конспект лекции__1
.3.pdf
|
Пустькодгарантийноисправляетвсеошибкикратностидо |
|
|
|
|
|
t включительно.Вер ятность |
||||
появлениякод мбвойнеисправляемыхнацииош |
|
|
|
|
ибокравна |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
P(> t, n) = ∑ P(i, n). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=t +1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобще гочисла |
∑Cni |
возможныхошикратностибольшей,чем |
|
t,кош |
ибочному |
|||||
|
|
|
|
i =t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
результатупридекодированиисисправлением |
|
|
|
|
иводятте,подвоздейкоторыхиствиемкаженные |
|
|||||
комбинациипоп |
адутвсмежныеклассы,соответствующиеисправляемымобразцам |
|
|
|
|
|
ошибок.В |
||||
предп,чток лмбинацшибкамисожениикратности |
|
|
|
|
|
t+1ивышеравномернораспределяютсяпо |
|
||||
смежнымклассамтаблицыдекодирования,общаялш схбочных |
|
|
|
|
|
|
одовприисправленииошибок |
|
|||
кратности t+1 ивышесоставитвел |
|
ичину |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Cni |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−k |
|
|
|
|
Итак,верошибочногоятностьприемакод мбинациивойприисправл |
|
|
|
|
|
енииошибокравна |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Pошu |
= P(≥ t +1, n) = ∑ P(i, n). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =t +1 |
|
|
|
|
Другойвозможныйрежим |
|
– этообнаружениеошибок.Пустьд |
аруживаетвсе |
||||||
варианты S – кратныхошибоквсеошибкименьшейкратн |
|
|
|
|
ости.Вэтомсл |
учаеошибкавозможналишь |
|
||||
тогда,к |
огдакодкомбинациявая,искаженнаяошибкойкратностибольшей |
|
|
|
|
|
S,трансформируетсяв |
||||
разрешеннуюкодомбинациювую,т.е.повпадаетервуюстрокутаблицыдекодир |
|
|
|
|
|
ования.Таккак |
|||||
общеечислострвтаблицедекодированиярав |
|
|
но2 |
n-k,тодоляисходов,привод |
ящихкошибке,вэтом |
|
|||||
случаеравна |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Другимисловаявление,этожеможнопояснитьследующимобр |
|
|
|
|
азом.Приоценке |
||||
результатадекодирспомсиндрощьювания |
|
|
омаошибкавозможналишьтомслучае,когда |
|
одовой |
||||||
комбинации,пораженнойоши |
бкамикратностибольшей |
|
|
|
S,соответстчистонулесиндромвойует |
|
|||||
(трансфо рмациявразрешенкомби)Если. прпораженииуюациюкод мбвойн |
|
|
|
|
|
ацииошибками |
|||||
кратностибольшей |
|
S синпринимаетдромчистонулевоезначетрансф( ие |
|
|
|
|
ормвзапрещеннуюция |
||||
комбинацию),тоошибкиобнар |
|
|
уживаются. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Приуслоравномераспиикодределениягоомбинацийвых,пор |
|
|
|
|
аженныхошибками |
||||
кратностибольшей |
|
S,повозможнымзначениямсиндроимееобщеечисловозможныха исходов |
|
|
|
|
|||||
равным2 |
n-k,причисхле |
одов,пр |
иводящихкошибке |
|
– равнымИтак1,.долянеобнаруживаемых |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88 |
искаженийкодомбиворавнации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
.Данныйрезультатуточнязначдолиениет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
необнаружиошибочныхтрансформаций,выаемыхведенной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зделе5.1 |
.2наслучай. групповых |
||||||||||||
кодов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N −1 |
= |
|
2k −1 |
|
|
2k |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
2n |
2n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вероятношибприемавэтомслучаечноготьвна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Pош0 = |
|
|
P(≥ S +1, n) = |
|
|
|
∑ P(i, n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
n−k |
|
|
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i =S +1=d min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Возмотакойредекодиржимен,прикотчастьованияромшибок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справляется,часть |
||||||||||
обнар.Пкодуживаетсястьмеет |
|
|
|
инимальнкодоврасстояниеое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dmin.Втомслучае,когдаэт тд |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
используетсядляисправленияошибоккратности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 игарантийного бнаруженияошибкратностидо |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
S=d-t'-1 включительно,вер шибочногоятностьприемакд мбвой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инацдискретномв пр |
иемнике |
||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Pошu ,o |
|
|
|
