черняк

	Кварт		Грош	ВВП,		l				ln
али			ова	млн грн	nM			Y
			маса М2,
			млн грн
	1993/		79	128	4			4,
Q2					,37			85
	1993/		260	470	5			6,
QЗ					,56			15
	1993/		386	831	5			6,
Q4					,96			72
	1994/		574	1478	6			7,
Q1					,35			30
	1994/		927	1982	6			7,
Q2					,83			59
	1994/		1596	2979	7			8,
QЗ					,38			00
	1994/		2163	5597	7			8,
Q4					,68			63
	1995/		2681	8318	7			9,
Q1					,89			03
	1995/		3845	1069	8			9,
Q2				4	,25			28
	1995/		4645	1610	8			9,
QЗ				2	,44			69
	1995/		5269	1940	8			9,
Q4				2	,57			87
	1996/		5562	1668	8			9,
Q1				8	,62			72
	1996/		6077	1786	8			9,
Q2				7	,71			79
	1996/		6220	2251	8			10
Q3				0	,74			,02
	1996/		7306	2445	8			10
Q4				4	,90			,10
	1997/		8040	1872	8			9,
Q1				8	,99			84
	1997/		9279	2048	9			9,
Q2				5	,14			93
	1997/		10464	2607	9			10
QЗ				6	,26			,17
	1997/		10775	2807	9			10
Q4				6	,28			,24
	1998/		10973	2098	9			9,

137

	Кварт		Грош	ВВП,		l				ln
али			ова	млн грн	nM			Y
			маса М2,
			млн грн
Q1				3	,30			95
	1998/		11269	2344	9			10
Q2				0	,33			,06
	1998/		10873	2951	9			10
QЗ				6	,29			,29
	1998/		12175	2993	9			10
Q4				0	,41			,31
	1999/		11976	2515	9			10
Q1				7	,39			,13
	1999/		14242	3011	9			10
Q2				0	,56			,31
	1999/		15360	3705	9			10
QЗ				7	,64			,52
	1999/		16820	3480	9			10
Q4				2	,73			,46

Розв'язання

Перетворюємо вхідну інформацію, знайшовши логарифми від початкових даних. За звичайним МНК оцінюємо модель lnMt 0 1 lnYt vt :

lnMt

0,027 0,906lnYt .

Знаходимо вектор залишків

.

ˆt lnMt

0,027 0,906lnYt

Обраховуємо статистику Дурбіна – Уотсона:

n

ˆ

ˆ

2

d

t 2

t

t 1

0,747 0,678

.

n

1,101

ˆt2

t 1

Це значення менше за критичні

значення

статистики Дурбіна – Уотсона dL 1,33 ,

dU 1,48 , тому робимо висновок про наявність додатної автокореляції.

Оцінимо коефіцієнт кореляції:

ˆ 1 d2 0,661.

Обраховуємо скориговані значення змінних за формулами

lnM1*

1 2 lnM1, lnMt* lnMt lnMt 1,2 t 28.

138

Y1* 1 2Y1 ,Yt* Yt Yt 1,2 t 28 .

C* 1 2	,	C* 1 ,2 t 28 .
1		t

Запишемо знайдені скориговані дані у вигляді таблиці:

(???)

			Кварта		M*	C*	Y*
	ли
			1993/Q		2,89	0,75	2,98
	1
			1993/Q		1,82	0,34	2,23
	2
			1993/Q		2,67	0,34	2,95
	З
			1993/Q		2,28	0,34	2,66
	4
			1994/Q		2,42	0,34	2,86
	1
			1994/Q		2,63	0,34	2,77
	2
			1994/Q		2,86	0,34	2,98
	З
			1994/Q		2,81	0,34	3,34
	4
			1995/Q		2,82	0,34	3,32
	1
			1995/Q		3,04	0,34	3,31
	2
			1995/Q		2,99	0,34	3,56
	З
			1995/Q		2,99	0,34	3,47
	4
			1996/Q		2,96	0,34	3,20
	1
			1996/Q		3,01	0,34	3,37
	2
			1996/Q		2,98	0,34	3,55
	3
			1996/Q		3,12	0,34	3,48
	4
			1997/Q		3,11	0,34	3,16
	1

