черняк

Зазначимо, що посередині надійного інтервалу лежить значення параметра ˆ , границі

інтервалу перебувають на однаковій відстані від ˆ .

Зрозуміло, що границі інтервалу залежать від обраного рівня надійності. Очевидно, що

tteor буде більшим для 99-відсоткового рівня, ніж для 95-відсоткового (за будь-якого значення степеня свободи), отже, інтервал в 99 % буде більшим порівняно з 95-

відсотковим інтервалом. Оскільки посередині обох інтервалів лежить величина ˆ , то 99-

відсотковий інтервал містить не лише весь 95-відсотковий інтервал, а й додаткові проміжки з того чи іншого боку.

З одного боку, дослідник хоче отримати найточнішу оцінку, з іншого боку, розширення розміру інтервалу зводить нанівець зусилля з локалізації розміщення оцінки ˆ . Тому на

практиці найчастіше використовують 95 % інтервали, які вважають найкращим компромісом між точністю та величиною інтервалу.

Слід зазначити, що найчастіше для аналізу впливу незалежної змінної на залежну використовують величину ˆ . Проте в частині досліджень використано альтернативний

підхід, за яким розраховують середній коефіцієнт еластичності. Середній коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків у середньому зміниться значення y після зміні

незалежної змінної x на 1 % від свого середнього значення:

Ef x yx ˆ yx .

1.7.Прогнозування за допомогою простої лінійної регресії

Одна з основних переваг регресійних моделей – можливість обраховувати прогнози. Нехай треба визначити прогноз величини yt на період n 1 при відомому значенні

незалежної змінної xn 1 . Прогноз обраховуємо за формулою

yˆn 1 ˆ ˆ xn 1 .

Таким чином, для розрахунку прогнозу треба знати значення коефіцієнтів регресії та прогнозне значення незалежної змінної. На практиці іноді розраховують кілька прогнозів для різних значень незалежної змінної xn 1 . У цьому разі говорять про створення

сценарних прогнозів, що містять оптимістичний, і песимістичний сценарії розвитку процесу.

Середня стандартна похибка прогнозу дорівнює

	) RSS	1 1	(xn 1				)2		.
s.e.(yˆ					x
n 1	n 2	n	n					)2
			(xt
						x
			t 1

Надійний інтервал для прогнозу:

[yˆn 1 s.e.(yˆn 1) tteor ;yˆn 1 s.e.(yˆn 1) tteor ] ,

де tteor t n 2,1 – величина розподілу Стьюдента з n 2 степенями свободи. Розроблення прогнозу вимагає оцінити його точність і надійність. Точність і надійність

прогнозів – широко поширені в прогностичній літературі терміни, сенс яких, як здається на перший погляд, цілком очевидний. Проте зміст цих термінів часто тлумачать досить суб'єктивно.

Про точність прогнозу зазвичай судять за розміром помилки прогнозу – різниці між прогнозним і фактичним значенням досліджуваної змінної. Проте такий підхід до оцінювання точності можливий лише у двох випадках. По-перше, коли період попередження вже закінчився, і дослідник має фактичні значення змінної. У короткостроковому прогнозуванні це цілком реально. По-друге, коли прогноз розробляють, тобто прогнозування здійснюють для деякого моменту часу в минулому, щодо якого вже є фактичні дані. При цьому наявна інформація поділена на дві частини. Одна з них, що охоплює більш ранні дані, слугує для оцінювання параметрів прогностичної моделі, а більш пізні дані розглядають як реалізації відповідних прогностичних оцінок. Отримані ретроспективно помилки прогнозу якоюсь мірою

21

характеризують точність застосованої методики прогнозування і можуть виявитися корисними під час зіставляння кількох методів. Водночас розмір помилки ретроспективного прогнозу не можна розглядати як остаточний доказ придатності або, навпаки, непридатності застосовуваного методу прогнозування. До неї варто ставитися з відомою обережністю і, застосовуючи її як міру точності, слід зважати на те, що її отримано з використанням лише частини наявних даних. Проте ця міра точності має більшу наочність і теоретично більш надійна, ніж похибка прогнозу, обчислена для періоду, характеристики якого вже було використано під час оцінювання параметрів моделі. В останньому випадку похибки зазвичай будуть незначними і мало залежатимуть від теоретичної обґрунтованості, застосованої для прогнозування моделі.