∑Cni |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
i=0 |
|
|
|
|
|
∑ P(i, n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=d −t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полученныевышеформулыможноиспдрасчетовляьз,к известнагдавать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вероятность P(i,n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведемсводкурасчетныхформдляслдвоучаялсичногомметри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чногоканалаи |
||||||||
каналасгруппированиемошибокмодель( |
|
|
|
|
P,α ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Режим |
|
Вероятность |
|
|
Двосиммечный |
|
|
|
|
|
|
|
тричный |
|
|
|
|
|
Модель |
||||||||||||||||||||||
декодирования |
|
|
|
ошибки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
канал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P,α |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исправление |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
n |
1−α |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
n−i |
|
|
|
|
|
|
% |
|
|||||
ошибок |
|
|
∑ P(i, n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Cn |
p |
|
(1− p) |
|
|
|
|
|
|
P& |
|
|
|
|
# |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i =t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обнаружение |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
n−i |
|
|
P |
( n % |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
||
|
|
|
|
∑ P(i, n) |
|
|
|
|
|
|
|
∑Cn |
p (1 − p) |
|
|
|
|
|
|
& |
|
# |
|
||||||||||||||||||
ошибок |
|
|
|
|
|
2 |
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n−k |
|
|
|
|
2 |
n−k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i =d |
|
|
|
|
|
i=d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Частичное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исправление |
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
обнаружение |
|
|
∑ Cni |
n |
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
i |
|
|
|
|
1−α |
|
||
|
|
i=0 |
∑ P(i, n) |
|
|
∑Cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Cn |
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
∑Cn |
i |
p |
i |
(i − p) |
n−i |
|
|
P |
i=0 |
|
( |
|
|
% |
|
||||||
|
|
2 |
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ошибок |
|
|
|
i=d −t ' |
|
|
2 |
n−k |
|
|
|
|
|
|
2 |
n−k |
|
& |
|
|
' |
# |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=d −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d − t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вэтойаблице |
d=dmin. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.3.5Смежно-групповыекоды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вышемырассматривалигрупповыекоды, |
|
|
|
|
|
|
|
|
оторыхзаданаоперацияпора |
|
|
|
|
|
|
|
зрядногосложения |
|||||||||||||||
помодулюВряде2случаев. дляприданиякодомбинацвымдополнительныхпр ямзнаков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
используютпоразрядсложемодулюинвертировас2оеи некоторыхэлеме.По иемтов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отношениюкгрупкодуполученныйвому |
|
|
|
|
|
|
кодможетбыотождествленьсосме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жнымклассом |
||||||||||||||
разложениягруппыподгруппе,являющейсякодом,образу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ющим ввидекомбинациисединицами |
|
|
|
||||||||||||||
наместахинвертиру |
|
|
емыхэлементовинулямивовсехостальныхразрядах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Всилуэтогорассматриваемыекодыполучилин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
азваниесме |
|
жно-групповых. |
|
|
|
|||||||||||||||
Следуетиметьввиду,чтосмежно |
|
|
|
|
-групповойкодсуществуеттолькоди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скретка.налеом |
|||||||||||||||
Процекодидурырованияекодирприисп ванияльзов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аниисмежно |
|
|
|
-групповыхкодов |
||||||||||||
осуществляютсяканалогичныекоперациидлягруппокодов.Ин ыхе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ртированиеразрядовкодовой |
|
|
|
|||||||||||
комбинации,т.ез |
|
амекомбинациейсмежногокласса,выполняетсявыхкодера,и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
братная |
|||||||
операциянавходедекодера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Всвязиэтважнооценитьмп влияетперехоткододмбинацийвыхккомбинациям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
