черняк

				j
						j 1 1	j 2 2		q q j	,	j 1, 2, , q 1,
						1 12 22 q2
						q
								, j q,
j											(7.18)
			12 22 q2
	1
					j q.
	0,

Щоб MA -процес був також стаціонарним, необхідно, щоб дисперсія та коваріація були скінченними числами. Очевидно, це можливо за умови, якщо

	2	.
	j
j 0

7.7. Процес авторегресії AR(p)

Нехай t – " білий шум" , p – ціле невід'ємне число. Процесом авторегресії порядку p називається послідовність випадкових величин yt , що її задовольняє таке рівняння:

yt c 1yt 1 2yt 2 pyt p t

або

yt 1yt 1 2yt 2 pyt p c t .

Останнє рівняння зручно записувати за допомогою оператора лага:

(B)yt c t ,

де (B) 1 B B2

p

B p .

1

2

Процес AR(p) буде стаціонарним, коли всі корені zi рівняння

(z) 1 z z2

p

z p 0

1

2

задовольняють

умову

zi

1. Рівняння

(z) 0

називається

рівнянням. Відповідно, (z) – характеристичний поліном.

Математичне сподівання дорівнює

c

.

1

1

2

p

характеристичним

(7.19)

Ураховуючи цей факт, ми можемо записати рівняння процесу дещо по-іншому:

(B)(yt ) t .

Для знаходження коефіцієнтів автокореляції використовують систему рівнянь Юла –

Уокера						j 1, 2, .
j 1 j 1 2 j 2 p j p ,
Записуючи перші p рівнянь системи, слід урахувати, що 0							1, а k k . Наприклад,
для AR(3) -процесу перші три рівняння будуть такими:
1 1 2 1 3 2 ,
2 1 1 2 3 1 ,
3 1 2 2 1 3 .
Четверте та всі наступні рівняння будуть однотипними:
4 1 3 2 3 3 1 ,
5 1 4 2 4 3 2
тощо.
Розв'язуючи перші два рівняння, знаходимо, що
1	1 2 3					,
	1 2
2		1	3	3

187

			2		2
	2		1	2	2		1 3 .
			1				2
				2	1	3	3

Підставляючи знайдені значення до третього рівняння, знаходимо 3 і так далі.

Описаний спосіб зручний для кількісного знаходження будь-якого числа перших автокореляцій. Щоб описати загальний вигляд автокореляційних функцій процесів авто регресії, краще використати інший підхід. Система рівнянь Юла – Уокера – це лінійне однорідне різницеве рівняння для послідовності j . Для таких рівнянь відомий загальний

вигляд розв'язку, який нагадує розв'язок лінійних однорідних диференційних рівнянь.

7.8 Зв'язок між процесами авторегресії та рухомого середнього

Розглянемо процес авторегресії, записаний за допомогою полінома від оператора лага:

(B)(yt ) t .

Сформульована в підрозд. 7.7 умова стаціонарності для цього процесу збігається з умовою існування оберненого оператора5 для (B) (див. підрозд. 7.4). Застосуємо

оператор 1(B) до обох частин останньої рівності:

		y 1(B) ,
звідки		t	t
					,
	y 1(B)
	t	t	t	i t i
			i 1
де i – коефіцієнти розкладання в степеневий ряд функції						1(z). Таким чином, для
стаціонарного AR(p)-процесу існує єдине MA( ) -зображення. Коефіцієнти							i зручно
обчислювати за такою рекурентною формулою6 (i 0 ):
		i 1 i 1 2 i 2 p i p ,
де 0 1, j 0,	j 0 .

Процес рухомого середнього називається оборотним, якщо його можна виразити у вигляді (нескінченного) AR -процесу. Міркуючи так само, як і в попередньому випадку, неважко показати, що MA(q) -процес буде оборотним, коли всі корені його

характеристичного рівняння 1 1z 2z2 q zq 0 більше ніж одиниця за модулем.

Нехай | | 1. Розглянемо два MA(1)-процеси:
yt t t 1						(7.20)
і			1
y					.	(7.21)
t	t			t 1

Перший із цих процесів є оборотним, тоді як другий – ні. За формулою (7.18) єдине ненульове значення автокореляційної функції процесу (7.20) становить

														.
									1 2
Для процесу (7.21) маємо:							1
					1					2				2
1																1 .
		1				1		1 2							1 2
						2

Отже, автокореляційні функції процесів (7.20) і (7.21) збігаються. Це означає, що маючи в розпорядженні лише спостереження yt і, не знаючи значення t (що й

відбувається на практиці), ми не можемо розрізнити, який із цих процесів ми спостерігаємо. Таким чином, щоб ми могли однозначно оцінити параметри процесу, ми

5Власне, існування оберненого оператора забезпечує стаціонарність.