У зв'язку з перевіркою точності прогнозів треба зробити ще одне зауваження. Наприклад, якщо для ретроспективного прогнозування застосувати модель, що містить одну або кілька екзогенних змінних, то точність прогнозу значною мірою залежатиме від того, наскільки точно визначено значення цих змінних на період попередження. При цьому можливі два шляхи: скористатися фактичними значеннями екзогенних змінних (так званий прогноз ex post) і очікуваними їхніми значеннями (так званий прогноз ex ante). Звичайно, точність прогнозу ex post, що її зазвичай і одержують під час перевіряння, буде вищою, ніж точність прогнозу ex ante, тому що в першому випадку буде виключено вплив похибки у значеннях екзогенних змінних.

Перевірка точності одного прогнозу мало що може сказати досліднику. Гарний одиничний прогноз можна отримати і за поганою моделлю, і навпаки. Звідси випливає, що про якість прогнозів застосовуваних методик і моделей можна судити лише за сукупністю зіставлень прогнозів і їхньої реалізації.

Найбільш простою мірою якості прогнозів за умови, що є дані про їхню реалізацію, може стати відношення кількості випадків, коли фактичну реалізацію охоплював інтервальний прогноз, до загальної кількості прогнозів, тобто

		m	,
		m p

де m – кількість прогнозів, підтверджених фактичними даними; p – кількість прогнозів,

не підтверджених фактичними даними.
Коли всі прогнози підтверджуються, то p 0	і 1 ; якщо ж усі прогнози не
підтвердилися, то m , а отже, і дорівнюють 0.

Один із дослідників проблем економічного прогнозування, Г. Тейл, запропонував за міру якості прогнозу взяти коефіцієнт розбіжності (або коефіцієнт невідповідності), чисельником якого є середньоквадратична похибка прогнозу, а знаменник дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата реалізації, тобто

	p	yˆ	y	2
v	t 1	t	t		,
		p

yt2

t 1

де p – кількість періодів, на які розраховують прогноз.

Коефіцієнт v 0 , коли всі yˆt yt (випадок ідеального прогнозування); v 1, коли

процес прогнозування призводить до середньоквадратичної помилки "наївної" екстраполяції незмінності приростів; нарешті, v 1, коли прогноз дає гірші результати, ніж припущення про незмінність досліджуваного явища. Верхньої межі коефіцієнт не має.

Коефіцієнт розбіжності можна використати під час зіставляння якості прогнозів, одержаних на основі різноманітних методів і моделей. У цьому його безсумнівна привабливість.

Також виокремлюють більш об'єктивні статистики точності прогнозів: MSE, RMSE, MAD, RMSE, MAPE. Нехай yˆt – прогноз значення часового ряду у t -ому періоді, тоді:

	MSE	1	y	yˆ	t	2	– середньоквадратична похибка прогнозу за p кроків;
		p	t
			t

22

RMSE

1

y

yˆ

2 – корінь із середньоквадратичної похибки прогнозу за p

p

t

t

t

кроків;

MAD

1

y

yˆ

t

– середня абсолютна похибка за p кроків;

p t

t

1

y

yˆ

t

2

RMSPE 100

t

– корінь із середньоквадратичної похибки у відсотках

p

yt

t

від фактичних значень за p кроків;

MAPE

100

yt

yˆt

– середня абсолютна похибка у відсотках за p кроків.

p

t

y

t

На практиці ці характеристики використовують досить часто. Перші три критерії виражають похибку в одиницях виміру, тому їхня величина залежить від специфіки часового ряду. Останні два критерії вимірюються у відносних одиницях, тому можна говорити про деякий загальний рівень адекватності моделі на основі їх порівняння.

1.8. Моделі, що зводяться до простої лінійної регресії

Багато економічних процесів найкраще описувати нелінійними співвідношеннями, наприклад, нелінійними функціями попиту й виробничих функцій. Проте дуже часто існує можливість за допомогою різноманітних математичних операцій звести такі функції до лінійних, які елементарно оцінити за допомогою моделі простої лінійної регресії.

Нехай досліджувана модель має такий вигляд: y e x .

Щоб привести цю модель до простої лінійної регресії, слід зробити такі заміни:

1.Логарифмувати обидві частини рівняння

lny ln x .

2.Позначити отримані величини:

y* lny ; .* ln .

3.Записати рівняння простої лінійної регресії:

y* * x .

Основні види перетворень для зведення моделей до простої лінійної регресії представлено в таблиці.