смежногоклассав |
|
дискретномканалепомехо. устойчивостьда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теориягрупкодовполностьювыхопределяетсвойствасмежно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-групповыхкодов.Легко |
|
|
|
|||||||||||||
показать,чторректирующиесвойствасмежно |
|
|
|
|
|
|
|
|
-групповыхк |
одовнеотличаютсякорректирующих |
|
|
|
|||||||||||||||||||
свойствгрупповыхк |
|
|
одов,изкоторы |
хониполучены.Рассмотримкодорасвоеметояние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жно- |
||||||||||||
групповомкоде. |
Vi c и V jc - |
двепроизвольныекомбинациисмежно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-групповогокодасобразу |
|
|
|
|
|
|
ющим с. |
||||||||||||
Тогдакаждаяизэтихкомбинацийможетбытьпре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дставлчеркомбиеназ |
|
|
|
нациюисхо |
|
|
|
|
дногогруппового |
|||||||||||||
кода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vic = Vi |
+ c, |
V jc = V j + c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ихсумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
V c +V c = V + c +V |
j |
+ c = V +V |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
равнакомбинацииисходногогрупповогокода.Следовательно,ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сстояниемеждудвумялюбыми |
|
|
|
|
|
||||||||||||
комбинациямисмежно |
|
|
|
-групповогок дапределяетсявесомоднихкокйомбвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инацийисходного |
||||||||
групповогокода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак,справедливатеорема:
90
Теорема5 |
.2Кодовые. расстоясм жноия |
-групповогокодасо |
впадаютскодовыми |
расстояниямиисходнгрупповогокода. |
|
Этоозначает,чтоп мехоустойчивостьсмежно |
-групповых |
кодовэквивалентапомех |
оустойчивостиисходныхгрупповыхкодов. |
|
|
91
5.3.6Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
1Показать. ,чтоусловиесуществсовершенныхк задаетсяваниядовгран |
|
|
|
|
|
|
|
ицейХэмминга. |
2Какие. изперечисленныхкодов,удовлетусловоеиюряютше |
|
|
|
|
|
|
|
нных |
|
а)(23,12) -код, |
dmin=7, |
||||||
|
|
б)(17,9) -код, dmin=7, |
||||||
|
|
в)(63 ,57)-код, dmin=3, |
||||||
|
|
г)(63,51) -код, dmin=5, |
||||||
|
|
д)(7,4) -код, dmin=3. |
|
|||||
3Че.равномуинимкодовоерасстояниельноедля(7, 4) |
|
|
|
|
– кодаспр |
|
оверочнойматрицей |
|
|
|
&0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1# |
H |
(7,4) = |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
! |
0 |
1! . |
|||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1! |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
4Провер. ,принадлежаткомбинациить |
|
|
|
|
0 1 1 0 0 1 0 |
и |
1 0 к0одномус1 1 0 1 |
межномукласс(7, 4) |
– кода. |
5Оцен. выигрышподостоверностить,обеспечиваемой(7, 4) |
|
– кодом,с |
dmin=3посравнению |
простымсемиэлементнымкодомприисправленииприобнаруженииошибокканалес группирующимиош. бками
92
5.4 ПРИМЕРЫ ГРУППОВЫХ КОДОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5.4Ко.1сединст. ыпровначетностьркойнй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Простейшийпомехкдляобнаружеустойчивыйошибокможполуч,еслнияить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ввестиоднупроверкуначетностьповсемэлементамбез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
избытсообщениячного,т..кпередаваемому |
|
||||||||
k – разрядномусообщению |
|
|
|
обавитьещеодинразряд,являющийсярезультатомсуммированиявсех |
|
|
|
|
||||||||||||
элементовсообщенияпомодулю2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak +1 = ∑ai . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Полученныйтакимобразомкодявляетсягрупповымиможетбытьоб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
означен( |
n, n-1) – |
||||||
код.Проверочнаяматрица( |
|
|
|
n, |
n-1) –кодас |
остизоитдной |
|
строки |
n |
столбцов.Вкачествевсех |
|
|||||||||
столбцовпроверочнойматрицызап |
|
|
|
|
|
исываются1,.к.проверкойхватываютсявсеэлементысообщения: |
|
|
|
|
||||||||||
H (n, n−1) |
= [1 |
1 1 |
... 1 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Таккаквстолбцыепроверочматродин,томцыаковыой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инимальнкодовое |
|
|||||||
расстояниев( |
n, n-1) –кодеравно2,т.. ( |
|
|
|
|
n, n-1) –кодгарантийно |
бнаруживаетвсеодношибкикратные. |
|
||||||||||||
|
|
Вкаждкодоймбинациивой( |
|
|
|
|
|
n, |
n-1) |
