			H(n,k) кодаХэммингак
каноническойформе.
Дляэтогонеобходимостолбцыномерами2		i,где	i = 0, …, m −1 приупорядоченной
записистолбцовперемести	тьнаместа	m первыхстолбцовпорядкеубыванияномеров.Вобщемвиде
такаяперестановкастолбцовматрице		H(n,k) приводиткэквивалентному(	n, k) – коду.Вслучаеже
кодовХэммингаестественнойдлиныкодполучадаженеэквится,авточностиалентный
совпадающийсисхо	днымкодом.

98

	Пример5.18		.Преобразоватьматрицу			H(7, 4) кканоническойформе.
					&0	0	0	1	1	1	1#
			H (7,4)			1	1	0	0	1	!
				=	0						1!
					1	0	1	0	1	0	1!
					%
	Переставимстолбцы: 4		-ыйнаместо1			-го, 1 -ыйнаместо3					-го,а3	-ийнаместо4	-го:
					&1	0	0	0	1	1	1#
			H (7,4)			1	0	1	0	1	!
				=	0						1!.
					0	0	1	1	1	0	1!
					%
	Этоиесть	каноническаяформаматрицы					H(7, 4) .Сравнениееесисхо					днойматрицей		H(7, 4)
показыв,чтоместаминформационныхетэлементсоответствуютвканоническойрместолбцы
номерами3, местам5,провероч6, 7,элементовых						- столбцы4, 2, 1.
	Приэтомсвязимеждуинформациэлементамиизбытосчными											охрансучётомилисьх
перестановки:
				a1 = a5 + a6 + a7 ,
				a2 = a4 + a6 + a7 ,
				a3 = a4 + a5 + a7 .
Порождающуюматрицу			G(n, k) длякодаХэможмиполучитьизнматрицыга										H(n,k),используя
теорему5	.3:
					&0	1	1	1	0	0	0#
			G(7, 4)		1	0	1	0	1	0	0!
				=		1	0	0	0	1	!
					1						0!
						1	1	0	0	0	!
					%1						1

Кодирующиедекодиустдляэтогоующиеойстваклассабудутдовра

ссмотреныпри

изученциклическихкодов.

ОценимэффектикодоХэмминга.вность

а)КодыХэммингас

dmin=3

Такиекодыиспользуютсялибодляисправленияошибкикратности

t=1,либодля

гарантийногообнаружеошибкратнкияости

S=2Соответстве.

нно,верошибкиятностьдляэтих

случаевканалегруппировошибокравн: анием

(

2m −1%1−α

p

(

2m −1%1−α

P = p

&

#

,

P =

&

# .

oши

&

2

#

oш0

2

m &

3

#

Выигрышподостоверпосравпрностениюкодажеойыдлмисоставляены

т:

99

ηи =

(2m −1)1−α p

= 2

1−α

p

)

2m −1

&1−α

2

(

%

(2m

−1)1−α

p

m

1−α

ηo

=

= 2

3

p

2m −1

1−α

(

%

m

2

(

3

%

)

&

	б)КодыХэммингас	dmin=4.
	Длятакихкодоввозмодварежиманы		– исправлениеодношибоккратных
обнаружеошибоктольношибаружение.Вероятностьшибкидляэтихрежимовслучае
группированияошибокравна:

Po

Выигрышподостоверпосравпрнкодоостениютойжедлиныымсоставляет:

5.4.3Итеративныекоды.

1

∑C2i m

(

2

m

1−α

P

i=0

%

p

=

&

#

m+1

иo

2

&

3

#

p

(

2m %1−α

p

m−2 1−α

&

#

=

m+1

=

m+1 (2

) .

&

4

#

2

2

ηиo = 2 31−α , ηo = 2m+3−2α .

