5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса

№ -f₀)/f₀

Особый случай синхронизации наблюдается при достаточно сильном периодическом воздействии на хаотическую систему. Такая сила мо­жет подавить хаос и привести к периодическим движениям с перио­дом силы. Такой режим можно характеризовать как синхронизацию через подавление хаоса.

Мы проиллюстрируем этот эффект опытами Безручко и соавторов [1979,1980,1981], в которых экспериментально исследовалось вли­яние периодической внешней силы на электронный высокочастот­ный генератор - лампу обратной волны. При некоторых значениях параметров такой генератор в автономном режиме демонстрирует хаос. Области, в которых сила приводит к периодизации колебаний, показаны на рис. 5.15. Этот график напоминает картину областей синхронизации (языков Арнольда), подробно обсуждавшуюся в раз­деле 3.2. Отметим, что в отличие от вынуждаемых периодических автоколебаний, здесь области синхронизации не подходят к оси ча­стот, т.е. синхронизация возможна только в том случае, если ампли­туда силы превышает некоторый порог. Напомним, что подобная ситуация характерна для синхронизации шумовых колебаний (см. рис. 3.39).

Глава 6

Экспериментальное исследование синхронизации

В этой главе мы обсуждаем методы экспериментального исследова­ния синхронизации и даем практические рекомендации по обработке данных. Ранее, представляя различные стороны этого явления, мы иллюстрировали теорию результатами ряда экспериментов и наблю­дений. В этих примерах наличие (или отсутствие) синхронизации было вполне очевидным, но так бывает далеко не всегда. Вооб­ще говоря, выявление синхронизации нерегулярных осцилляторов -непростая задача. Бывает, что визуальный анализ колебаний, как у Гюйгенса в его опытах с часами, не помогает, и требуются специаль­ные методы анализа данных. Действительно, даже оценка частоты и фазы сложного сигнала, особенно нестационарного, является слож­ной проблемой, и мы начнем с ее обсуждения. Далее мы продолжим в двух направлениях: во-первых, мы обсудим, как определить экс­периментально свойства синхронизации данной системы (систем); во-вторых, мы используем идею синхронизации для анализа вза­имной зависимости двух и более скалярных сигналов. Некоторые технические аспекты анализа данных выделены в приложение П2.

6.1 Оценка фазы и частоты по сигналу

Возникновение синхронизации - это появление взаимосвязи между фазами и частотами взаимодействующих систем. Для периодических

осцилляторов эта связь описывается достаточно простыми условия­ми захвата фаз и частот (см. (3.3) и (3.2)); для систем с шумом и хаотических систем определение синхронизации нетривиально. В любом случае, для определения возникновения синхронизации в экс­перименте нам необходимо оценить фазы и частоты по измеряемым данным. Чтобы не рассуждать слишком абстрактно, рассмотрим в качестве примеров электрокардиограмму (ЭКГ) человека и запись дыхания (поток воздуха через нос испытуемого), см. рис. 6.1.

6.1.1 Фаза импульсной последовательности. Пример: электрокардиограмма

Существенным свойством ЭКГ является наличие в каждом (нор­мальном) кардиоцикле хорошо выраженных узких пиков, которые могут быть с высокой точностью локализованы во времени; их тра­диционно обозначают как R-зубцы (рис. 6.1а). Последовательность R-зубцов может рассматриваться как последовательность точечных событий, происходящих во времена tj~, k = 1,2,... . Фаза такого

процесса может быть легко вычислена. Действительно, интервал вре­мени между двумя R-зубцами соответствует одному кардиоциклу,¹ следовательно, фаза возрастает во время этого интервала ровно на 2тт. Таким образом, мы можем приписать временам tk значения фазы ф{%) = 2ттк, а для произвольного момента времени і% < t < tk+i определить фазу путем линейной интерполяции между этими значе­ниями:

0(f) = 2жк + 2тг * ~ *^fc . (6.1) tk+l — tk

Этот метод может быть эффективно применен к процессу, который содержит ярко выраженные события, и поэтому может быть све­ден к последовательности импульсов. Определение фазы с помощью событий-маркеров может быть рассмотрено как аналог метода ото­бражения Пуанкаре (см. раздел 5.2), хотя мы и не предполагаем, что исследуемая система не подвержена влиянию шумов, т.е. не считаем ее динамической.