–кодаимеетсячетноечислоединиц.Таким |
|
|
|
|||||||
образом,коддополнительножетбнаружвсеошиб,пр кизменениюводящиетьчетности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
единиц,т.е.ошибкилюбойнечетнойкратности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, ( |
n, n-1) –кодыбнаруживвсеошибкинечетныхкрают |
|
|
|
|
|
|
|
тностей |
|
|
|
||||||||
Ошибкижечетнойкраткодомнобнаруживаютсяеости.Долянеобнаруж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иваемыхкодомошибок |
|
||||||
составляет |
1 |
= |
1 |
,т.к.необнаруживаетсяровн |
|
|
|
оп |
оловинавозможныхошибочныхтрансфо |
|
рмаций. |
|||||||||
2n−k |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Пример5 |
.12.Однимизпервыхпомехко,ндовустойчивых |
|
|
|
|
|
ашедшихприменениена |
|
||||||||||
практике,являетсяшестиэлементнкод,получаемиз ый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ятиэлементнпростогкодадобавлениемго |
|
||||||||
одногоизбыточногоэлементатак,чтоб |
|
|
|
|
|
|
|
ычислоеднулейницвкаждкодоймбинациивойбыло |
|
|
|
|
||||||||
четным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этявляетсякодгрупповым(6, 5) |
|
|
|
|
|
– код.Порождмматрицапющаяоверокица |
|
|
|
|||||||||
этогокодаимеютвид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
! |
H |
1 1 |
1 |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(6,5) = |
|
! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
! |
|
(6,5) = [ |
|
] |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повидуматрицы |
|
Н(6,5) можносделатьвывданный,чтокодим |
|
|
|
|
|
еет dmin=2,т.е.гарантийно |
||||||||||
обнаруживаетвсеодино |
|
|
чныеошибки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
Построениекод декодирурующего ющегоустройствдля(6, 5) – кокак, дциклическоголя
кодаспорождающиммногочленом |
|
g(x) = x |
|
|
|
|
|
,будетп |
оказанониже. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Вероятностьнеобнаружени |
яошибок( |
n, n-1) –кодавканалесгрупп |
ированиемвна |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P = |
|
|
|
P |
( |
n |
%1−α |
= |
P |
( |
n |
%1−α . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
# |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
no |
|
|
|
2n−k |
|
|
& |
|
# |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
Вероятностьпоявленияошибок |
|
|
|
|
|
n – элементнойкомбинациипростого |
|
|
одаравна: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn |
= n1−α P. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Подсчитаемвыигрышподостоверности,обеспечиваемый( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, n-1) –кодами: |
|
||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
n1−α P |
|
|
= 2 21−α |
= 22−α . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
η = |
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Pno |
|
|
P n 1−α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) d & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Учитываяпределыизмененияпоказателягруппирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α ,находим,что( |
n, n-1) – коды |
||||
обеспечиваютповышениедостоверн |
|
остипосравнениюпроскодатжеойыдлмив ны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 раза. |
|||||||||||||||
5.4Коды.2. |
Хэмминга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КодомХэмминганазывается( |
|
|
|
n, k) – код,которыйзадаетсяматприцоверокй |
|
|
H(n,k), |
|||||||||||||||||||
имеющей |
m = n − k строки |
2m −1 столбцов,причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ами H(n,k) являютсявсеразличные |
|||||||||||||
ненулевыедвои |
чныепоследовательностидли |
|
|
ны m (m – разрядныедвочиотчныесладо1 |
|
2m −1). |
|||||||||||||||||||||
|
ДлинакодомбинацвойкодаХэммравнаиинга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2m −1. |
|
|
|
||||
|
Числонформационныхэлементовопределяетсякак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 2m − m −1. |
|
|
|||
|
Итак,кодХэммингаполностьюзадаетсячис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лом m – количествомпр |
оверочныхэлементов |
||||||||
вкодомбинациивой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знаявидматрицы |
H(n,k),можнопределитьк рректирующиесвойства( |
|
|
n, k) – кода |
||||||||||||||||||||||
Хэмминга.Таккаквстолбцыеприцы |
|
|
|
оверокразл,тонидвачныкакиестолбца |
|
|
H(n,k) |
неявляются |
|||||||||||||||||||
линейнозави |
