черняк

	y	x1	x2	x3
2	7		1	3
	29,4	24,9	22,3	13,9
2	9		9	5
	32,4	26,0	24,5	16,3
3	0			4
	31,7	27,3	24,7	14,8
4	4		6	1
	35,1	29,7	24,9	15,1
6	5		9	3
	37,0	31,8	25,9	15,4
7	7		4	6
	38,7	33,5	27,3	16,9
4	5		5	6

Треба зробити специфікацію найкращої лінійної моделі.

Розв'язання

Оцінимо регресії, вилучивши одну та дві змінних, підрахуємо коефіцієнти детермінації,

				R2	R	2
				2	1
практичні Fpr					1		і теоретичні	Fteor		F(1;n k; ) значення				F -статистик при
				1 R22
				n k
додаванні нових чинників:
											Fpr ,		якщо		Fte
		Регресія								R2	додати
											x1	x2		x
														3
			y 6,34 1,04x1 0,48x2 0,61x							0,996
										513
			y 4,87 0,947x1 0,07x2							0,995				3	4,
										478				,56	75
			y 11,65 1,91x2 0,16x3							0,982	46,				4,
										896	86				75
			y 3,54 0,88x1 0,318x3							0,996		1,			4,
										081		49			75
			y 5,56 0,99x1							0,995		0,		2	4,
										457		06		,07	67
			y 11,72 1,81x2							0,982	36,			0	4,
										817	40			,06	67
			y 12 2,91x3							0,952	144	23			4,
										546	,41	,07			67

Таким чином, бачимо, що до регресії 7 варто ввести чинники х1 та х2, до регресії 6 – чинник х1, а до регресії 3 –чинник х1. Зроблений аналіз доводить, що не слід розглядати модель без змінної х1, проте, модель 5 є самодостатньою. Таким чином, найкращою буде модельy 5,56 0,99x1 .

3.5. Асимптотичні властивості МНК-оцінок

У багатьох випадках скінченновимірні властивості оцінок найменших квадратів, описані вище, можуть не зберігатись. Наприклад, якщо збурення не є нормально розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Якщо порушується

умова, що всі xij некорельовані зі всіма t , математичне сподівання ˆ не дорівнюватиме. До того ж модель лінійної регресії, збурення в якій задовольняє всі класичні умови, є

71

однією з небагатьох в економетриці, яка має відомий точний скінченновимірний розподіл оцінок параметрів.

При послабленні деяких із класичних припущень або при переході до інших моделей скінченновимірні властивості оцінок зазвичай невідомі. У таких випадках для того, щоб охарактеризувати властивості оцінок, використовують інший підхід, який ґрунтується на асимптотичній теорії. Асимптотична теорія відповідає на запитання, що трапиться, якщо гіпотетично розмір вибірки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості використовують для апроксимації скінченновимірних властивостей.

Спроможність. Послідовність оцінок ˆ n параметра , де n – розмір вибірки,

називається спроможною, якщо ˆ n збігаються за ймовірністю до справжнього значення параметра:

ˆ	ˆ
p lim n , тобто 0	lim P {| n | } 0.
	n

На відміну від ситуації незалежної вибірки, тут нам знадобляться додаткові умови

стосовно матриці значень незалежних змінних X . Припустимо, що n1 XT X збігається до

несингулярної матриці XX . Точні умови, що забезпечують збіжність n1 XT X , ми не

наводитимемо. Зауважимо, що вони виконуються в більшій частині практичних ситуацій з просторовими даними і зі стаціонарними числовими рядами (див. підрозд. 7.3).

Стосовно збурень достатньо двох припущень:

C1: M i 0, C2 : Mxij i 0.

Зауважимо, що умови спроможності не потребують припущень про рівність дисперсій і некорельованість збурень.

За виконання введених умов p lim ˆ = .

Умова C2 значно слабша порівняно з умовою про некорельованість усіх xij з усіма t , а не лише з i , яка необхідна для забезпечення незміщеності. Наприклад, у моделі

yt 0 1xt 2yt 1 t

оцінки параметрів будуть зміщеними, але будуть спроможними, якщо Mxt t 0.

Кажучи не зовсім строго, спроможність означає, що при зростанні розділу вибірки ймовірність того, що оцінки дуже відрізнятимуться від параметра, прямує до нуля.