139

			Кварта		M*	C*	Y*
	ли
			1997/Q		3,19	0,34	3,43
	2
			1997/Q		3,22	0,34	3,61
	З
			1997/Q		3,17	0,34	3,52
	4
			1998/Q		3,17	0,34	3,18
	1
			1998/Q		3,18	0,34	3,49
	2
			1998/Q		3,13	0,34	3,64
	З
			1998/Q		3,26	0,34	3,50
	4
			1999/Q		3,17	0,34	3,32
	1
			1999/Q		3,36	0,34	3,62
	2
			1999/Q		3,32	0,34	3,70
	З
			1999/Q		3,36	0,34	3,50
	4

За наведеними даними оцінюємо модель lnMt* 0Ct* 1 lnYt* t :

lnMt* 0,376Ct* 0,864lnYt* , R2 0,81.

Модель

буде

значущою,

оскільки

Fpr 54,78

значно

перевищує

Fteor F(1;26;0,05) 4,23 .

Таким чином, остаточна модель має вигляд lnMt 0,376 0,864lnYt .

5.7. Звичайний метод найменших квадратів

Для оцінювання моделей з автокорельованими збуреннями можна використати звичайний метод найменших квадратів: як було-зазначено вище, проблеми існують не з оцінками параметрів (хоча вони й не будуть оптимальними ), а зі стандартною оцінкою коваріаційної матриці. У. Неві та К. Вест запропонували таку оцінку, яка придатна в досить широких умовах стосовно природи автокореляції:

ˆ

T

1

X

T

X

T

1

1

L n

W

ˆ ˆ

x

x

T

x

x

T

,

Dβ

X X

X X

n j 1t j 1

j

t t j

t

t j

t j

t

140

де	ˆt ,t	1,n		залишки звичайного методу найменших квадратів;						діагональна матриця
з t-м діагональним елементом, рівним					ˆ2	;	x	t	– вектор значень регресорів у t-му
					t

спостереженні Wj 1 L j 1. Константу L (якщо це константа, то треба прямо???)

визначає такий порядок автокореляції, що автокореляцією вищих порядків можна знехтувати. Тобто, наприклад, якщо збурення генерує процес MA q , то L q . У випадку

авторегресійних збурень визначена L є досить складним питанням визначити L досить складно. Стосовно вибору "узагальнений – звичайний" можна сказати те саме, що і у випадку гетероскедастичності і оцінки Уайта. Звичайному МНК віддають перевагу, коли невпевнені щодо характеру автокореляції.

5.8. Автокореляція внаслідок неправильного визначення моделі.

На початку підрозд. 5.1 ми аналізували механізм виникнення автокореляції в коректно специфікованих регресійних моделях. Однак значення діагностичної статистики, яке вказує на наявність автокореляції, може свідчити (і це часто відбувається на практиці) про неправильне визначення моделі. Розглянемо кілька найбільш поширених причин такого явища.

Автокореляція внаслідок неправильно визначеної функціональної форми. Нехай справжня модель має вигляд

yt 0 1 lnt t ,

а замість неї ми оцінюємо

yt 0 1t t .

У цьому разі ми, напевне, стикнемося із ситуацією, подібною до зображеної на рис. 5.1.

y

x

Рис. 5.1. Автокореляція внаслідок неправильно визначеної функціональної форми

141

Зрозуміло, що залишки виявляться корельованими (за даними, зображеними на рисунку, які відсортовано в порядку зростання х, d 0,308 ). Правильним рішенням буде

не використання узагальненого методу найменших квадратів, а зміна функціональної форми моделі. Простим критерієм перевірки функціональної форми є критерії RESET

(див. п. 3.4.2).