симыми.Нарядуэт, лмюбогочисла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m всегдаможноуказатьтристолбцаматрицы |
|
|
|
|||||||
H(n,k),кот орыелинейнозависимы,напр |
имер,столбцы,соответствующиечислам1,Следовательно2, ,3. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
длюбогоя( |
n, k) – кодаХэмминга |
dmin=3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КодХэммингаявляетсяоднимиз |
|
|
|
|
|
немногочисленныхпримеровсове |
|
ршенногокода |
. |
|||||||||||||||||
|
Действительно,поскольку( |
n, k) |
– кодХэммингаисправляетвсеод |
|
|
иночныеошибки,то |
|||||||||||||||||||||
всеобразцыодиночныхошибок |
|
(аихвс |
|
|
|
егонасчитывается |
Cn1 = n = 2m −1 |
вариантов)должны |
|||||||||||||||||||
размествразлсмежитьсячных |
|
ныхкла ссах,числокотакжеравнорых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m −1.След,повательномимо |
|||||||||||||||
смежныхкла |
ссов,содержащихобразцыодиночныхош,никадругихбоквтаблицедекодирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неимеется,чтоподтвержсовершенностькоХэммидает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нга. |
|
|
|
|
94
|
|
Приф ксированно |
мчисле |
m = n − k можнопостроитькХэммингадлюбойдлины |
|
|
|
||||||||||||||
( n < 2m −1)пукорочениятем( |
n, k) |
– кода.Укорочениенеуменьшаетминимальноекодовое |
|
|
|
|
|||||||||||||||
рас.Встояниеилутого,чтодлюбогочисла |
|
|
|
|
|
|
|
n существуеткодХэмминга, |
|
любойгр |
упповойкодс |
|
|||||||||
исправлениемодиночошибокпринятоазыватьых |
|
|
|
|
|
|
|
|
одомХэмминга. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример5.13 |
|
.ОпределимпараметрыкодовХэестественноймингадл |
|
|
|
|
|
|
|
|
иныдляразличных |
|
|||||||
значений m.Результапредсввидетабл.авыимцы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m |
|
n = 2m −1 |
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0,33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0,57 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
15 |
|
|
|
|
11 |
|
|
0,74 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
31 |
|
|
|
|
26 |
|
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
63 |
|
|
|
|
57 |
|
|
0,91 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
127 |
|
|
|
|
120 |
|
|
0,95 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ит.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Очев,чтомиднонимальнаядлинакодХэм, практеющегоинга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ическоезначение, |
|
|||||||
есть3При.увеличении |
|
n отношение |
k |
|
возрастает истр |
емитсяк1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример5.14 |
|
.РассмотрХэммингакод (7,4)Матрицапровер. этогокодасостоитизк7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
трехразрядныхдвочиотчныхселдо17: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1# |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (7,4) = 0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
! . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
Израссэтоймавидтр,чтоеицыминимальноеоячислолинейнозависимых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
столбцовра |
вно3( |
к примеру1,3),следовательно2 , |
|
|
dmin=3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Втомслучае,когдастолбцыматрицы |
|
|
|
|
|
H(n,k) – кодаХэммингаестьуп |
орядоченнаязапись |
m |
|||||||||||
– разрядныхдвочи,декчныхселосущестдирование |
|
|
|
|
|
|
|
вляетсяоригинобр.Врезультательнымзом |
|
|
|
||||||||||
вычисленияпроверочного |
|
|
оотношениядлякод мбинациивой |
|
|
|
|
|
|
|
Vi!,имеющейодиночнуюошибку, |
|
|
||||||||
получаетсясиндром |
Si |
= ei H T |
вточностиравныйномэле,которомрументапр |
|
|
|
|
|
|
|
|
оизош. ибкала |
|
||||||||
|
|
Действ,еслительно |
ei сододнуединицуржитвразряде,соответс |
|
|
|
|
|
|
твующемошибочному |
|
||||||||||
элементу,топриум матрицуожении |
|
|
|
|
|
|
|
НТ встрокиематрицы |
|
|
НТ,соответствующиенулям |
ei, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
обращаютсявнули,лишьстр,соответствующаяка“1” |
|
|
|
|
|
ei сохраняетвойид..(порядковыйномер |
|
|||||
элементавдвоичнойзаписи)ответе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 5.15 .ПустьприемникУЗОсистемыпередачиданныхзарегис |
|
|
|
|
|
|
трировал |
|||
комбинацию V = (1 1 0 |
0 |
0 0 1) .Вычсиндромадаслениет |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
&0 |
0 |
1# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
! |
1 0 0 , |
|
|
|
|
|
