Тепер H0 : 0 (випадкове блукання із дрейфом), H1 : 0 (лінійний тренд плюс
стаціонарна авторегресія першого порядку). Статистика критерію становить
ct s.e.( ) .
Правило ухвалення рішення зберігається й у цій ситуації.
За рівності решти умов критичні значення ct -статистики в регресії (7.46) ще більше
зміщені ліворуч.
Як ми знаємо, загальний процес реалістично описує стаціонарний часовий ряд. Звідси випливає, що в більшій частині практичних ситуації збурення в регресіях Дікі – Фуллера будуть автокорельованими, а отже, критичні значення -статистик будуть некоректними.
У двох наступних підрозділах буде розглянуто два поширені узагальнення критерію Дікі – Фуллера, які було розроблено на основі підходів, які узагальнюють два популярні методи розв'язання проблеми автокореляції в звичайних моделях регресії.
Узагальнений критерій Дікі – Фуллера (критерій Сейда – Дікі). Узагальнений критерій Дікі – Фулера (Augemented Dickey – Fuller test) у деяких джерелах називають також критерієм Сейда – Дікі. Замість моделей (7.44)–(7.46) в аналогічних ситуаціях розглядають такі регресії:
|
yt yt 1 1 yt 1 p yt p t , |
(7.47) |
yt yt 1 1 yt 1 p yt p t , |
(7.48) |
yt |
t yt 1 1 yt 1 p yt p t . |
(7.49) |
Довжину лага p вибирають таким чином, щоб позбутися автокореляції збурень. На практиці довжину лага рекомендовано вибирати, мінімізуючи значення критерію Шварца, або Ханнана – Квіна. Формулювання гіпотез, статистики критеріїв і алгоритми перевірки будуть такими самими, як у моделях (7.44)-(7.46). Граничний розподіл також виражено як функціонал від стандартного вінерівського процесу. Доведено, що розподіл статистик критеріїв не залежить від довжини лага p.
Критерій Філіпса – Перрона. Цей критерій ґрунтується на моделях (7.44)-(7.46), однак, статистики коригують на основі оцінки коваріаційної матриці, коректної в умовах автокореляції.
Якщо ряд має одиничний корінь, треба дослідити перші різниці ряду. За необхідності процедуру слід продовжити, аж поки ми не одержимо стаціонарний процес. Таким чином ми, урешті-решт, відшукаємо порядок інтегрованості ряду.
Приклад 7.2. Оцінювання ARIMA-процесу
Виберемо найкращу ARIMA –модель для часового ряду ВВП України за 1996-2007 рр., поданого в таблиці (оскільки вихідні дані мають експоненційний тренд та яскраво виражену сезонність, то значення ВВП попередньо логарифмовані й сезонно скориговані). Треба оцінити цю модель.
Логарифм натуральний номінального ВВП України (млн грн). Дані сезонно скориговано.
(???)
Квартал |
Ln(ВВП) |
Квартал |
Ln(ВВП) |
1996/Q1 |
9,880484 |
2002/Q1 |
10,87420 |
1996/Q2 |
9,871042 |
2002/Q2 |
10,88733 |
1996/Q3 |
9,903196 |
2002/Q3 |
10,94175 |
1996/Q4 |
9,984332 |
2002/Q4 |
10,99981 |
1997/Q1 |
9,997500 |
2003/Q1 |
11,02986 |
1997/Q2 |
10,00711 |
2003/Q2 |
11,06915 |
1997/Q3 |
10,04604 |
2003/Q3 |
11,09409 |
1997/Q4 |
10,12640 |
2003/Q4 |
11,14147 |
1998/Q1 |
10,10917 |
2004/Q1 |
11,24870 |
1998/Q2 |
10,13560 |
2004/Q2 |
11,34189 |
1998/Q3 |
10,14310 |
2004/Q3 |
11,37937 |
1998/Q4 |
10,17939 |
2004/Q4 |
11,41734 |
1999/Q1 |
10,29410 |
2005/Q1 |
11,46207 |
1999/Q2 |
10,35426 |
2005/Q2 |
11,52510 |
1999/Q3 |
10,39990 |
2005/Q3 |
11,60069 |
1999/Q4 |
10,36714 |
2005/Q4 |
11,57479 |
2000/Q1 |
10,55590 |
2006/Q1 |
11,71521 |
2000/Q2 |
10,61096 |
2006/Q2 |
11,62674 |
2000/Q3 |
10,70382 |
2006/Q3 |
11,75759 |
2000/Q4 |
10,69032 |
2006/Q4 |
11,99425 |
2001/Q1 |
10,75327 |
2007/Q1 |
11,98195 |
2001/Q2 |
10,81275 |
2007/Q2 |
12,06783 |
2001/Q3 |
10,84276 |
2007/Q3 |
12,06184 |
2001/Q4 |
10,89231 |
2007/Q4 |
12,17469 |
13 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
ln(ВВП) |
10 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
1996 |
1998 |
2000 |
2002 |
2004 |
2006 |
Рис. 7.1. Логарифм натуральний сезонно скоригованого квартального ВВП України за 1996– 2007 рр.