У багатьох випадках неможливо довести незміщеність оцінки, або незміщену оцінку знайти зовсім неможливо (наприклад для нелінійних моделей, або моделей з лаговими значеннями залежної змінної серед регресорів, як у попередньому прикладі). У таких

ситуаціях мінімальною вимогою

до оцінок є

спроможність.

Зручною

буде така

властивість: якщо p lim

ˆ

=

β

і g

– неперервна функція, то

p lim

ˆ

=

g(β)

. Зауважимо

β

g(β)

також, що для спроможності ˆ2

(формула (2.10))

як оцінки

2

до введених умов слід

додати умову про рівність дисперсій збурень.

Асимптотична нормальність. Властивість асимптотичної нормальності дозволяє використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність збурень, оскільки відповідні статистики матимуть більш-менш потрібні розподіли.

Припустимо,

що

крім

припущень, уведених у попередньому параграфі,

виконують

припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді

ˆ

збігається

n β β

за розподілом до

N 0, 2 xx 1 .

Оскільки

спроможність

невідому

матрицю

xx можна

оцінити за допомогою

1

X

T

X

, а

2

через

ˆ

2

, то на практиці приблизним розподілом

ˆ

є

n

β

2

X

T

X

1

що

збігається

з

точною

формулою у випадку класичних

нормально

N β, ˆ

,

розподілених збурень.

72

Моделі, у яких порушено припущення про рівність дисперсії і про некорельованість збурень, буде розглянуто, відповідно, у темах "гетероскедастичність" і "автокореляція ". У цих ситуаціях поряд зі специфічними методами можна використовувати звичайний метод найменших квадратів, але при цьому слід уживати інші оцінки коваріаційної

матриці βˆ . МНК-оцінки зберігають властивість асимптотичної нормальності: βˆ ~ N (β,S), де замість S слід підставити оцінки, які наведено у відповідних підрозділах.

3.6. Метод максимальної правдоподібності

Метод максимальної правдоподібності (ММП) для знаходження оцінок параметрів – один із найбільш використовуваних в економетриці завдяки оптимальним статистичним властивостям цих оцінок. Точне формулювання буде наведено нижче. Метод можна застосувати в тому разі, коли розподіл спостережень відомий з точністю до скінченої кількості параметрів. Спочатку розглянемо знаходження ММП-оцінок у випадку незалежних вибірок.

Дискретний випадок. Нехай y1,…, yn – незалежна вибірка з дискретного розподілу, заданого набором можливих значень х1,…, хк і відповідних імовірностей

yi x j Pj ,		k	1,
		j
		j 1
де – параметр, який треба оцінити.	Припустимо,		що yi x ji , тоді	yi Pji ( ).
Оскільки спостереження незалежні, то ймовірність такої реалізації вибірки дорівнює
n	n
yi ji		.
i 1	i 1

Останній вираз, якщо його розглянути як функцію від , називається функцією правдоподібності:

n

L L( y1,...,yn ) ji .

i 1

Наприклад, якщо y1,...,yn – реалізація вибірки з розподілу Бернулі з імовірністю успіху

, тобто P 1 , P 0 1 , то L m 1 n m , де m-кількість одиниць серед чисел yi..

Оцінкою (методу) максимальної правдоподібності (ММП-оцінкою) називається таке значення , за якого функція правдоподібності досягає свого максимуму. Іншими словами, за оцінку обирають таке значення , за якого ймовірність спостерігати наявну

реалізацію вибірки буде найбільшою.
Неперервний випадок. Нехай тепер y1,...yn –	реалізація	вибірки з абсолютно
неперервного розподілу зі щільністю f y f y, .	Унаслідок	незалежності функція

n

спільної щільності дорівнює f yi , . Остання функція, якщо її розглядати як функцію

i 1

параметра , називається функцією правдоподібності:

n

L L(

y1,...,yn )

f yi , .

Нехай, наприклад, y1,...yn

i 1

– реалізація незалежної вибірки з нормального розподілу з

параметрами m і 2 . Тоді m, 2 , а функція правдоподібності набуває вигляду

n

2

y m

n

1

i 1

i

L L

y1,...,yn )

f yi , = L m, 2

exp

.

n /2

2

i 1

2

2

Як і в дискретному випадку, оцінки знаходять за умови максимізації функції правдоподібності. Зауважимо, що оскільки функція правдоподібності є добутком, то технічно набагато простіше знаходити максимум її логарифма, який буде досягнуто при тих самих значеннях параметрів унаслідок монотонності логарифмічної функції

73

В економетричних моделях спостереження залежної змінної загалом не є вибіркою незалежних однаково розподілених випадкових величин. Тому для знаходження функції спільної щільності пропонуємо такий підхід. Спочатку слід знайти перетворення вихідної вибірки, у результаті якого утворюється незалежна вибірка, а потім застосувати формулу

щільності для функції випадкових величин. Нехай yi

yi x1,...,xn ,i

Якщо існують

1,n.