№	Початкова					До якого вигляду приводимо	Заміна змінної
	функція
1	y Aekx					Z 0 1x	Z lny,
.							0 ln A, 1 k
2	y Bx					Z 0 1u	Z lny,
.							u ln x,
							0	lnB,
							1
3	y 0			1		y 0 1u	u	1
.				x					x
4	y			1		y 0 1u	u		1
.		0
				x					x

Слід зазначити, що не всі моделі можна звести до простої лінійної регресії, наприклад: y x .

23

x

2,5

3

3,5

4

3,8

4

3,8

4

4,2

2

4,8

1

6,5

3

5,8

2

6,4

3

7,7

3

8,1

9

7,6

5

9,3

1

9,2

6

9,8

У цій моделі неможливо однозначно визначити окремо коефіцієнти та , тому цю модель не можна звести до простої лінійної регресії.

Приклад 1.1. Оцінювання простої лінійної регресії

На основі статистичних даних доходу підприємства (у мільйонах гривень) y та кількості працівників (у тисячах осіб) x :

y

10,

8

11,

9

12,

4

13,

2

14,

1

15,

2

16,

0

17,

4

18,

6

19,

4

20,

5

21,

3

22,

5

23,

7

25,

06

1.Знайти оцінки параметрів лінійної регресії y x .

2.Перевірити модель на адекватність із рівнем надійності 95 %.

3.Визначити значущість коефіцієнта нахилу регресії з рівнем надійності 95 %.

4.Оцінити значущість коефіцієнта кореляції з рівнем надійності 95 %.

5.Визначити надійні інтервали для коефіцієнтів регресії з рівнем надійності 95 %.

6.Обчислити середній коефіцієнт еластичності.

Розв'язання

1. Заповнюємо таблицю:

y		x		x2	y2	xy
10,		2,		6,4	116,	27,3
8	53		0		64	2
11,		3,		12,	141,	42,1

24

	9	54	53	61	3
	12,	3,	14,	153,	47,6
	4	84	75	76	2
	13,	3,	14,	174,	50,6
	2	84	75	24	9
	14,	4,	17,	198,	59,5
	1	22	81	81	0
	15,	4,	23,	231,	73,1
	2	81	14	04	1
	16,	6,	42,	256,	104,
	0	53	64	00	48
	17,	5,	33,	302,	101,
	4	82	87	76	27
	18,	6,	41,	345,	119,
	6	43	34	96	60
	19,	7,	59,	376,	149,
	4	73	75	36	96
	20,	8,	67,	420,	167,
	5	19	08	25	90
	21,	7,	58,	453,	162,
	3	65	52	69	95
	22,	9,	86,	506,	209,
	5	31	68	25	48
	23,	9,	85,	561,	219,
	7	26	75	69	46
	25,	9,	97,	625,	246,
	0	86	22	00	50
С	262	93	662	4864	1781
ума	,00	,56	,22	,06	,95

Параметри регресії знаходимо за формулами

ˆ

Тоді

n	n	n
n xtyt	xt yt					ˆ
t 1	t 1	t 1
n	n		; ˆ	y x .
n xt2	( xt )2
t 1	t 1

	n	n	n
ˆ	n xtyt	xt yt
	t 1	t 1	t 1
	n	n
	n xt2	( xt )2
	t 1	t 1

15 1781,95 93,56 262 1,8787 , 15 662,22 93,56 2

			ˆ			yt	ˆ xt		262		93,56
ˆ	y x					n	n		15	1,8787	15	5,7486 .

Таким чином, вибіркову регресійну функцію слід записати у вигляді yˆ 5,7486 1,8787x .

Отриману залежність можна показати на графіку:

25

25

y = 5,7486+ 1,8787x

20

15

10

2

4

6

8

10

Рис. 1.3. Лінія регресії

При збільшенні кількості працівників на 1000 осіб дохід підприємства зростає на

1,8787 млн грн.

yˆt	yt yˆt	yˆt			yt
			y			y
10,	0,089	48,51			44,44
502	1				4
12,	0,249	25,67			30,98
399	9				8
12,	0,317	20,28			25,67
963	5				1
12,	0,056	20,28			18,20
963	5				4
13,	0,179	14,36			11,33
677	4				4
14,	0,172	7,191			5,138
785
18,	4,066	0,302			2,151
017
16,	0,515	0,615			0,004
683
17,	0,595	0,131			1,284
829
20,	0,759	7,864			3,738
271
21,	0,403	13,45			9,201
135	8
20,	1,391	7,044			14,69
121					4
23,	0,547	33,32			25,33
239	3				4
23,	0,308	32,24			38,85
145	8				4
24,	0,529	46,32			56,75
273	0				1
Су	10,175	277,6			287,7
ма	18				93

26

Таким чином, RSS 10,175 , ESS 277,618 , TSS 287,793 .