Розв'язання. Спочатку визначимо тип процесу. Оскільки графік даних (рис. 7.1) показує, що дані приблизно мають лінійний тренд, застосуємо узагальнений критерій Дікі – Фуллера, що ґрунтується на регресії (7.49). Мінімізуючи значення критерію Шварца, вибираємо довжину лага в регресії Дікі – Фуллера рівною нулю. Вибіркове значення ct -
статистики становить 2,844175 , що перевищує десятивідсоткове критичне значення ( 3,184230). Отже, ми не можемо відхилити гіпотезу про наявність одиничного кореня.
Різниці ряду не мають явного тренда, а їхнє середнє значення значущо відрізняється від нуля. Тому до різниць застосовуємо варіант критерію з регресією (7.49). Довжина лага, обрана на основі критерію Шварца, дорівнює нулю. Вибіркове значення c -статистики
дорівнює 8,954576 , тобто є меншим, ніж одновідсоткове критичне значення ( 3,581152) . Це вказує на стаціонарність різниць. Таким чином, робимо висновок, що ряд
є інтегрованим першого порядку. |
|
|
|
|
|
|
Тепер слід |
|
вибрати |
ARMA(p,q) -модель для різниць. Вибиратимемо, мінімізуючи |
критерій Шварца для моделей, у яких p q 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,813744 |
|
|
2,723430 |
|
|
1 |
|
|
– |
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,833687 |
|
|
2,753423 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,751957 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найменше значення (SIC 2,833687) дає модель ARMA(0,1) MA(1), яку ми й обираємо. Усі значення Q -статистики для 2 k 20 значно менші за відповідні критичні
значення. Отже, робимо висновок про некорельованість залишків моделі. Оцінена модель для різниць є такою:
yt 0,049 ˆt 0,357ˆt 1
Відповідно, вихідний ряд можна описати таким процесом ARIMA(0,1,1):
yt 0,049 yt 1 ˆt 0,357ˆt 1 .
Обчислення здійснено в програмному середовищі EViews 5.1.
|
|
7.13. Регресія у випадку тренд-стаціонарних часових рядів |
|
|
Нехай залежна змінна yt |
|
є тренд-стаціонарною з лінійним трендом, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt t t , |
|
|
(7.50) |
де t – стаціонарний випадковий процес із нульовим середнім. |
|
|
|
Наша |
мета |
– |
дослідити |
|
лінійну |
|
залежність |
між yt |
та набором змінних |
xt |
(1,xt,1, ,xt,k 1)T |
. Якщо змінні були б стаціонарними, ми почали б з оцінювання моделі |
множинної регресії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xT β |
, |
|
|
(7.51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
t |
|
|
|
де |
|
β ( , , |
1 |
)T |
, |
– |
збурення |
(можливо, автокорельовані). |
Уведемо |
також таке |
|
|
0 |
k |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
позначення: β |
-0 |
( |
, , |
|
)T , |
тобто |
β |
-0 |
– вектор |
коефіцієнтів |
при всіх |
незалежних |
|
|
|
|
1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
змінних, окрім константи.
Спочатку проаналізуємо властивості цієї моделі в наявних умовах. Якщо у тренд-
стаціонарний, а всі елементи xTt – стаціонарні, то модель (7.51) апріорі некоректна, оскільки збурення в цій моделі не можуть бути стаціонарними. У тому випадку, коли принаймні один із набору регресорів xTt є тренд-стаціонарним, за відсутності залежності
між змінними R2 у моделі (7.51) прямує до одиниці зі швидкістю O n12 (тобто
1 R2 O |
|
1 |
), якщо |
|
є білим шумом, і зі швидкістю O |
1 |
|
, якщо |
є випадковим |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
n2 |
|
|
|
n |
|
|
|
блуканням. Тому коефіцієнт детермінації в цих умовах не є інформативним. Оцінки коефіцієнтів β зміщені та неспроможні (окрім ситуації, яку буде розглянуто нижче).
Таким чином, звичайна регресія, тобто модель (7.51), буде некоректною.