обернені функції xi

xi y1,...,yn , то

fy y1,...yn

J

fx x1 y1,...yn ),...xn y1,...yn ,

x

y ,...y

i

y ,...,y , i 1,n .

де

J det

1

n

– Якобіан-перетворення x

i

x

i

y j

1

n

Проілюструємо цей підхід на прикладі.

Проста лінійна регресія. Нехай у моделі yi

0

1xi

i ,

i

збурення i

незалежні і

1,n

n

2

однаково розподілені з розподілом N 0, 2 . Тоді

f

1,... n

1

i

exp

i 1

.

n

/2

2

2

2

2

Перепишемо рівняння моделі в такому вигляді:

i

yi 0 1x1 ,

i 1,n ,

звідки

i

j

1,

i

i

j.

y j

0,

Таким чином, матриця перетворення є одиничною. Отже,

J

1, а

fy y1,...y n

0, 1, 2 f 1(y1,...yn ),..., n (y1,...y

n )

0, 1, 2

n

2

1

yi 0 1xi

i

1

2 2

2

2

n /2 exp

.

Ми

показали,

що

функція

правдоподібності

має

вигляд:

n

2

L 0, 1, 2

1

yi 0 1xi

exp

i 1

,

2

n /2

2

2

2

а її логарифм

n

yi

0 1xi 2

l 0, 1, 2

n ln

2 2

i 1

.

2

2

2

Запишемо необхідну умову існування екстремуму:

lnL 0,

lnL 0,

lnL

0.

0

1

2

Одержані

рівняння

називаються рівняннями максимальної правдоподібності. Якщо

розписати ці рівняння, то неважко побачити, що спочатку слід знайти розв'язки стосовно0 і 1 , а потім стосовно 2 . Причому знаходження розв'язку еквівалентно мінімізації виразу yi ( 0 1xi )2 , який є знайомою сумою квадратів залишків. Тобто ММП-оцінки

параметрів регресії – 0 і 1 у випадку нормально розподілених збурень збігаються з оцінками найменших квадратів. У цьому разі функцію спільної щільності можна було записати безпосередньо, зважаючи на те, що yi ~ N xi , 2 і yi незалежні. Другий

74

підхід зручніше використовувати, якщо спостереження залежної змінної незалежні, а перший – якщо залежні.

3.7. Асимптотичні властивості ММП-оцінок і оцінювання дисперсії ММП-оцінок

Широке використання в економетриці ММП викликане саме його асимптотичними властивостями. Позначимо через θˆML ММП-оцінку θ.

1.Спроможність: p limθˆML θ.

2.Асимптотична нормальність: θˆ N (θ, I(θ) 1) , де символ " " означає збіжність за розподілом, N (m, ) – багатовимірний нормальний розподіл із вектором математичних

сподівань

і коваріаційною матрицею . Через

позначено інформаційну матрицю:

m

I(θ)

2

lnL(θ)

lnL

θ lnL θ

I(θ) M

M

.

T

θ

T

θ θ

θ

3. Асимптотична ефективність: ММП-оцінки досягають границі Крамера – Рао для

спроможних оцінок:

2 lnL(θ) 1

θ lnL θ 1

ˆ

lnL

AsyVar(θML ) M

θ θT

E

θ

θT

,

де через AsyVar позначено асимптотичну коваріаційну матрицю.

Слід підкреслити, що точні скінченновимірні властивості ММП-оцінок зазвичай невідомі, і в деяких випадках ці оцінки не найкращі для малих вибірок.

4.Інваріантність: Якщо g θ є неперервною функцією, то g θˆML є ММП-оцінкою

gθ .