6Щоб записати утворений процес рухомого середнього у стандартному вигляді, коефіцієнти

i слід помножити на ( 1).

188

повинні вирішити, який із двох процесів обрати. Як було показано в підрозд. 7.3, формула (7.10), лінійні прогнози за обома моделями збігатимуться. З іншого боку, унаслідок оборотності процесу (7.20) ми можемо виразити t через yt , а отже, в умовах

скінченної вибірки ми можемо знаходити оцінки t . Це дозволяє будувати прогнози на

основі вихідної форми процесу у вигляді рухомого середнього. Для необоротного процесу оцінювати t і знаходити прогнози у вихідній формі неможливо. Таким чином, оборотний

процес буде більш зручним.

Для процесів довільного скінченного порядку MA(q) існує таке твердження. Нехай

характеристичний поліном q (z) має

корені z1,z2, ,zq

(кожний корінь слід рахувати

(z) із першим коефіцієнтом, що

стільки разів, яка його кратність). Утворимо поліном q

дорівнює одиниці, і коренями

z ,z

, ,z

j 1

,

1

,z

j 1

, ,z

q

, якщо z

j

– дійсний корінь, або

1

2

z j

z ,z

, ,z

j 1

,

1

,

1

,z

j 2

, ,z

q

, якщо z

j

та z

j 1

– пара комплексних спряжених коренів.

z j 1

1

2

z j

Тоді

MA(q) -процеси з характеристичними поліномами

q (z) та

q (z) мають однакові

автокореляційні функції. Отже, якщо жодний корінь характеристичного полінома не дорівнює одиниці за модулем, завжди існує оборотний процес із такою самою автокореляційною функцією.

Зі сказаного можна зробити висновок, що на практиці будь-який MA(q) -процес, що не має коренів, рівних до одиниці за модулем, можна вважати оборотним.

Приклад 7.1. Діагностика стаціонарності процесу авторегресії

Треба визначити, чи є AR(2)-процес

yt 1,0yt 1 0,75yt 2 t ,

де t – білий шум, стаціонарним.

Розв'язання. Запишемо цей процес yt yt 1 0,75yt 2 t за допомогою оператора

лага:

1 B 0,75B2 yt t .

Треба з'ясувати, чи має рівняння

1 z 0,75z2 0

хоча б один корінь, за абсолютною величиною менший за одиницю. Розв'язуючи квадратне рівняння, маємо:

z1 2, z2 32 .

Таким чином, оскільки z2 1, то процес не є стаціонарним.

7.9. ARMA(p,q)-процеси

Ми розглянули два спеціальні класи стаціонарних процесів: AR та MA . Окрім того, ми виявили, що AR -процеси можна записувати у формі MA -процесів і навпаки. Постає запитання, наскільки загальні ці конструкції. Виявляється, що будь-який стаціонарний процес у деякому розумінні можна вважати процесом авторегресії, або рухомого середнього. Теорема про розклад Вольда стверджує, що будь-який стаціонарний процес можна зобразити у вигляді суми лінійно детермінованого процесу 7 й процесу рухомого середнього, загалом нескінченного порядку. Це стосується і нелінійних процесів. Слід

7 Значення лінійно детермінованих процесів можна точно прогнозувати у вигляді лінійних комбінацій попередніх значень. На практиці цю складову частину стаціонарних процесів найчастіше інтерпретують як циклічний або сезонний компонент, застосовуючи відповідні методи виокремлення.

189

зазначити, що нелінійне зображення та MA( ) -зображення матимуть різні збурення.

Знання нелінійної структури процесу здатне поліпшити прогнози порівняно з прогнозами на основі MA -зображення. Однак таке знання еквівалентне наявності додаткової точної позавибіркової інформації.

Зрозуміло, що скінченні AR(p) і MA(q) -процеси можна вважати апроксимаціями

стаціонарних процесів, які генерують дані. Збільшуючи порядок відповідного процесу, можна зробити апроксимацію будь-якої точності.