Виявляється, що зміни, які слід внести до моделі (7.51), не такі вже й значні. Слід обов'язково включити відповідний тренд до рівняння
Модель (7.52) оцінюють, виходячи із властивостей збурень, так само, як у випадку
стаціонарних змінних. Однак ця модель має певні особливості. Насамперед оскільки R2 завжди прямує до одиниці, то стандартна F-статистика для перевірки гіпотези про значущість прямує до нескінченності. Отже, її використовувати не можна. Натомість звичні t- та F-статистики для перевірок гіпотез про обмеження на β та (окрім β-0 0 та
0 одночасно, тобто крім стандартного формулювання гіпотези про значущість) будуть коректними. Стандартне формулювання гіпотези про значущість моделі (7.52) замінює
гіпотеза β-0 0 .
Рекомендуємо такий алгоритм. Слід оцінити моделі (7.50) і (7.52). Основою аналізу є модель (7.52). Слід окремо перевірити гіпотези β-0 0 та 0 . Залежно від результатів
перевірок варто розрізняти такі випадки:
199
β-0 0 та 0 . Регресори пояснюють як тренд залежної змінної, так і
короткострокові відхилення від тренда. У цій ситуації модель (7.51) коректна і слід перейти до неї (пам'ятайте про зауваження стосовно коефіцієнта детермінації).
β-0 0 та 0 . У цьому випадку слід порівняти коефіцієнти при тренді в моделях
(7.50) і (7.52).
Формальну перевірку рівності здійснюють за допомогою такої штучної моделі. Маємо 2n спостережень:
y (y1, yn ,y1, yn )T , x j (x1, j , xn, j ,0, ,0)T , j 1,k 1.
Замість константи з’являються дві фіктивні змінні. В одній n перших координат – одиниці, а n останніх – нулі, у другій – навпаки. Замість тренда маємо дві такі змінні:
(0, ,0,1,2, ,n)T |
та (1,2, ,n,0, ,0)T . |
|
|
n |
n |
Цю модель слід оцінювати методом зважених найменших квадратів з вагами, пропорційними до стандартних відхилень збурень у моделях (7.50) і (7.52). Гіпотеза про рівність коефіцієнтів при двох останніх змінних в описаній моделі еквівалентна гіпотезі про рівність коефіцієнтів при тренді в моделях (7.50) і (7.52). Якщо коефіцієнти значно не відрізняються, то це означає, що х-и здатні пояснювати лише короткострокові відхилення у від тренда, джерело якого лишається нез'ясованим. Якщо коефіцієнти відмінні, то це означає, що х-и частково пояснюють тренд у, однак, частина джерел тренда в явному вигляді невідома. У цій ситуації треба залишити модель (7.52).
Основні факти такі. Модель здатна коректно оцінювати вплив незалежних змінних, її можна використовувати для прогнозування. Однак довгострокову поведінку у (частково або повністю) не можна пояснити, а лише формально змоделювати за допомогою тренда. Щоб охарактеризувати вплив незалежних, рекомендуємо обчислити частковий коефіцієнт детермінації. Для цього треба спочатку оцінити моделі тренда для у і для кожного х. Потім слід оцінити регресію залишків у стосовно залишків кожного з х-ів. Звичайний R2 в останній регресії є частковим коефіцієнтом детермінації у вихідній моделі. Проте останній має лише обмежену цінність, оскільки показує, наскільки х-и пояснюють відхилення залежної змінної від власного тренда. Для виявлення того, наскільки х-и пояснюють тренд у, пропонуємо псевдо-коефіцієнт детермінації, який треба обчислювати
таким чином. Позначимо через |
ˆ |
ˆ |
|
коефіцієнтів |
β |
та |
|
у моделі (7.52). |
β |
та оцінки |
Оцінимо регресію |
T ˆ |
1t t |
. Нехай |
ˆ1 |
– оцінка |
1 |
. Тоді |
xt β 0 |
|
|
|
|
|
Pseudo R2 |
|
ˆ1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пропонований коефіцієнт ґрунтується на методології арифметики зростання Солоу.
Задачі
Група А
Задача 7.1. Знайдіть автокореляційну функцію такого MA(2)-процесу: yt t 0,7 t 1 0,2 t 2 .
Задача 7.2. Знайдіть автокореляційну функцію такого AR(1)-процесу:
yt 0,7(yt 1 ) t .
Побудуйте графік k у діапазоні 6 k 6 .