Убагатьох випадках другі похідні логарифму функції правдоподібності мають досить складний вигляд, тому знайти їхні математичні сподівання виявляється неможливим. На практиці використовують два способи. Перший полягає в обчисленні відповідних похідних при значеннях аргументів, які дорівнюють ММП-оцінкам:

ˆ	ˆ				2	ˆ	1
						lnL(θ)	.
D(θ)						ˆ ˆT
					θ θ

Друга оцінка ґрунтується на тому, що математичне сподівання матриці других похідних дорівнює коваріаційній матриці перших похідних:

ˆ

ˆ

ˆ ˆT

1

D(θ)

gi gi

,

ln f yi ,θ

i

де

ˆ

.

ˆ

gi

θ

Асимптотично еквівалентні критерії перевірки параметричних гіпотез:

1.Критерій відношення правдоподібності (LR).

Нехай: θ – вектор параметрів моделі; гіпотеза 0 визначає сукупність обмежень на значення параметрів; θˆu – ММП-оцінка, знайдена в моделі без обмежень; θˆr – ММП- оцінка, знайдена в моделі з обмеженням; Lˆu , Lˆr означають значення функцій

правдоподібності для необмеженої й обмеженої моделей, знайдені в точках θˆu і θˆr відповідно. При виконанні достатньо необмежувальних умов регулярності статистика

LR 2ln Lˆr Lˆu

асимптотично має розділ –квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень. Недоліком критерію є необхідність оцінювати модель в обох випадках – без обмежень і з обмеженнями.

2.Критерій Вальда.

75

Запишемо гіпотезу про сукупність обмежень у такому вигляді: 0 : c θ q за умови, що обмеження правильні. Статистика Вальда

W c(θˆ ) q T D c(θˆ ) q 1 c(θˆ ) q

асимптотично має розподіл -квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень (тобто кількості рівнянь у c θ q ). Зауважимо, що у випадку, коли обмеження

нелінійні, коваріаційну матрицю		ˆ	оцінюють таким чином
	c(θ)
						ˆ
ˆ				ˆ T		c(θ)
D c(θ) q				CDθC , де C		ˆT	,
						θ

тобто j -й рядок матриці С складається з похідних j -го обмеження стосовно всіх елементів θ . У випадку лінійних обмежень Rθ q . статистика Вальда набуває вигляду

W Rθˆ q T RDθˆRT 1 Rθˆ q .

Кількість степенів свободи дорівнює кількості рядків у матриці R . Критерій можна застосувати не лише для ММП-оцінок, але і для будь-яких спроможних асимптотично нормальних оцінок. Для перевірки гіпотези треба мати оцінки лише в моделі без обмежень. Недоліком критерію є неінваріантність його статистики стосовно форми запису нелінійних обмежень.

3.Критерій множників Лагранжа (LM).

Як і в попередньому випадку, запишемо гіпотезу у вигляді 0 : c θ q Для

застосування цього критерію, слід знати оцінку θˆr у моделі з обмеженнями і записати функцію правдоподібності в моделі без обмежень. Статистика критерію

	ˆ		T	ˆ	1	ˆ
	lnL(θr )					lnL(θr )
LM				I(θr )
	ˆ					ˆ
	θr					θr

асимптотично має розподіл -квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень.

Критерій зазвичай обирають з огляду на те, який з них простіше застосувати. Перевіряючи нелінійні обмеження, якщо є можливість, уникають використання критерію Вальда через його неінваріантність стосовно форми запису обмежень.

Задачі

Група А

Задача 3.1. Щодо групи підприємств, які випускають однорідну продукцію, відомо, яким чином залежить собівартість одиниці продукції y від чинників.

Чинники			Регресія				Середнє значення
							чинника
Випуск, млн грн, x1			yˆ x		0,2 1,8	1			1 6,2
						x
				1				x
						1
Обсяг	робочої	сили,	yˆ x2		3,3 4,8x
тис. люд./год, x2							x2 25,6
Середньозважена ціна		ресурсів,	yˆ x3		1,5 x1,43				3 1,4
млн грн, x3								x
Частка податків, %, x4			yˆ		11,5 1,03x
				x4			x4 29,1

За допомогою коефіцієнтів еластичності зробіть ранжирування чинників за мірою їхнього впливу на результат.

76

Задача 3.2. Розраховано матрицю		коефіцієнтів парної кореляції для трьох
пояснювальних змінних моделі з нормалізованими змінними y* 1,2x*						0,8x*	1,4x*	:
					1	2	3
		1	0,8	0,7
R		0,8	1	0,4
					.
		0,7	0,4	1

1.Визначте наявність мультиколінеарності, 0,05 .