Наоснове(	n, n-1) – кодовс	dmin=2иликодовХэммингас	dmin=3 и dmin=4можнопостроитьк ды
сболеевыскорректирующимикимисвойств		ами.Дляэтойцели,нарядусзащитойкаждой
передаваемойкомбинописаннымвышеспции, существляютобомпомехкодирустойчивоевание
одноименныхразгрпередаваемыхядовуппкомбинаций		.Пр	оцесскодированиямо	жнопояснитьпри
помощи рис. 5.6 .
Комбинациипростогокода,подлежащиепередачесисвязитеме,записываютсявиде
таблицы – каждаякомбинсостотделавляетция		ьнуюстрокуэ ойаблицыинфор( сим).ационныеволы
Затемосуществляетс	як одирпострокамваниестол.Вбслучаещецамдлякод			ированиястрок
кодированстолбцовможноиспя различнльзоватькоды.Избэлыточныеме				нтыдописываютсяк
каждстрпроверка( йпокестрокам)икаждомустолбцупроверка( постолбцам)Проверка.					проверок
осуществляетсякодир	ованиемстолбцов,состаизбыточныхленныхэлементовстрокили
кодированиемстрок,	оставленныхизпроверстолбцов.Последующееквведениеизбыточности
осуществляетсядлязащблоковитынформации,представле			нныхнарис. 5.6	. Процесско	дирования
поясняетсяна	рис. 5.7 .Изблокови	нформации,защищенныхдвумяпр		оверками,составляется
					100

параллелепипед.Избыразтрочнетьейпрядоыбрверкипазуютраллелепипед,выделе	нный
утолиниейщенной.

5 эл.комбинация

TU

Выход

Рис.5.6 .

Выход			Вход

0 1

Сигнал ошибки

Рис.5.7.

101

Врезультатеитераткодированияполучаютсявногогрупповыекоды,кот

орыеобладаютследующим

важнымсвойством.

Теорема 5.3.Минимальноекодовоер

асстояниеитеративногокодаравно

произведению

минимальных кодовыхрасстояний

,код,егсоставляющих.

Действ,еслслучаеидвухтельнопроверминимальныйвесодногоккодаравен

W1 ,адругого

W2 ,товекитерор

ативногокодаим

еет,покрайнмер, ей

W1 единицвкаждстройке

W2

элементов

каждомстолбцеи,след

овательно,менее

W1 W2

единиц.

Аналогичныерассуможнопродолжитьденияслучайбольш

егочислапроверок.

Порождающматрицаитеративногокодможетбытьпоястроенал

едующимобразом.

Пусть GA – порождающаяматрицакода,испопроверкиляьзупострокам,мого

GВ –

порождающаяматрицакода,испопроверкиляьзупостолбц,мпоргдам

ождмающаятрица

итеративногокода(

GAВ)имеетвид:

GAB = GA (GB ) = GB (GA ).

Запись G

A

(G ) означает,чтомес“1”вмахтрице

GA записываетсяматрица

GВ,а

B

вместо“0”записываетсяматрицаизоднихнулей, кзмеры

оторойравныразмерам

GВ.Так,например,

еспроверкидляпострокамстолбцамиспользуется(6, 5)

– кодспровначе,тркноостьй

&G(6, 5)

G(6,5)

O

O

O

O

#

G

(6,5)

O

G

(6,5)

O

O

O

!

!

GAB

= G(6,5)

O

O

G(6,5)

O

O

! ,

O

O

O

G(6,5)

O

!

G(6,5)

!

G

(6,5)

O

O

O

O

G

(6, 5)

!

%

где
		&1 1 0 0 0 0#				&0 0 0 0 0 0#
		1 0 1 0 0 0!				0		0	0	0	0	0!
G			!	O									!
	(6, 5)		!,		=		0	0	0	0	0	0	! .
		= 1 0 0 1 0 0	!										!
								0	0	0	0
		1 0 0 0 1 0!				0						0!
		1 0 0 0 0 1!				0		0	0	0	0	0!
		%				%