Розглядання змішаних процесів авторегресійного рухомого середнього (інколи в літературі вживають альтернативний термін: "процеси авторегресії зі збуреннями у вигляді рухомого середнього") дозволяє одержувати досить точні апроксимації, використовуючи процеси, що мають невелику кількість параметрів. Послідовність yt є

процесом авторегресійного рухомого середнього з параметрами p та q ( ARMA(p,q) ),

якщо вона задовольняє таке рівняння:

yt c 1yt 1 2yt 2 pyt p t 1 t 1 2 t 2 q t q

або, використовуючи поліноми від оператора лага,

(B)yt c (B) t ,

де

(B) 1 B B2			p	B p ,
1	2
(B) 1 B B2		Bq .
1	2	q

Процес ARMA(p,q) є стаціонарним, коли всі корені характеристичного полінома (B)

авторегресійної частини моделі більше ніж одиниця за модулем. Стаціонарний ARMA(p,q) -процес можна перетворити на нескінченний MA -процес. За умови, що модулі

всіх коренів характеристичного полінома (B), який визначаєMA -частину моделі, більше ніж одиниця, стаціонарний ARMA(p,q) -процес буде оборотним, тобто його можна

перетворити на нескінченний AR -процес.

Оцінювання параметрів ARMA-моделей. Процеси авторегресії скінченного порядку найчастіше оцінюють звичайним методом найменших квадратів. Унаслідок наявності лагових значень залежної змінної такі оцінки будуть зміщеними. З іншого боку, умова спроможності для МНК-оцінок автоматично виконана для стаціонарних процесів AR(p).

Зауважимо, що коефіцієнт детермінації в умовах малих вибірок помітно зміщений донизу.

Процеси рухомого середнього та змішані процеси оцінюють методом максимальної правдоподібності, припускаючи, що збурення мають нормальний розподіл. Для ілюстрації випишемо функцію правдоподібності для процесу MA(1), використовуючи підхід,

розглянутий у підрозд. 3.6. Нехай yi i				i 1 , де				1, t незалежні й мають розподіл
N 0, 2 . У цьому разі	t	t 1	jyt j t 0	. Однак 0		не можна спостерігати й виразити
		j 0

через значення спостережень. Тому в цьому і подібних випадках використовують умовну

функцію правдоподібності, покладаючи 0	0 . Оскільки				1, то t 0	при t , а

отже, умовна функція правдоподібності практично не відрізняється від точної функції правдоподібності. Якобіан-перетворення також дорівнює 1, тому

L( , 2 )

1

1 n

2

exp

i

,

n 1

2 i 1

2

2 2 2

де

t 1

jy

. Знаходження максимуму цієї функції є задачею нелінійної оптимізації.

t

j 0

t j

Прогнозування на основі ARMA-моделей. Розглянемо процес прогнозування на основі ARMA -моделей. Позначатимемо прогнозне значення часового ряду на періодів

190

наперед, зробивши це в момент t через yˆt |t . Для знаходження прогнозного значення

використовуватимемо значення ряду до періоду t включно Наша мета – знайти незміщений прогноз, що має мінімальний середній квадрат похибки.

Почнемо із процесів рухомого середнього. Припустимо, що відомі значення збурень до моменту t включно. Запишемо значення нескінченного MA( ) -процесу в момент t :

yt t 1 t 1 2 t 2 t 1 t 1 .

Оскільки ми припускали, що математичне сподівання t є нульовим, то як прогнози

збурень на наступні періоди ми можемо використовувати нульове значення. Таким чином, прогнозом на момент t у момент t є

	yˆt |t	Mtyt t 1 t 1 .		(7.22)
Похибка цього прогнозу становить
yt yˆt |t		t 1 t 1 2 t 2 1 t 1.		(7.23)

Ураховуючи, що всі збурення мають однакову дисперсію, підрахуємо середній квадрат похибки:

MSE M(yt yˆt |t )2 2(1 12 22 2 1).

Для скінченногоMA(q) –процесу прогнозом на момент t у момент t є

ˆ
			t 1 t 1 q t q , 1,q
y
	t |t		, q.
Середній квадрат похибки становить
			2		, 1,
				2	2	2	2
	MSE				(1 1	2	1), 2,q,
				2	2	2	2
					(1 1	2	q 1), q.

Доведено, що одержані прогнози мають мінімальний середній квадрат похибки.