Автокореляція внаслідок пропущених змінних. Очевидний приклад такої автокореляції – відсутність сезонних фіктивних змінних при моделюванні показника, динаміка якого характеризується сезонними коливаннями. Проблему пропущених змінних було розглянуть в підрозд. 3.4.

Автокореляція внаслідок неправильно визначеної динаміки. Така ситуація виникає, коли реакція залежної змінної на зміни незалежних змінних не миттєва, а розподілена в часі. Якщо немає специфічних міркувань щодо характеру такої реакції, то найбільш доцільним шляхом буде розглядати моделі з авторегресійно розподіленими лагами (ADL) :

yt xTt β xTt 1γ yt 1 t

замість звичайної моделі

yt xTt β t..

У моделі ADL слід перевірити гіпотези 0 і 0 . Окрім того, модель слід перевірити на наявність автокореляції. Слід пам'ятати, що внаслідок корельованості yt 1 з t 1 , МНК-

оцінки, хоча і зберігають властивість спроможності, будуть зміщеними. Отже, усі стандартні результати правильні лише асимптотично. Крім того, унаслідок наявності лагового значення залежної змінної yt 1 серед регресорів, використовувати статистику

Дурбіна – Уотсона некоректно, тому слід застосувати критерій Бройша – Годфрі. Моделі з розподіленими лагами буде розглянуто в розд. 8.

Корельованість збурень в моделях з просторовими даними. Істотна відмінність між просторовими даними і часовими рядами полягає в тому, що в останньому випадку існує єдиний природний спосіб сортування вибірки – сортування за часом, тоді як у ситуації зі структурними даними сортування вибірки може бути довільним. Отже, значення статистики Дурбіна – Уотсона можна визначати просто способом сортування вибірки. Якщо дані просторові, то немає сенсу розглядати збурення як випадковий процес або казати про неправильно визначену динаміку. Проте коли спостереження відсортовано за певною логікою, корельованість залишків може свідчити про проблеми з моделлю: неправильно визначену функціональну форму або пропущені змінні. У такій ситуації можна опинитись, якщо дані відсортовано в порядку зростання залежної змінної. Якщо дані відсортовано за географічним принципом, корельованість залишків може свідчити про відсутність змінних, які характеризують регіональні відмінності. Цю проблему можна розв'язати шляхом введення до моделі фіктивних змінних.

Задачі

Група А

142

Задача 5.1. Знайдіть математичне сподівання, дисперсію та коваріацію першого порядку для стаціонарного AR 1 процесу yt 1yt 1 t .

Задача 5.2. Обчисліть коваріації перших чотирьох порядків для AR 1 процесу yt 1yt 1 t .

Задача 5.3. Обчисліть коваpіаційну матрицю для процесу AR(2).

Задача 5.4. Збурення моделі yt xt vt підпорядковані	процесу авторегресії
першого порядку vt vt 1 t . Оцініть коефіцієнт з регресії yt	xt t :

1.Покажіть, що така оцінка лінійна та незміщена.

2.Обчисліть дисперсію цієї оцінки та покажіть, що стандартна оцінка цієї дисперсії зміщена.

	Задача 5.5.		Покажіть, що для регресії					y	xT β v				.	з автокорельованими збуреннями
першого порядку vt vt 1 t								t	t		t
					найкращим прогнозом на наступний період буде
							T		ˆ	yn				T ˆ	,
						yˆn 1 xn 1β ˆ					xn β
де	T	– вектор незалежних змінних у період n 1;									ˆ		– оцінка коефіцієнта						β	; ˆ – оцінка
	xn 1										β
	коефіцієнта кореляції.
	Задача 5.6.		Для моделі yt xt				vt обраховано оцінки залишків:
				-	0	-	1		1		0		-			0	0
			0,1		,5	0,2	,4		,4	,9			0,2			,1	,7

Перевірте модель на наявність автокореляції збурень.