102

5.4.4 Задачи
1Показать. ,чторректирующиесвойства(6, 5)		–	кода,вкотороми	збыточныйэлем	ент
вводитсякакпроверкананечетн,точностивпсть		адаютскорректирующсвойствам(6, 5) ими			–
кодаспровначе.тнркостьй
2Показать. ,чтоХэммингадыс		dmin=3соответствуютграницеХэ	мминга.
3Показать. ,что(7, 3)	–	код,являющийсянулевымпрос	транствомкодаХэмминга(7, 4),
являетсяэквидистантным,..всекодорассыетокодеравныяния.
4Пост. пороматрицуитьждающуюдляитеративногокода,котпстрокамромстолбцам
используется(8, 7)	– кодспровначе.тнркостьй

103

ТЕМА6	. ДВОИЧНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ (n,k) - КОДЫ
6.Основные1 алгебраичессистемы,используемыев кодированияие							.
	(Продолжение)
	Выше,вразделе				5.2были.1введеныпонятиягруппывекторногопр			остранства,которыележ
восновеопределеиописагрупповыхкодовни. я							Дляизученияважногоподклассагрупповыхкодов		–
циклическихкодов				–	необхознакомствоидругимиимоалгебраическстемами,та акимими
кольцоиполе.
	в)Кольцо
	Кольцом R называютмножествоэлементов						, накотоопрдвеомеделеныоперации		– сложение a
+ b иумножение				ab.Длятого,чтобы		R былокольцомонод удовлжнослетворятьдующим
требованиям:
	R.Множество1				R являабегруппойтсялевойоперациисложенияадд(				итивнаяабелева
группа).
	R.2замкнутость( )Длялюбых. двухэлементов						a и b измножества R определенопр изведение
ab,котороеявляэл ментомтся					R.
	R.3ассоциативный( закон)Длялюбых. трехэлементов						a, b,и c из R a(bc)=(ab)c.
	R.4дистрибутивный( закон)Длялюбых. трехэлементов						a, b, и c измнож		ества R справедливы
равенства a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca.
	Кольцоназываюткомму,еслиоперацияативнымумнк ж,е..днияутативналюбых
двухэлементов		R выполняеравенстсяво				ab=ba.
	Втеориигруппоченьважнуюрольиграетпонятиеподгруппы.Вте								орииколец
соответствующуюрольиграет					понятиеидеала	.Идеалом I называютподмножествоэлементовкольца			R,
обладающеесле ующимивумясвойствами:
	1). I являетсяподгруппаддитивнойгруппык льца						R;
	2)Длялюбого. элемента				a из I илюбогоэлемента		r из R произведения ar		и ra принадлежат I.
	Посколькуидеа				лявляетсяподгруппой,могутбытьобразованысме			жныекласосновныесм(.

свойствагруппы)В.этомслучаесмежныеклассыназклассамиваютычетов.Идеалобразуетпервую
стразложокуснулэлементомвымнияединичным( пооперацииентсл)слмж вания			.Далее
любойэлемент	кольца,непринадлежащийидеалу	,можетбытьв	ыбранвкачествеобразующегопервого

классавыче,остэлементыальныеовклассаполучаютприбавлениемобразующегоккаждому элемид:ентуала

104

0=a1,	a2,	a3,	a4,	a5,…
r1=r1+a1,	r1+a2,	r1+a3,	r1+a4,	r1+a5,…
r2=r2+a1,	r2+a2	r2+a3,	r2+a4,	r2+a5,…
…….	…….	…….	…….	…….
…….	…….	…….	……..	…….
…….	…….	…….	…….	…….