Коефіцієнт детермінації моделі становить R2 ESSTSS 277,618287,793 0,965 , що свідчить про

високу міру залежності між змінними.

2. Перевіримо модель на адекватність. Практичне значення статистики Фішера дорівнює

R2

Fpr 1 1R2 =354,71,

n 2

теоретичне Fteor F(1;13;0,05) 4,7 , таким чином, модель адекватна.

3. Перевіримо гіпотезу H0 : 0 . Спочатку обрахуємо стандартне відхилення оцінки

ˆ

коефіцієнта

ˆ

1

2

RSS

1

2

2

x

x

s.e.( )

ˆ

0,0998.

2

n 2

2

n

(xt x )

n

(xt x )

ˆ

Практичне значення статистики Стьюдента дорівнює

tpr

1,8787

18,8338 ,

ˆ

0,0998

s.e.

теоретичне значення tteor t 13; 0,95 2,16 , коефіцієнт буде значущим.

4. Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

			n	(xt				)2
ˆ x		ˆ				x
			t 1
rxy	y		n	(yt			)2
					y
			t 1

тобто гіпотезу треба відхилити, а отже,

	1,8787	78,723	0,98 .
		287,793

Для перевірки гіпотези про те, що коефіцієнт кореляції дорівнює 0, використовують статистики

t	pr			r			n 2	18,745 ,t	teor	t 13,0.95	2,16 .
						1 r 2
				xy
							xy

Оскільки практичне значення більше за теоретичне, то коефіцієнт кореляції не можна

прийняти рівним 0, тобто він буде значущим.

5.

Визначимо

надійні

інтервали

для коефіцієнтів

із рівнем надійності 0,95 за

формулою

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

]

, де tteor tn 2; 0.95 t13;0,95

2,16 :

[ s.e.( ) tteor; s.e.( ) tteor

4,316715 < < 7,180448;

1,663201 < < 2,094201.

ˆ

93,56

x

6.

Середній

коефіцієнт

еластичності E

1,8787

262

0,67. При збільшенні

y

кількості працівників на 1 % дохід підприємства зросте на 0,67 %.

Задачі

Група А

Задача 1.1. Знайдіть перетворення даних, яке зводить цю модель до лінійної. Визначте, яким чином слід залучити збурення до моделі:

27

y 1 x ;

e

y ex ex ;

y 1 1 x ;

y2 e x .

Задача 1.2. Знайдіть невідомий коефіцієнт моделі yt t ,t 1,n . Чому дорівнює коефіцієнт детермінації моделі? Знайдіть дисперсію моделі. Покажіть, що статистика

ˆ	має t	n 1	-розподіл.
s.e. ˆ
Задача 1.3. Спостереження 16					пар x, y дали такі	результати:				y2 526 ,
x2 657 ,		xy 492 ,		y 64 ,	x 96 . Оцініть регресію	y	x	t		. Знайдіть
						t			t

коефіцієнт детермінації. Підрахуйте найкращий незміщений прогноз на наступний

період, якщо xn 1					4 .
Задача 1.4. Для моделі									yt 0		1xt t ,				t				.	Відомо,			що		yt			15 ,	xt 41,
																	1,20
y2 29 ,			x2 214 , x y						31. Відомо, що						x	21		10 . Обчисліть						найкращий					лінійний
t				t			t	t
незміщений прогноз величиниyˆ 21. Оцініть стандартну похибку прогнозу.
Задача 1.5. Для спостережень
Y		5		1		1			1		1		2		1			2			3		3
				3		2		7		2		2		5				2			3		5
X		9		2		4			5		3		3		1			6			2		3
	0			5		2		0		6		5		2				0			5		2
Обчисліть величину коефіцієнта детермінації																	R2 у регресії Y							на		X	t	за відсутності
																							t
вільного		члена.			Проаналізуйте						отриману				регресію. Підрахуйте											оцінку			прогнозу

приxn 1 23.