Задача 7.3. Покажіть, що значення автокореляційної функції ARMA(1,1) -моделі yt yt 1 t t 1 можна обчислювати за такою формулою:
|
|
( )(1 ) |
, k 1, |
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2. |
|
|
k 1, |
|
|
Задача 7.4. Запишіть кожну з наведених нижче моделей за допомогою полінома від оператора лага. Визначте, чи є вони стаціонарними та/або оборотними:
а) |
yt |
0,3yt 1 t ; |
б) |
yt |
t 1,3 t 1 0,4 t 2 ; |
в) yt |
0,5yt 1 t 1,3 t 1 0,4 t 2 ; |
г) yt 0,03 0,7yt 1 0,9yt 2 t 0,2 t 1 0,5 t 2
Для моделі (а) знайдіть еквівалентне MA -зображення.
Задача 7.5. |
Покажіть, що AR(2)-процес вигляду yt |
yt 1 cyt 2 t є стаціонарним |
при 1 c 0 . Знайдіть автокореляційну функцію при |
c |
3 |
. Покажіть, що AR(3) - |
|
|
|
16 |
|
процес yt yt 1 cyt 2 cyt 3 t – нестаціонарний для будь-якого значення c . |
Задача 7.6. |
Знайдіть параметри моделі AR(2), якщо: |
|
|
|
а) 1, 1 1314 , 2 140113 ; б) 2, 1 1311, 2 6541 ;
в) 3, 1 17 , 2 1513 .
Задача 7.7. Знайдіть параметри моделі ARMA(1,1) , якщо:
а). 4, 1 1319 , 2 19091 ;
б). 3, 1 17511 , 2 35011 ;
в). 1, 1 3141, 2 20593 .
Група Б
Задача 7.8. Оберіть найкращу ARIMA -модель для часового ряду ВВП України за 1999-2007 рр., поданого в таблиці. Оцініть обрану модель. На основі даних за 19992006 рр. розрахуйте прогноз на 2007 р. Визначте похибку прогнозування.
(???)
Пері |
ВВП |
|
|
|
|
ВВП |
України, |
|
Пері |
України, |
од |
млн грн |
од |
|
|
|
млн грн |
|
1996 |
|
|
|
|
2002 |
|
|
|
|
/01 |
|
5060 |
|
|
/01 |
|
14128 |
|
1996 |
|
5140 |
|
|
2002 |
|
13412 |
|
|
/02 |
|
|
|
/02 |
|
|
1996 |
|
6488 |
|
|
2002 |
|
16592 |
|
|
/03 |
|
|
|
/03 |
|
|
1996 |
|
5062 |
|
|
2002 |
|
14412 |
|
|
/04 |
|
|
|
/04 |
|
Розділ 8. Моделі з лаговими змінними
8.1. Приклади з економічної теорії
Досить часто в реальних ситуаціях вплив більшої частини факторів не можна відчути миттєво. Час, потрібний для того, щоб дія фактора реалізувалася повністю, залежить від характеристик і міри складності явища, яке аналізують. Розглянемо кілька економічних прикладів.
Приклад 8.1. Функція споживання |
|
|
|
Найпростіша лінійна функція споживання має вигляд |
|
|
|
|
Ct 0 0Yt t , |
|
(8.1) |
де Ct – особисте споживання;Yt – особистий дохід у розпорядженні; t – збурення; |
0, 0 |
– |
параметри 0 |
0 , 0 0 1. |
|
|
|
Частка C /Y – це "середня схильність до споживання", а перша похідна dCt |
|
є |
t |
t |
dYt |
0 |
|
|
|
|
|
граничної схильністю до споживання.
З рівняння (8.1) випливає, що поточне значення споживання залежить лише від поточного значення доходу та не залежить від поточних значень будь-яких інших змінних.
Однак така специфікація моделі може бути некоректною. Наприклад, поточне споживання може також залежати від поточного рівня нагромаджень. У цьому разі
функція споживання набуде такого вигляду: |
|
Ct 0 0Yt 0St t , |
(8.2) |
де St – особисті нагромадження; 0 – параметр моделі. |
|
Розв'язання. Як відомо з економічної теорії, поточний рівень нагромаджень залежить від доходу попередніх років. Тому функцію нагромаджень можна записати таким чином:
St 0 1Yt 1 2Yt 2 ... ut , |
(8.3) |
де j (для j = 0,1,...) – параметри моделі; ut |
– збурення. |
|
Підставимо (8.3) до (8.2) та одержимо |
|
|
Ct ( 0 0 0 ) 0Yt 0 1Yt 1 0 2Yt 2 ... ( 0ut t ) |
|
або |
|
|
Ct 0Yt |
1Yt 1 2Yt 2... t . |
(8.4) |
З рівняння (8.4) випливає, що поточний рівень споживання залежить від поточного та минулих значень доходу.