Первымиэлементамикаждстрявляютсяо,йке			какиприпостроесмежнииых					классов,
элементы,неисполь	зовпредыдущиханныестроках.
Всесвойстклассовсмежныхернытакж			едляклассоввычетов		:{r}+{s}={r+s} иумножение
классоввычетов	{r}{s}={rs}
Ввысшалгебредоказываетсяй,чтоклассывычетовпоидеалунек						оторкольцебразуютм
кольцо.Этокольцоназывают	кольцомклассоввыч		етов.
Втеориикодированияважнуюрольиграюткольцацелыхчикоселмногочленовьца.
Основныесвойствакольца		:
1. Совокупностьцелыхчиселобразуетидеалтогдатолько,огдаонагдасостоитиз
всехчисел,кратныхнекотцелчисло. рому
Пусть m – наименьшее целоеположительноечисловидеале						s – любоедр	угоекольцов
иде.Носновеаалгоритмалед Евклидалениязапишемвыраж				ениедлянаибольшегообщегоделителя
чисел m и s:
			d=am+bs,
где a и b - целыечисла.
Изприведраввытекаетен,чтстваного			d такжепри	надлид.Дежиталу		йствительно,таккак
m – наименьшеечисловидеале,т		m≤d, атаккак	d делит m,то	d≤m. Значит m=d и s кратно m.
Идеал,котсоизстократныхрыйвсехчисел,			m исамого		m,обозн ачают (m).
2Каждый. классвычетовпомодулю			m содержитли	бо0,либоцелоеп		оложчи,нетельноесло
превосходящее m.Нульявляэлеидеалатсямент,всец плыеомложительныечисла,не
превосходящие m,принадзлиежат		чнымклассамвычетов.
Доказательствоэтогосв йстснонар ываетсяссуждениях,прив						еденныхв	примере5.2	.2.
Пострвэтомприсмежныеенныеклассыерявляютсятаи лассамижевычетовпоидеалу								(2)
иобразуюткольцоцелыхчиселпомодулю2.
Сформулировышесвойстколеццелыхчиселваполностьюнныесправедливыдля
многочленов.Сходствостроен	иисвойствахкольцацелыхчикоселмногочленовьцаобусловлены
								105

тем,чтообаониявляютсячаслучаямитнымиалгебраобра,изчесвестногоованиякаевклидово
кольцо.Рассмотримосновныесвойстваколецмногочленов,необхдляп дструктурыиманияые
циклическихкодов.
3Совокупность. многочлобразуетидтогдаиалтольконов,огдаонагдасодержитвсе
многочленыкратныенекоторомумногочлену.
Идеал,образ		ованныйвсемимногочленами,кратными		f(x) обозначают (f(x)).Коклаьцо			ссов
вычетов,образова		нныхпоэтомуиде,называютлу	кольцоммногочленовпомодулю		f(x).
4Каждый. классвычетовпомодулюмногочлена				f(x)степени n	содержитл	иболибо0,
многочлстепенименьшей,		n.Нульявляэлеидеалатсямент,всемностепмгочл, енейы
меньших,чем	n,принадзклассаичнымежвычетов.
Пример6		.1Особую. рольвтеориициклкодовиграетческихкольцомногпомодулючленов
двучлена xn+1
Рассмотримклассывычетовмногочлено			впомодулюдвучленатретьей	степени – x3+1. Всоответствии
сосвойствомкаж4		дыйклавычетовссодержитлибо0,либом		ногочлстепменьшей,чем3и.			Каки
ранеерассматриваэффициентамимногкочленывидедвоичныхэлеме.Приведнитовженная
таблицао	тражасодержаклассовтвычетовмниеогочлено			впомодулюмногочлена	x3+1
{0}=000		1+x3	x(1+x3)		. . .
{1}=100		X3	1+x+x4		. . .
{x}=010		1+x+x3	x4		. . .
{1+x}=110		X+x3	1+x4		. . .
{x2}=001		1+x2+x3	x+x2+x4		. . .
{1+x2}=101		X2+x3	1+x+x2+x4		. . .
{x+x2}=011		1+x+x2+x3	x2+x4		. . .
{1+x+x2}=111		X+x2+x3	1+x2+x4		. . .