Для аналізу AR -процесів зручно використати зображення у вигляді нескінченного MA -

процесу. Наприклад, для AR(1)-процесу
								yt c 1yt 1 t ,
									My						с
											t		1		1
маємо:
	y (y							)												2			t 2	.
		t			1 t 1						t		t				1 t 1				1
Таким чином, прогноз на момент t										у момент t
																		є нескінченною сумою
			yˆ	|t	1											2						.
			t					1		t	1		t 1				1			t 2
Відповідно, середній квадрат похибки становить
						2	, 1
			MSE			2				2		4							2( 1)		),	1.
							(1
										1		1					1
Якщо , то MSE			2	.
	1		2
			1

Вибір ARMA-моделі здійснюють на основі мінімізації критерію Шварца:

SIC ln ˆ 2 (1 p q)ln T / T

або критерію Ханнана – Квіна

HQ ln ˆ 2 2(1 p q)ln (ln T )/ T ,

	де ˆ 2		1	T	ˆ 2		ˆ	– залишки. Попередньо слід вибрати достатньо велике значення m , а
						,
			T	t 1	t		t	всі моделі, для яких p q m . Для квартальних даних зазвичай
	потім	розглянути

достатньо покласти m 4 .

191

Зазначимо, що ці два критерії є спроможними, тобто при зростанні розміру вибірки забезпечують правильний вибір моделі, тоді як критерій Акайке призводить до збільшення порядку обраної моделі порівняно зі справжньою.

Виявлення автокореляції. У коректно обраній моделі залишки мають бути білим шумом. Для перевірки гіпотези про те, що автокореляція залишків відсутня до лага k, k p q , можна скористатись Q-критерієм Льюнга – Бокса (Ljung – Box). При цьому

обчислюють статистику

Q T (T 2)

k

ˆ 2j

,

j

j 1T

де ˆ j – автокореляція залишків порядку

j .

Статистику порівнюють із теоретичним

значенням 2

p q

-розподілу.

k

ARMA-процеси як моделі автокорельованих збурень у регресії. У розд. 5 ми

розглянули модель лінійної регресії, збурення

в якій

генеруються AR(1)-процесом. Цю

модель можна узагальнити:

y

t

xTβ

,

t

t

де

xT

– вектор значень регресорів, а

–

ARMA(p,q)

– процес із нульовим середнім. У

t

t

більшій

частині практичних ситуацій як модель для t

достатньо вибрати один із п'яти

найпростіших процесів: AR(1), AR(2),

MA(1),

MA(2)

або ARMA(1,1) . Такі регресії оцінюють

методом максимальної правдоподібності. Знаходження оцінок зводиться до задачі нелінійної оптимізації. Більша частина сучасного економетричного програмного забезпечення, наприклад EViews, передбачає можливість автоматичного оцінювання. Після знаходження оцінок слід, використовуючи критерій Бройша – Годфрі або критерій Льюнга – Бокса, упевнитись, що автокореляція зникла.

7.10. ARIMA-процеси

Процес yt називається процесом авторегресійного інтегрованого рухомого середнього

ARIMA(p,d,q), якщо його різниці порядку d					є стаціонарним і оборотним ARMA(p,q) -
процесом:			(B) dy
				t	c (B) ,			(7.24)
де						t
		(B) 1 B B2				p	B p ,
			1	2
		(B) 1 B B2 Bq ,
			1	2	q
			t –білий шум.
Ураховуючи, що		d (1 B)d ,	ми можемо записати рівняння (7.24) стосовно рівнів
процесу:								(7.25)
			(B)yt c (B) t ,
	d
	B) (B) .
де (B) (1
Таким	чином,	одиниця	є коренем		кратності d			(d = порядок різниць)

характеристичного полінома AR -частині процесу. Решта коренів цього полінома більше ніж одиниця за модулем.

Зауважимо, що на практиці майже не зустрічаються значення d , більші ніж 2. Випадок d 2 також трапляється досить рідко. Якщо c 0 , то це означає наявність тренда в рівнях процесу: лінійного при d 1 і квадратичного при d 2 .

Оцінювання. З рівняння (7.24) видно, що оцінювання параметрів процесів ARIMA не створює додаткових проблем. Достатньо обчислити відповідні різниці вихідних даних і оцінити ARMA -модель стосовно різниць.