2.Зробіть ранжирування змінних за мірою їхнього впливу на залежну змінну.

Задача 3.3. Для 30 спостережень незалежних змінних множинної лінійної регресії з двома чинниками розраховано часткову кореляційну матрицю незалежних змінних:

	1	0,73	0,27
	0,73	1	0,12
R				.
	0,27	0,12	1

Визначте наявність мультиколінеарності, 0,1.

Задача 3.4. Побудовано економетричну модель

R		0,03 0,18 lnY			1,2 ln I		,
	t	0,6	7,4	t	2,8	t

де Rt – відсоткова ставка; Yt – ВВП країни; It – обсяг інвестицій.

1.Перевірте значущість коефіцієнтів регресії.

2.Дайте економічну інтерпретацію результатів.

3.Визначте, як зміниться відсоткова ставка, якщо дохід зросте на 2 %.

4.Визначте, як зміниться відсоткова ставка, якщо інвестиції збільшаться на 1,7 %.

Задача 3.5. На фірмі працюють 23 жінки та 17 чоловіків. Середня заробітна плата жінок 342 грн, чоловіків – 394 грн.

0, жінка 1. Оцініть регресію yt 0 1dt t , де yt – заробітна плата, dt 1, чоловік.

2.Перевірте гіпотезу про відсутність дискримінаціїH0 : 1 0 , 0,1.

3.Обчисліть коефіцієнт детермінації моделі.

4.Перевірте модель на адекватність, 0,01.

5.Визначте стандартні похибки коефіцієнтів моделі.

Група Б

Задача 3.6. За даними, наведеними в таблиці, оцініть функцію Кобба – Дугласа yt 0K 1L 2 :

	Фір	1	2	3	4	5	6	7
	ма
	y	2	1	3	1	2	1	3
		0	2	1	3	4	5	7
	L	3	3	3	2	3	3	3
		02	10	07	98	25	20	23
	K	3	3	4	4	3	5	6
		0	5	5	4	6	6	1

1.Обчисліть коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації, вибірковий коефіцієнт кореляції між lnK таlnL .

2.Оцініть регресію lnyt 0 1 lnKt t .

3.Перевірте наявність мультиколінеарності, 0,05 .

Задача 3.7. За наведеними даними оцініть модель Кобба – Дугласа yt 0K 1L 2 :

77

Фір
ма	yt	Kt	Lt
1	86	86	57
	7,2	1,3	9,3
2	91	89	68
	1,4	4,8	2,7
3	77	82	42
	8,6	2,9	4,4
4	94	90	71
	4,6	8,9	5,9
5	97	94	90
	7,9	6,5	4,1
6	82	84	49
	6,6	0,6	4,5
7	89	87	62
	6,7	8,2	7,3
8	93	89	68
	3,6	9,3	6,3
9	94	90	69
	1,0	2,6	3,7
10	90	88	66
	4,1	6,7	0,5
11	84	84	54
	5,0	9,1	6,1
12	79	83	45
	7,0	1,4	7,6
13	88	87	61
	5,6	3,4	2,5
14	91	89	68
	8,8	6,7	2,7
15	95	91	73
	5,7	1,4	8,0

1.Обчисліть коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації, вибірковий коефіцієнт кореляції між lnK таlnL .

2.Оцініть регресію lnyt 0 1 lnKt t .

3.Перевірте наявність мультиколінеарності, 0,05 .

Задача 3.8. На фірмі запроваджено такі розміри зарплати y залежно від кількох чинників:

Посада	Заробітна	Стаж	Стат	Знання	Освіта,
	плата, грн	робити,	ь	іноземної	років
		років	Ч	мови	навчання
Президент	2400	4		Ні	9
Віце-президент	2200	8	Ч	Так	15
Комерційний	1500	7	Ч	Так	16
директор			Ж
Бухгалтер	1150	18		Ні	15
Помічник	670	4	Ж	Ні	14
бухгалтера			Ж
Секретар	720	2		Ні	11
Юрист	1258	6	Ч	Ні	17
Менеджер	1206	3	Ч	Так	16
Менеджер	1413	5	Ж	Так	16
Менеджер	1087	2	Ж	Так	16
Прибиральник	298	12	Ж	Ні	9
Охоронець	480	2	Ч	Ні	12
Охоронець	480	2	Ч	Ні	12

78

1.Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від строку навчання,

0,05 .

2.Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від стажу роботи на фірмі, 0,05 .