Задача 5.7. Для моделі yt xt vt обраховано оцінки залишків:

0	-	0	-		0	0	-	-	0
,8	0,5	,4	0,9	,7		,4	0,5	0,2	,4

Перевірте модель на наявність автокореляції збурень.

Група Б

Задача 5.8. Для поданих даних оцініть параметри макроекономічної виробничої функції Кобба – Дугласа.

lnL	lnK	lnY
10,88	16,40	25,30
10,20	18,63	23,06
11,28	20,00	25,34

143

lnL	lnK	lnY
11,64	20,74	26,21
12,37	20,71	26,04
12,04	20,61	25,34
11,84	20,84	25,25
12,73	24,02	27,46
14,31	23,40	29,26
14,09	27,31	30,36
13,62	26,40	29,33
13,77	32,33	32,38
14,81	35,53	35,33
15,04	36,82	35,73
17,38	36,51	40,57

1.За допомогою критерію Дурбіна – Уотсона перевірте гіпотезу про відсутність автокореляції збурень 0,05 .

2.У разі наявності автокореляції оцініть модель за допомогою узагальненого методу найменших квадратів.

Задача 5.9. За наведеними даними (2000 р.)

Споживан	Дох
ня,	ід,
грн, C	грн, Y
98,75	110,
	34
101,35	116,
	04
104,53	123,
	22
110,74	130,
	05
110,01	129,
	12
110,61	130,
	71
111,88	130,
	90
113,30	132,
	45
113,53	136,
	83

144

	Споживан	Дох
	ня,	ід,
	грн, C	грн, Y
	115,91	139,
		13
	114,49	133,
		27
	115,46	132,
		81
	120,27	139,
		54
	116,45	137,
		96
	118,94	141,
		47
	118,06	142,
		67
	123,51	146,
		40
	127,14	149,
		35
	135,49	158,
		43
	140,97	164,
		43
побудуйте залежність Ct 0 1Yt vt .

1.Перевірте наявність автокореляції 0,01.

2.У разі наявності автокореляції застосуйте узагальнений метод найменших квадратів для оцінювання моделі.

Задача 5.10. Оцініть параметри функції yt 0 1xt vt , де y – дохід підприємства, x – витрати підприємства.

Дохід	Витрати
підприємства,	підприємства,
y	x
44,14	39,61
45,79	41,28
44,14	39,44
44,93	40,88
47,69	41,69
50,13	43,27

145

Дохід	Витрати
підприємства,	підприємства,
y	x
52,14	47,31
50,93	45,60
51,56	46,47
55,08	47,45
55,85	50,04
60,33	55,30
63,64	58,43
66,12	60,37
64,52	58,71
64,22	56,65
64,60	56,59
63,45	55,49
60,65	52,91
62,58	54,31

1.За допомогою критерію Дурбіна – Уотсона перевірте гіпотезу про відсутність автокореляції збурень 0,01.

2.У разі наявності автокореляції оцініть параметри моделі узагальненим методом найменших квадратів, оцінивши параметр :

методом Дурбіна – Уотсона;

методом Хілдрета – Лу.

Задача 5.11. За даними задачі 1.15:

1.Визначте наявність автокореляції залишків, 0,01.

2.У разі наявності автокореляції оцініть параметри моделі узагальненим методом найменших квадратів, оцінивши параметр методом Дурбіна – Уотсона.

Задача 5.12. За даними задачі 1.16:

1.Визначте наявність автокореляції залишків 0,05 .

2.У разі наявності автокореляції оцініть параметри моделі, використовуючи модель нелінійної регресії (5.24).

Задача 5.13. За даними задачі 1.18:

1.Визначте наявність автокореляції залишків 0,01.

2.У разі наявності автокореляції оцініть параметри моделі узагальненим методом найменших квадратів, оцінивши параметр методом Дурбіна – Уотсона.

Задача 5.14. За даними задачі 1.20:

1. Визначте наявність автокореляції залишків 0,01.

146