Прогнозування. Обмежимось випадком ARIMA(p,1,q). Для знаходження прогнозу yˆt |t скористаємось тим, що

192

yt yt (yt 1 yt ) (yt 2 yt 1) (yt yt 1)
yt yt 1 yt 2 yt .	(7.26)
Отже, ми можемо виразити прогноз yˆt |t через значення yt та прогнози різниць:
yˆt |t yt yt 1|t yt 2|t yt |t .	(7.27)

Як ми знаємо з підрозд. 7.9, під час знаходження складання прогнозів (не можна знаходити прогнози, їх складають) найзручніше використовувати MA -зображення процесу. Тому вважатимемо, що ARMA -процес стосовно різниць спочатку перетворено до вигляду MA( ) :

	yt
			c t 1 t 1			2 t 2 .
За формулою (7.22) маємо
yt s|t							, 1 s .		(7.28)
		c s t			s 1 t 1
Підставивши (7.28) до (7.27), одержуємо
yˆt |t yt c ( 1					1) t
( 1			2 ) t 1 ( 2				1	3 ) t 2

Ураховуючи (7.26) і (7.27), ми можемо записати похибку прогнозу в такому вигляді:
yt yˆt |t yt 1 yt 1|t yt 2	yt 2|t yt yt |t		(7.29)
За формулою (7.23) маємо
			(7.30)
yt yt s|t t s 1 t 1 s 2 t 2 s		s 1 t 1 , 1 s

Підставимо (7.30) до (7.29) і, перегрупувавши доданки, одержимо

yt yˆt |t t (1 1) t 1

+(1 1 2 ) t 2 (1 1 2 1) t 1.

Середній квадрат похибки становить

MSE M(yt yˆt |t )2 2(1 (1 1)2

	2				2	(7.31)
+(1 1	2 )	(1 1	2	1) .

Із формули (7.31) бачимо, що, на відміну від стаціонарних процесів, середній квадрат похибки прямує до нескінченності приблизно як лінійна функція від горизонту прогнозу .

Сезонні ARIMA-процеси. Ця модель дозволяє враховувати сезонні коливання.

Мультиплікативну сезонну модель						ARIMA	(позначення			– SARIMA ) із параметрами
(p,d,q) (P,D,Q)s можна побудувати за допомогою такого рівняння:
	p	(B)		P	(Bs ) d Dy c (B)N				Q	(Bs ) ,
						s t	q			t
де s – період сезонності ( s 4			для квартальних та					s 12		для щомісячних даних); s –

оператор сезонної різниці ( syt yt yt s , отже sD (1 Bs )D );

P (Bs ) 1 1Bs 2B2s P BPs ,Q (Bs ) 1 1Bs 2B2s QBQs

– поліноми p (B) та q (B) , такі, як у рівнянні (7.24). Корені поліномів P та Q мають

бути більше ніж одиниця за модулем. Натомість модулі всіх коренів полінома sz 1 zs

дорівнюють одиниці. Ці корені називаються сезонними одиничними коренями. Зауважимо, що на практиці зазвичай D не перевищує d , а значення P та Q рідко

перевищують 1. Наприклад, для стаціонарного квартального ряду модель найчастіше буде такою:

p (B)(1 1B4 )yt c q (B)(1 1B4 ) t .

Зрозуміло, що ця модель є моделлю ARMA(p 4,q 4) з певними (нелінійними) обмеженнями на параметри.

193

7.11. Тренд-стаціонарні й інтегровані процеси

Процес yt називається тренд-стаціонарним,	якщо його можна зобразити як суму
детермінованого тренда (trt ) та стаціонарного процесу (xt ):
yt trt xt .	(7.32)

Як було зазначено в підрозд. 7.10, на практиці стаціонарні процеси можна вважати

процесами ARMA(p,q) , тому тренд-стаціонарний процес								можна розглядати	як суму
тренда та стаціонарного й оборотного процесів						ARMA(p,q)		з нульовим середнім. Нехай
xt , що фігурує в правій частині формули (7.32), задовольняє таке рівняння:
					(B)xt (B ) t ,				(7.33)
де (B) 1 B B2			p	B p ; (B) 1 B B2			Bq ; – білий шум.
1	2				1	2	q	t
Виразимо xt	через yt	з рівняння (7.32) і підставимо до (7.33):
звідки					(B)(yt trt ) (B) t ,
					(B)yt (B )trt (B) t .				(7.34)
Зауважимо,	що перетворення				(B)trt не змінює типу степеневого тренда.				Наведемо