Задача 1.6. Для спостережень

			Y		5				11		12		17		10		22					15			27				30						35
			X		70				65		35		60		46		35					42			30				25						32
	Обчисліть			величину коефіцієнта детермінації															R2			у		регресії					Y на			X		t	за	наявності
																													t							xn 1 52 .
вільного члена. Проаналізуйте отриману регресію. Оцініть прогноз																																		при
Перевірте адекватність моделі, 0,01.
	Задача 1.7. Оцініть модель простої лінійної регресії y x за даними
						Y		3					3		2				3					3					3						2
								20			25				98		07							01					02					90
						X		4					4		4				4					3					3						3
і перевірте								5			3				2		0							8					9					5
			її на адекватність, 0,05 .
	Задача 1.8. Монополіст										максимізує				прибуток				за			наявності							такої			функції попиту:
Q P . У минулому спостерігалася така залежність між цінами та рівнем продажів:
	Q		3					3			7		6		10				15					16					13						9	15

28

P

18

16

17

12

15

15

4

13

11

6

Визначте максимальний дохід монополіста. Знайдіть ціну, яку запропонує монополіст. Побудуйте 90 % надійний інтервал для випуску, що максимізує прибуток.

Задача 1.9. Для	перевірки гіпотези про те,			що	обсяг продажів				yt залежить від
витрат на рекламу	a	t	, побудовано регресію	y 0,36 0,75a				(у	дужках показано
				t	2,35	1,34	t

середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів).

1.Перевірте гіпотезу, 0,05 .

2.Визначте, як зміниться обсяг продажів, якщо витрати на рекламу зростуть на

1,7 %.

Задача 1.10. Дослідження продажів по 23 торгових точках м. Києва показало таку залежність між кількістю проданих одиниць товару y та ціною p (у дужках указано

відповідні t -статистики):

lny 21,4 0,69 ln x .

1,31 2,61

Перевірте гіпотезу про те, що еластичність попиту за ціною для досліджуваного товару становить -0,8, 0,01.

Задача 1.11. Дослідження продажів по 16 торгових точках м. Києва показало таку залежність між кількістю проданих одиниць товару y та ціною p (у дужках показано

відповідні t -статистики):

y1,4 x 0,81 .

1,2 2,3

Перевірте гіпотезу про те, що еластичність попиту за ціною для досліджуваного товару становить –0,75, 0,05

Задача 1.12.	Нехай слід	вивчити залежність вигляду y x 1				за n 21
				0
спостереженням.	Відомо,	що	ln x lny 5,21,	ln x 8,3 ,	ln2 x 11,4 ,

lny 4,7 , ln2 y 7,4 .

1.Визначте коефіцієнти регресії.

2.Визначте коефіцієнт детермінації.

3.Перевірте модель на адекватність, 0,01.

Задача 1.13. Нехай треба дослідити залежність витрат індивіда від його заробітної плати x . За 30 спостереженнями було отримано такі варіанти регресій (у дужках указано відповідні t -статистики):

yˆ 15 0,5 x ;

3,45

lnyˆ 1,4 0,2 ln x , R2 0,72;

7,11

lny 38 0,04ln x 0,09 x , R2 0,51;

1,89 1,05

y 0,3 0,5 x 0,04 x2 , R2 0,52 .

3,12 1,78

1.Визначте коефіцієнт детермінації для першого рівняння.

2.Запишіть друге та третє рівняння у структурному вигляді.

3.Визначте коефіцієнти еластичності для кожного з рівнянь.

4.Оберіть найкращий варіант рівняння регресії.

29

Задача 1.14. Усі спостереження за двома змінними x та y було розбито на дві групи, дані про які подано у таблиці:

Вибір	n							Sxx	Syy	Sxy
			x			y
ка
1	40	10			12			40	60	45
2	50	12			14			50	75	60

Знайдіть МНК-оцінки в моделі простої лінійної регресії та перевірте гіпотезу про адекватність регресії з рівнем надійності 1 0,99 .

Група Б

Задача 1.15. Відома інформація про випуск продукції підприємства y та розмір його

встаткування x :

(???)

		Квар		Випуск,	Капітал
	тал			тис грн, y	,
					тис грн, x
		1997/		57	395
	Q1
		1997/		67	409
	Q2
		1997/		76	501
	QЗ
		1997/		76	519
	Q4
		1998/		91	547
	Q1
		1998/		92	566
	Q2
		1998/		93	568
	QЗ
		1998/		101	571
	Q4
		1999/		102	574
	Q1
		1999/		103	586
	Q2
		1999/		103	606
	QЗ
		1999/		103	664
	Q4
		2000/		103	667
	Q1
		2000/		105	673
	Q2
		2000/		117	680
	QЗ
		2000/		120	684
	Q4
		2001/		120	684
	Q1
		2001/		121	687
	Q2
		2001/		122	709
	QЗ
		2001/		124	744
	Q4
		2002/		125	751
	Q1

30