Влевойколонкеэтойаблпримногочлцевденыминимальнойстевсвоемныпениклассе
вычетов.Именноониобознаклассвычетовипоэтомуаютвзятыфигурскобки.Рядомниые и
показанодвоичномпредставлениемногочленовданного		классавычетов.
Двоичноепредставлениеклассавыч		етовпоказывает,чтоклассывычетовпредставляютсобою
векторноепр	остранстворазмерн3,состиздвоичных8 ящеестипоследовательностейдлины3.
Изприведенногопримераможносделедующийатьоченьважны			йвывод:кольцо
многпомодулюдвучленачленов		xn+1 отображамножествобесконечмногкоеачленечноев	n
– мерноевекторноепространство.Приэтомвектопрострагрыможскладыватьниумножатьства
попр ависламумножения		классов вычетов многпомодулючленов	xn+1.
			106

Кольцомногпмодулюдвучленачленов

xn+1,какилюбоекольцо,имеетсвиде.Какйив л

слуцелыхчиселае

, идеал I кольцамногпомодулючленов

xn+1 содержитклассывычетов,

ратные

некоторомуклассувыч

етов {g(x)},т.е

.некоторыйклассвычетов

{s(x)},принадлежитидеалу

I тогдаи

толькотогда,когда

s(x) делитсяна

g(x).Покажем,что

g(x) приэтомдо

лженбытьделителем

xn+1.

Представимпроцессделения

xn+1 на g(x) вследующемвиде:

xn+1=g(x)q(x)+r(x),

где q(x)-

частное отделения,а

r(x)-остатокотделения.Приэтом,очевидно,чтостепень

r(x)-

меньшестепени

g(x).Поэтомудолжнобытьсправедливо

авенство:

{0}={xn+1}={g(x)}{q(x)}+{r(x)},

изкотороговытеквычетов,чтокласс

{r(x)}

такжепринадлежащийиде

алу I. Поскольку

степень r(x) меньшестепени

g(x), то r(x) должно бытьнул

евым и,следовательно,

xn+1 кратен g(x).

Пример6

.2Определим. ,какиеидеалысуществую

твкольцемногочленовПримера6.1

.

Рассматрикольцообразуютклассывычетоваеммн гочл

еновпомодул

ю x3+1. X3+1 имеетвкачестве

сомножителейдвамногочлекоэффициентамидвоичн:ыми

x3+1=(x+1)(x2+x+1).

Следовательно,имеетсядваподмножествапоследовательностдлиныобразующи3, идеалы ей

рассматркольца.Одинидевключаетемогоавсеклассывычето

вкратные

{1+x}: {0}, {1+x}, {1+x2},

{x+x2},отображаемыедвоичнымипоследовательностями

(000), (110), (101) и (011) соответственно.

Второйидеалсостоитизклассоввычетов

{0}

и {1+x+x2},отображаемыхдвоичными

последовательностями (000) и (111).

Представляетинтерессравнполученныеидеалытьсрезультатамиреше

ниязадачи2из5

раздела 5.2.5.

5. Пусть xn+1=g(x)·h(x),где

h(x)-многочленстепени

k.Тогдаидеал,поро

жденныйклассом

вычетов{

g(x)}вкольцемногочленовпомодулю

xn+1,имеетразмерно

сть k.

Действительно,многочлен

g(x),порождающийидеал,иместепеньт

n-k,азначитсредиклассов

вычетовкольцамногпомодулючленов

xn+1 существуютклассывычетов

{g(x)},

{xg(x)},…{xk-

1g(x)},отображаемые k линезависимымийновекторами.Приэт

омлюбойклассвычетовможетбыть

представленвектором,полученнымлинейнойкомбинаци.Например, й

S(x) -

многочленминимальной

степенивсвоейклассевычи тов

S(x)=g(x)·q(x)=g(x)(q0+q1x+…+qk-1xk-1)

и

{S(x)}=q0{g(x)}+q1{xg(x)}+…+qk-1{xk-1g(x)},т.е k векторов {g(x)}, {xg(x)},…, {xk-1g(x)} порождаютидеал.

Значразмерностьидеала

, равна k.

Впримере6

.2од.изидеалвектораминпорождается

{g(x)}={1+x} и {xg(x)}={x+x2}, адругой

– {1+x+x2}.

Многочлен g(x)минимстепени, а,чтокойльнойегоклассвычето

в { g(x)}принадлежит

иде,называетпорождающимлумногочленомидеала.

107