явний вигляд цього перетворення для двох найбільш поширених трендів: лінійного та квадратичного. Маємо

(1 B B		2	p	B p )( t) (1		p	)
1	2				1 2
( 1 2 2		p p ) (1 1 2						(7.35)
					p ) t t

та

(1 1B 2B2 pB p )( t t2 )

(1 1 2 p ) ( 1 2 2 p p ) ( 1 4 2 p2 p )

(1 1 2 p ) 2( 1 2 2 p p ) t

(1 1 2 p ) t	2				2	.	(7.36)
		t t

Прогнозувати тренд-стаціонарні процеси можна двома способами. По-перше, можна спочатку виокремити тренд і розглянути залишки як ARMA -процес, а потім прогноз за трендом скласти з прогнозом залишків. По-друге, виходячи з рівняння (7.34), можна безпосередньо оцінити параметри процесу методом максимальної правдоподібності, а потім знайти прогноз. Асимтотично обидва підходи еквівалентні, однак, в умовах скінченних вибірок числові значення прогнозів будуть дещо відрізнятись.

Стаціонарні та тренд-стаціонарні процеси мають таку важливу спільну рису: наслідки будь-якого шоку t у кінцевому підсумку зникають (це видно з MA -зображення процесу).

Як наслідок, обидва типи процесів характеризуються тенденцією до повернення (повернення до середнього значення у випадку стаціонарних і повернення до лінії тренда

– у випадку тренд-стаціонарних процесів). Тому стаціонарні та тренд-стаціонарні процеси об'єднуються в один клас процесів, який одержав назву "процеси з нульовим порядком інтегрованості"; його позначають I(0).

Процес yt	називається інтегрованим, якщо його різниці	порядку d , d 1 є
стаціонарним	або тренд-стаціонарним процесом. Параметр d	називається порядком

інтегрованості. Формально записують таким чином: yt I(d) , якщо dyt I(0).

Очевидно, що ARIMA(p,d,q) I(d). Загалом на практиці інтегровані процеси

конструюють за допомогою трендів і процесів ARIMA .

Як ми визначили в підрозд. 7.10, головною рисою ARIMA -процесів є те, що одиниця являє собою корінь характеристичного полінома AR -частини моделі. Тому інша назва інтегрованих процесів – процеси з одиничними коренями.

На відміну від I(0)-процесів, інтегровані процеси не мають тенденції до повернення.

Проілюструємо цю властивість на прикладі двох найпростіших інтегрованих процесів: (простого) випадкового блукання

194

yt yt 1 t	(7.37)
і випадкового блукання із дрейфом
yt yt 1 t , 0	(7.38)

(в обох випадках t – білий шум). Зазначимо, що обидва різновиди випадкового блукання

єARIMA(0,1,0) -процесами

Зодного боку, випадкове блукання не має явного тренда, його умовні математичні сподівання постійні:

Myt s |yt yt , s 1,

оскільки

			yt s yt t 1 t 2	t s ,		(7.39)
а	M t j 0	. З	іншого боку, випадкове блукання	не має	безумовного	математичного
	сподівання,	а	всі рівні y , R рівноправні	в тому	розумінні, що математичне

сподівання часу повернення до будь-якого рівня y					буде нескінченним. Умовні
дисперсії випадкового блукання прямують до нескінченності з лінійною швидкістю:
			Dyt s |yt 2s, s 1,
де	2 D	.
	t	з (7.37), запишемо
	Виходячи
		yt y0 1 t t .			(7.40)

З рівняння (7.40) бачимо, що будь-який шок t	ніколи не зникає: він назавжди бере
участь у формуванні майбутніх значень процесу.
Перепишемо рівняння детермінованого лінійного тренда yt t у такому вигляді:
yt yt 1 .	(7.41)

Рівняння (7.37) та (7.41) мають подібну структуру. "Шоки" також ніколи не зникають. Відмінність полягає в тому, що прирости тренда ( ) є детермінованими, а прирости випадкового блукання ( t ) – випадковими. Тому випадкове блукання часто називають

стохастичним трендом.

Умовні математичні сподівання випадкового блукання із дрейфом (7.38) утворюють лінійний тренд

Myt s |yt yt s, s 1.

Випадкове блукання із дрейфом можна записати у вигляді суми лінійного тренда та простого випадкового блукання

yt y0 t zt ,

де zt zt 1 t . Однак тенденції до повернення до тренда немає: математичне сподівання часу між послідовними перетинами прямих t нескінченне для будь-якого .