3.Перевірте гіпотезу про наявність статевої дискримінації на фірмі (чи заробляють чоловіки більше від жінок за однакових умов), 0,05 .

Задача 3.9. Директор заводу вважає, що дохід його підприємства y може залежати від ціни продукції p , вартості капітального устаткування K , кількості робочої сили L ,

курсу гривні до долара e , капітальних інвестицій в галузь I .

(???)

			Квартал				Дохі	Ціна		Капіта	Робоча	Курс	Інвести
						д,	млн	продукції,	л,	млн	сила,	гривні,	ції,	млн
						грн, y		грн, p	грн, K		тис.	грн/дол.., e	грн,	I
											люд./год,
											L
			1997/Q1				0,751	2,10		103	204	185,74	112
			1997/Q2				0,676	3,19		107	204	184,95	211
			1997/Q				2,204	3,71		108	207	185,79	401
	З
			1997/Q4				2,216	3,79		116	208	188,19	691
			1998/Q1				2,433	4,04		117	214	196,66	209
			1998/Q2				2,482	4,15		133	215	204,94	321
			1998/Q				2,502	4,23		130	217	235,69	345
	З
			1998/Q4				3,182	4,94		121	217	342,52	799
			1999/Q1				3,472	4,97		144	217	355,69	223
			1999/Q2				3,955	5,82		144	218	393,56	361
			1999/Q				4,143	6,59		145	218	430,69	483
	З
			1999/Q4				4,421	6,66		148	221	472,23	1039
			2000/Q1				4,432	6,88		149	222	546,41	319
			2000/Q2				5,054	7,57		153	224	541,35	482
			2000/Q				5,186	7,59		154	224	543,90	609
	З
			2000/Q4				5,276	7,77		160	226	543,87	1425
			2001/Q1				5,368	7,93		162	227	543,14	473
			2001/Q2				5,415	7,94		166	228	540,75	727
			2001/Q				5,954	9,01		167	229	535,23	899
	З
			2001/Q4				5,977	9,01		176	230	529,73	1109
			2002/Q1				6,791	9,11		178	231	531,86	577
			2002/Q2				7,042	9,18		183	232	532,82	872
			2002/Q				8,305	9,43		203	204	532,91	932
	З
			2002/Q4				8,565	9,53		221	204	533,10	2081

1.На основі аналізу діяльності підприємства в попередні роки допоможіть директору правильно специфікувати економетричну модель.

2.Визначте найбільш впливові фактори, підрахуйте відповідні коефіцієнти еластичності.

79

Розділ 4. Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями

4.1. Описання моделі

У цьому розділі розпочнемо аналіз регресії, у якій порушується друга умова щодо збурень, тобто виникає явище гетероскедастичності, коли дисперсія збурень не є константою.

Розглянемо модель залежності споживання домогосподарств від наявних доходів:

yt 0 1xt t ,

де yt – споживання t -го домогосподарства; xt – доходи t -го домогосподарства.

Оцінену модель разом із початковими даними можна побачити на рис. 4.1.

Збурення в моделі регресії можна вважати відхиленням рівня споживання конкретного домогосподарства від середнього рівня, який відповідає наявному розмірові доходу. Для домогосподарств із більшими доходами спостерігатиметься більший розкид рівнів споживання. На представленому рисунку добре видно, що при зростанні доходів розкид у споживанні стає більшим. Отже, оскільки дисперсія збурень є мірою цього розкиду, то припущення про рівність дисперсій збурень у такій моделі буде нереалістичним.

Формалізуємо нову модель. Нехай модель має такий загальний вигляд:

yt 0xt,0 1xt,1 k 1xt,k 1 t ,t

1,n

,

(4.1)

де вектор збурень не задовольняє класичним властивостям збурень:

1.M t 0 .

2. Гетероскедастичність збурень: D t M t2 t2 const, t 1,n .

3.Некорельованість збурень: cov( t , s ) 0, t s .

4.Некорельованість збурень та регресорів: cov( t ,xs, j ) 0, t,s, j .

5.Збурення t нормально розподілені для всіх t .

Припущення 2 і 3 зручно записувати в матричному вигляді:

	2	0			0
	1	22
	0				0
Dv=
					0
	0			0	2
					n

	4000
	3500
споживання	3000
	2500
	2000
	1500
	1000
	500
	0
	0	1000	2000	3000	4000	5000
			доход

116