V H (7,4) = (1 1 0 0 0 0 1) 1 0 0! = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
т.е.ошибкавчетвертомэлементеикодкомбинацияваякода(7,4),которбылапередана, я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеетвид: |
1 |
1 0 1 0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Путемнесложныхпреобразованийиз( |
|
n, k) – кодаХэммингас |
dmin=3можнополучить |
|||||||
(n+1, k) – кодХэммингас |
dmin=4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Дляэтоговкодомбинациювуювводитсяизбыточныйэлемент, |
|
|
|
|
|
|
|
вляющийся |
||
результапроверкиначетвсемностьэлемен |
|
|
|
тамкодомбвой.Чинслоформационныхации |
|
|||||||
элементовостапрежним. тся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Матрицапроверокдля( |
|
n+1, k) – кодаХэммингас |
dmin=4получаетсяизматроверокицы |
|
||||||
(n, k) – кодас |
dmin=3путвведениядополнительноймстрокииз( |
|
|
|
n+1)-ойединицы. |
|
||||||
|
|
Таккакразмер |
|
ностьматпркодаоверокицыс |
|
|
|
|
|
dmin=4должнабытьра |
вна |
|
(n − k +1) × (n +1) ,токкаждстрматопйкеркодаоверокицыс |
|
|
|
|
dmin=3,н еобхдодимоодинбавить |
|
||||||
нулевойэлемечтобыдлятого, ннарушитьевв |
|
|
еденныеранепрове.Матрпровероккидля(ца |
|
|
n+1, |
||||||
k) – кода dmin=4имеетвид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
0# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[H |
(n,k ) ] |
! |
|
|
|
|
|
|
|
H |
(n+1,k ) = |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0! , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%1 |
... 1 11 |
|
|
|
||
|
где H(n,k) =матприовероксхцакодас ного |
|
|
dmin=3. |
|
|
|
|
||||
|
Рассмпро,приведшаятцедураеннкудлинениюкодомбинациивойдинразпряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
увеличении dmin наединицу1 ,получиланазвание |
|
удлинения кода(1 |
- удлинение)Удлин. могутнию |
|
||||||||
бытьподверидругиекоды,напримернуты,кодыРида |
|
|
|
|
-Соломона. |
|
|
|
|
|||
|
|
Пример5.16 |
.ПостроитькодХэмминга(8,4) |
|
|
|
dmin=4наосновематпркодаоверокицы |
|
||||
(7,4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96 |
Известно:
Повидуматрицы H(7, 4)
независимыепроверкиначетность.
Каждаяизстрокопределяетэлементыкод мбинациивой,охваче Такимобр, зомтрице
соотношений:
|
&0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1# |
H (7,4) = |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
! |
0 |
1! |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1! |
|
% |
|
|
|
|
|
|
можносделатьвыводтом,чток (7,4)деосуществляется3 |
|
|
|
нныеоднойпроверкой. |
|
H(7, 4) соотвслеситствуетдующая |
стемапр |
оверочных |
0 0 |
0 1 |
1 |
1 |
1 |
a4 |
+ a5 + a6 |
+ a7 |
= 0 |
||||||
% |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
↔ a2 |
+ a3 + a6 |
+ a7 |
= 0 |
||||
%0 |
1 |
|||||||||||||
%1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
a + a |
3 |
+ a |
5 |
+ a |
7 |
= 0 |
|
& |
|
|
|
|
|
# |
1 |
|
|
|
|
Длятого,чтобыполучитькод(8,4)с |
dmin=4вводимещеоднупроверкуповсемэлементам |
|
кодомбинациивой,результатэтойпроверкизапис |
ываетсявидедополнительного8 |
-гоэлемента: |
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = a8
или
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 0 .
Этойпроверкесоотвдополнитствуетчетвертая( )строкамаельная |
трице Н(8,4), |
состизвоединицящаясьми.Длятогочтненарушитьбытрипредыдущиепровнамвосьмогостерки |
|
элемвтрпенсрвыхтматрицыроках |
Н(8,4) наместевосьмогоэлеме,просн.улиИтак, вляем |
матпркодаоверокица(8,4)полученавиде: |
|
|
&0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0# |
H (8,4) |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0! |
= |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
!. |
|
|
1 |
0! |
||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
! |
|
%1 |
1 |
Опредизвспособоместнымлим |
dmin (8,4) – кода.Изр ссмотрениятехстолбцов,сумма |
|
которыхдаванустолбецевойа(7,4) |
– коде,видно,чтосдобавлением4 |
-ойстрокиониперестали |
бытьлинейнозависимыми.Теперьужечислолинейнозависимст должноцовбычетнымхтьи |
|
|
мин4,имумапример,первыестолбца3 последний.Т образомким,дляполученногокодаХэмминга |
|
|
(8,4) dmin=4. |
|
|
Досихпормыещенеразделилиэлементыкодомбинациивой |
|
нформационные |
прове.Наиболерочныеаци,п нально |
-видимому,этоможносделедующиматьобразом. |
|
Желательно,чтобыкаждоепроверочс отношоднозначноопредпроверочниеэлемеялока нтый |
|
к |
результатпроверкиначетноснековокупностиьинформационныхройэлементов.Втакомслучае |
|
|
|
|
97 |