Загалом будь-який I(1) процес можна записати як суму детермінованого тренда,

випадкового блукання (стохастичного тренда) і стаціонарного процесу. Таке зображення називається розкладом Беверіджа – Нельсона (Beveridge – Nelson).

7.12. Критерії одиничних коренів

Якою не була б мета нашого дослідження, прогнозування чи аналіз залежностей, вибір моделі буде визначено типом часового ряду (у випадку, коли всі ряди стаціонарні, ми можемо використати звичайну регресію або моделі з розподіленими лагами (див. розд. 8). Особливості регресії в умовах тренд-стаціонарних рядів розглянуто в підрозд. 7.13. Моделям для I(1)-змінних присвячено розд. 10). Тому завжди починають із визначення

того, чи є ряд стаціонарним, тренд-стаціонарним або інтегрованим. З цією метою використовують критерії одиничних коренів. Важливо зазначити, що коли ряд у рівнях змінної характеризується еспоненційним трендом, то перш ніж здійснювати будь-який аналіз цього ряду, слід перейти до логарифмів вихідних даних.

195

У цьому підрозділі ми розглянемо два найбільш популярні критерії одиничних коренів: узагальнений критерій Дікі – Фуллера та критерій Філіпса – Перрона.

Критерій Дікі – Фуллера. Розглянемо одночасно стаціонарний	процес AR(1) з
нульовим середнім
yt yt 1 t ,	(7.42)
і випадкове блукання
yt yt 1 t ,	(7.43)

яке можна формально вважати частковим випадком моделі (7.42) при 1. Віднімемо

від обох частин (7.42) yt 1 :	yt yt 1 t ,		(7.44)
де 1. Рівняння (7.44)	інколи називають регресією Дікі – Фуллера.		Якщо yt				є
випадковим блуканням, то 1 1 0 . У випадку стаціонарної авторегресії						1 , тому
0 . Отже, слід перевірити гіпотезу H0		: 0 (нестаціонарне випадкове блукання) проти
односторонньої альтернативи	H1 : 0	(стаціонарна авторегресія першого		порядку			з

нульовим середнім).

Статистику критерію зазвичай називають -статистикою. Кількісно вона збігається зі стандартною t-статистикою для перевірки гіпотези про рівність до нуля:

		ˆ		,
		s.e.(ˆ )
де ˆ	– оцінка найменших квадратів параметра , а				s.e.(ˆ ) – відповідна стандартна

похибка. Однак унаслідок того, що за нульової гіпотези регресор yt 1 є нестаціонарним,

розподіл -статистики нестандартний. Скінченновимірні розподіли не є розподілами Стьюдента. Замість розподілу N(0,1) у класичній ситуації, граничний розподіл - статистики є функціоналом від стандартного вінерівського процесу.

Функцію розподілу -статистики не можна обчислити в аналітичному вигляді, тому критичні значення знаходять методом Монте-Карло. Правило, за яким ухвалюють рішення, каже:

якщо , то ми відхиляємо нульову гіпотезу;

якщо , то приймаємо нульову гіпотезу.

Розподіл -статистики буде несиметричним: його критичні значення порівняно з аналогічними від'ємними критичними значеннями розподілу Стьюдента зміщені ліворуч, у бік від'ємних значень.

Зазначимо, що модель (7.44) непридатна для більшої частини наборів реальних даних, оскільки економічні показники зазвичай додатні. У випадку, коли альтернативою випадковому блуканню є процес AR(1) з довільним середнім yt yt 1 t , регресія

Дікі – Фуллера набуде такого вигляду:
yt	yt 1 t .	(7.45)

Регресію (7.45) використовують для діагностики часових рядів без явного

тренда. У цьому разі H0 : 0 (нестаціонарне випадкове блукання),			H1 : 0
(стаціонарна авторегресія першого порядку з довільним середнім).
Статистика критерію становить	ˆ
		.
c	s.e.(ˆ )

Правило ухвалення рішення буде таким самим, як і в попередньому випадку.

За рівності решти умов критичні значення c -статистики в регресії (7.45) зміщені

ліворуч проти -статистики з моделі (7.44).

У ситуації, коли треба проаналізувати ряд з явним трендом, регресія Дікі – Фуллера набуває такого вигляду:

yt

t yt 1 t .

(7.46)

196