- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
et al. 1991b; Wiesenfeld 1992]. В частности, широкий интерес вызвали расплывшиеся режимы в такой системе [Tsang et al. 1991а; Nichols and Wiesenfeld 1992; Swift et al. 1992; Strogatz and Mirollo 1993].
Ансамбли слабонелинейных осцилляторов изучались в [Yamaguchi and Shimizu 1984; Bonilla et al. 1987; Mirollo and Strogatz 1990a; Matthews and Strogatz 1990; Matthews et al. 1991]. Некоторые эффекты в такой системе, например коллективный хаос [Hakim and Rappel 1992; Nakagawa and Kuramoto 1993, 1994, 1995; Banaji and Glendinning 1994] и вымирание колебаний [Ermentrout 1990] не наблюдаются для фазовых осцилляторов. Близки к этим работам исследования связанных мод в лазерах [Winful and Rahman 1990].
Релаксационные осцилляторы демонстрируют множество разнообразных эффектов [Kuramoto et al. 1992; Abbott and van Vreeswijk 1993; Tsodyks et al. 1993; Wang et al. 1993; Chen 1994; Bottani 1995. 1996; Ernst et al. 1995, 1998; Gerstner 1995; Rappel and Karma 1996; van Vreeswijk 1996; Kirk and Stone 1997; Bressloff and Coombes 1999; Wang et al. 2000b]. В заключение отметим, что в [Rogers and Wille 1996] изучались решетки осцилляторов с дальнодействующей связью; в этом случае можно плавно изменять связь от локальной до глобальной.
Часть III
Синхронизация хаотических систем
Глава 13
Полная синхронизация I: Основные свойства
В этой главе мы рассмотрим основные свойства полной синхронизации хаотических систем. Наш подход будет следующим: рассматривая как можно более простую систему мы постараемся описать ее максимально подробно. Простейшей хаотической системой является одномерное отображение, его динамикой мы и займемся. Начнем мы с построения модели связанных отображений и с феноменологического описания полной синхронизации в этой системе. Наиболее интересным и нетривиальным эффектом является переход к полной синхронизации. Мы опишем два подхода к описанию этого перехода в хаосе. С одной стороны, используя стохастичность хаоса, мы дадим статистическое описание этого перехода. С другой стороны, учитывая детерминированность динамики, мы опишем переход в геометрических терминах как бифуркацию. Надеемся, что в результате читатель сможет убедиться в дополнительности этих двух подходов, дающих в совокупности полную картину явления. В следующей главе, рассматривая обобщения простейшей модели, мы сможем убедиться, что основные свойства полной синхронизации остаются справедливыми для широкого класса хаотических систем.
Для понимания содержания этой главы требуется знакомство с основными понятиями теории хаоса, в частности с ляпуновскими показателями. При аналитическом статистическом описании мы используем термодинамический формализм, а при изложении геометрического подхода - теорию бифуркаций. Эти сведения можно най-
13.1 Простейшая модель: два связанных отображения
В этом вводном разделе мы продемонстрируем явление полной синхронизации на примере простой модели связанных отображений. Одномерное отображение
я(*+!) = /(*(*))
задает динамическую систему с дискретным временем і = 0,1,2,...и непрерывным пространством состояний х. Широко известными примерами одномерных отображений с хаотическим поведением являются логистическое отображение f(x) = 4х(1 — х) и отображение типа тент f(x) = 1 — 2\х\.
Рассмотрим два подобных отображения, заданных переменными х и у. Поскольку динамика каждой переменной хаотична, в случае независимых (невзаимодействующих) систем будут наблюдаться два независимых стохастических процесса, без каких-либо взаимных корреляций. Теперь введем взаимодействие. Сделать это можно многими способами: любой член в правой части уравнений, содержащий как х, так и у, даст какое-то взаимодействие. Потребуем, однако, чтобы взаимодействие удовлетворяло следующим важным физическим условиям:
взаимодействие должно быть притягивающим, т.е. оно должно сближать состояния х и у,
взаимодействие должно исчезать в синхронном симметричном режиме х = у.
Первое условие можно назвать также условием диссипативности, оно соответствует, например, связи электронных схем через сопротивления.1 В общем виде линейный оператор, задающий связь с указанными свойствами, записывается как
1 См. также обсуждение диссипативной и реактивной связи в разделе 8.2.
L
1 — п а
13 1-Р
13.2)
L
13.3
1 - £ £
1 - £
Линейное взаимодействие (13.3) должно быть применено к нелинейному отображению (13.1). Правильным способом применения является чередование линейного и нелинейного отображений, т.е. произведение2 соответствующих операторов:
x(t + 1) y(t + 1)
1-е £ 1 Г /(*(*)) ' £ 1-е J [ /Ы*)) .
(l-£)/(x(i))+£/(y(i)) £/(x(i)) + (l-£)/(y(i))
13.4)
Отметим, что получившаяся система (13.4) полностью симметрична по отношению к перестановке переменных х <->• у, так как мы рассматриваем симметрично связанные идентичные системы.
Рассмотрим, какие качественно различные режимы могут наблюдаться в нашей базовой модели (13.4) при изменении положительного параметра связи е. Легко понять, что происходит в предельных ситуациях. Если £ = 0, то переменные х и у полностью независимы и некоррелированы. Если е = 1/2, то уже после одной итерации переменные х ту принимают одно и то же значение и остаются идентичными при всех t (поэтому е = 1/2 соответствует максимально сильной связи). Поскольку связь в этом режиме становитя равной нулю, динамика переменных х и у такая же, как для автономной системы, т.е. хаотическая. Этот режим, при котором каждая из систем меняется во времени хаотически, а состояния систем в любой момент времени одинаковы, называется полной синхронизацией (по-английски «complete, full, identical*).
2 В отличие от систем с непрерывным временем, в случае отображений нужно не прибавлять члены, описывающие различные эффекты, а перемножать их. Чтобы пояснить этот важный для понимания физического смысла дискретных моделей момент, рассмотрим два способа введения дополнительной диссипации в отображение (13.1). Диссипатив-ный член должен уменьшать переменную х. Аддитивное слагаемое типа x(t +1) = f(x(t)) — 'yx(t) не всегда уменьшает х - это зависит от знаков и значений f(x) и 7. В противоположность этому, умножение на множитель І7І < 1, приводящее к x(t + 1)= 7/(a'(t)), всегда уменьшает абсолютное
значение х.
Связанные отображения типа косой тент
Ниже мы проиллюстрируем эффект полной синхронизации на примере отображения типа косой тент
х/а при 0 < X < а.
(1 — х)/{1 — а) при а < х < 1.
f(U)
1
a 1
U
Рис. 13.1. Отображение типа косой тент: простая точно решаемая одномерная модель хаоса.