Якщо взяти до уваги так звану постійність звичок, то поточний рівень споживання залежить від минулих рівнів споживання:
Ct 0Yt 1Yt 1 2Yt 2... 1Ct 1 2Ct 2 ... t . |
(8.5) |
Приклад 8.2. Акселераторна модель інвестицій
У найпростішій акселераторній моделі інвестицій визначено, що існує зв'язок між чистими інвестиціями і зміною випуску. Це взаємовідношення можна записати у вигляді
It |
0Xt t , |
(8.6) |
де It – чисті інвестиції; Xt Qt Qt 1; |
Qt – випуск; 0 – параметр. |
|
З моделі випливає, що рівень інвестицій буде значно коливатися. Інвестиції будуть додатними, якщо економіка у стані піднесення (Qt Qt 1 0 ), і від'ємними, якщо
економіка на спаді (Qt Qt 1 0 ). Однак зміна рівня інвестицій залежить і від інших
факторів, наприклад від розподілу в часі інвестиційних рішень.
Оскільки інвестиційні рішення з різних причин можуть бути відкладені, то реакція інвестицій на зміну випуску розподіляється в часі. У цьому випадку рівняння (8.6) можна записати таким чином:
It 0 1Xt 1 2Xt 2... k Xt k t . (8.7)
Приклад 8.3. Кількісна теорія грошей
Кількісна теорія грошей стверджує, що рівень цін в економіці пропорційний обсягу
грошової маси в цій економіці. Це твердження випливає з рівняння І. Фішера |
|
|
|
|
|
|
|
|
MtVt PtQt , |
|
|
(8.8) |
де Mt |
– номінальний обсяг грошової маси; Vt |
– швидкість обігу грошей; Qt |
– реальний |
випуск (обсяг кінцевих товарів і послуг); Pt – загальний рівень цін. |
|
Розв'язання. Логарифмуємо співвідношення (8.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnMt lnVt lnPt lnQt . |
|
(8.9) |
У результаті диференціювання (8.9) за часом одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
mt vt pt |
qt , |
|
(8.10) |
де m |
|
d |
lnM |
t |
|
1 |
dMt . Аналогічно визначаємо , p ,q |
. |
|
|
|
|
|
t |
|
dt |
|
Mt |
dt |
t t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У випадку дискретного часу замість похідних розглянемо відносні прирости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mt Mt 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mt |
|
|
|
Перепишемо (8.10) у такому вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt mt qt vt . |
|
(8.11) |
Таким чином, інфляцію визначаємо за зміною реального випуску, зміною номінальної грошової маси і зміною швидкості обігу грошей.
Монетаристи стверджують, що основним фактором, який визначає інфляцію, є зміна грошової маси, уважаючи два інші фактори неважливими. Залежно від того, буде сумарний ефект змін випуску і швидкості обігу позитивним, нульовим чи додатним інфляція буде більшою, рівною або меншою, ніж зміна грошової маси.
Отже, з монетаристської позиції, залежність інфляції від обсягу грошей буде такою:
Тоді як із рівняння (8.12) випливає, що зміна грошової маси діє на інфляцію миттєво, у реальності реакція інфляції розподілена в часу. Тому залежність (8.12) слід записати у вигляді
pt 0mt 1mt 1 2mt 2 ... t . |
(8.13) |
Приклад 8.4. Крива Філіпса
Крива Філіпса в первісному вигляді описує емпіричне співвідношення між відносною зміною заробітної плати і безробіттям у відсотках до загальної кількості робочої сили. Чим вище рівень безробіття, тим менше зміна заробітної плати.
Це співвідношення можна записати таким чином:
|
|
|
t |
, |
(8.14) |
|
wt Ut e |
|
|
|
|
|
|
– рівень безробіття у відсотках; |
де wt (wt wt 1)/wt 1 ; wt – рівень заробітної плати; Ut |
|
|
|
|
|
|
t |
– збурення; 0, 0 – параметри. |
|
|
|
|
|
Припустимо, що заробітна плата залежить також від цін у минулому. Крім того, |
зважимо на те, що реакція заробітної плати не є миттєвою. Тоді замість (8.14) слід записати
|
|
1 |
m |
1 |
k |
t |
, |
(8.15) |
де |
wt |
Ut |
...Ut m ...pt 1...pt ke |
|
pt (pt pt 1)/ pt 1 ; pt – загальний рівень цін; |
j , h – параметри. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У всіх розглянутих прикладах значення залежної змінної визначають значення незалежних змінних у поточний момент часу (миттєва реакція), але й значення за минулі моменти часу (неперервна, або динамічна реакція). Різниця між поточними та минулими моментами часу називається часовим лагом або просто лагом, а відповідна змінна називається лаговою змінною.