6.1.2 Фаза узкополосного сигнала. Пример: дыхание

Рассмотрим теперь значительно менее сложный сигнал - запись дыхания (рис. 6.lb); она напоминает синусоидальный процесс с ме­дленно меняющейся амплитудой и фазой. Фаза такого узкополосного сигнала может быть получена методом аналитического сигнала, предложенного Табором [Gabor 1946]. Реализация этого метода пред­полагает конструирование по скалярному сигналу s(t) комплексного процесса

((t) = _s(t) + isa(t) = -4(f)e^^(t), (6.2)

где «н(і) есть преобразование Гильберта от s(t). Мгновенные фаза ф{і) и амплитуда A(t) сигнала однозначно определяются из (6.2). Отметим, что хотя формально это может быть сделано для произвольного s(t), тем не менее A(t) и ф{і) имеют четкий физи­ческий смысл только в том случае, если s(t) - узкополосный сигнал (см. обсуждение свойств и практической реализации преобразования Гильберта в приложении П2).

¹ С точки зрения физиолога кардиоциклы начинаются с Р-зубца, который отражает начало возбуждения предсердий. Это не противоречит нашему подходу: мы понимаем цикл как интервал между двумя почти идентич­ными состояниями системы.

6.1.3 Несколько практических замечаний

Важный практический вопрос: какой метод оценки фазы должен быть выбран для анализа конкретной экспериментальной записи? Теоретически, оба метода - преобразование Гильберта и отображе­ние Пуанкаре - могут быть использованы равным образом,² но в эксперименте, когда приходится вычислять фазы по короткой, за-шумленной и нестационарной реализации, численные проблемы ста­новятся решающими. Наш опыт показывает, что, если сигнал содер­жит четкие события-маркеры, как, например, ЭКГ, то метод ото­бражения Пуанкаре является наилучшим выбором. Он может быть также применен к «колебательному» сигналу, например, к записи дыхания - в этом случае следует определить «события» (например, пересечения нуля) и вычислить фазу в соответствии с (6.1). Тем не менее, мы не рекомендуем этот способ: его недостатком является то, что на определение событий по медленно меняющемуся сигналу сильно влияют шум и тренд. Кроме того, мы получаем только одну точку на характерный период, и, если запись короткая, то стати­стика является недостаточной. В этом случае метод, основанный на преобразовании Гильберта, значительно более эффективен, потому что он дает оценку фазы в каждой точке временного ряда. Следо­вательно, мы получаем много точек на период и можем сгладить влияние шума и получить достаточную статистическую информацию для определения фазовых соотношений. В заключение отметим, что метод, основанный на преобразовании Гильберта, чувствителен к низкочастотному тренду (см. приложение П2). Мы также рекомен­дуем использовать фильтрацию, если исследуемый сигнал смешан с сигналами других частотных диапазонов.

Другой важный момент состоит в том, что, хотя мы и можем однозначно вычислить фазу сигнала, нам не удается избежать неод­нозначности в оценке фазы осциллятора.³ Эта оценка зависит от используемой наблюдаемой; тем не менее, «хорошие» наблюдаемые дают эквивалентные фазы (в том смысле, что средние частоты, определенные по этим наблюдаемым, совпадают). В эксперименте мы обычно не свободны в выборе наблюдаемой. Поэтому необходимо

² Хотя фазы, полученные этими методами и различаются микроскопиче­ски, т.е. на масштабах времен меньших одного (квази)периода, средние частоты, вычисленные по этим фазам, совпадают, а именно эти частоты и важны для описания синхронизации.

³ Хотя можно вычислить несколько фаз по разным наблюдаемым одного и того же осциллятора, существует только одна фаза системы, соответ­ствующая нулевому ляпуновскому показателю.

всегда соблюдать осторожность в формальном применении изложен­ных методов и интерпретации результатов.

Частота сигнала может быть определена двумя способами. Если сигнал может быть сведен к последовательности событий и фаза вычисляется по (6.1), то частота определяется путем подсчета чиста циклов на единицу времени. Если используется метод аналитиче­ского сигнала, то частота определяется путем вычисления наклона графика зависимости фазы от времени. Технические детали см. в приложении П2.