Глава 8

Взаимная синхронизация двух

взаимодействующих

периодических

осцилляторов

В этой главе мы рассматриваем эффект синхронизации двух автоко­лебательных систем за счет их взаимодействия. Этот случай являет­ся промежуточным по сравнению с рассмотренным в главе 7, когда один осциллятор подвержен внешнему периодическому воздействию, и случаем многих взаимодействующих осцилляторов, который бу­дет рассматриваться ниже в главах 11 и 12. Действительно, случай периодической внешней силы может рассматриваться как частный случай взаимодействия двух осцилляторов при однонаправленной связи. Два осциллятора образуют элементарный блок, который ис­пользуется при описании случая многих (более, чем двух) взаимосвя­занных систем. Проблема может быть сформулирована следующим образом: есть две нелинейные системы, демонстрирующие перио­дические автоколебания, в общем случае с различными амплиту­дами и частотами. Эти системы взаимодействуют, и интенсивность взаимодействия есть основной параметр. Нас интересует динамика связанной системы, главным образом захват фаз и частот.

В разделе 8.1 мы развиваем метод фазовой динамики, который справедлив в случае малой связи - в этом случае задача сводится к связанным уравнениям, в которые входят только фазы. Другое при­ближение используется в разделе 8.2, где обсуждается динамика спа-бонелинейных осцилляторов. Наконец, в разделе 8.3 мы описываем

синхронизацию релаксационных систем «накопление - сброс». Свя­занные ротаторы не рассматриваются отдельно: их свойства очень близки к свойствам осцилляторов.

8.1 Фазовая динамика

Еспи связь между двумя автоколебательными системами мала, то, следуя работам Малкина [1956] и Курамото [Kuramoto 1984], можно вывести замкнутые уравнения для фаз. Этот подход по сути совпа­дает с использованным в разделе 7.1; здесь мы используем многие изложенные там идеи. Наша основная модель - это система двух связанных осцилляторов

dt

rfx<²> dt

(8.1)

f(²)(x(²))+_£pW(x⁽²⁾,x«).

Отметим, что мы не предполагаем какой-либо схожести осциллято­ров: они могут быть различной природы и иметь различную размер­ность. Связь может быть асимметричной. Мы предполагаем только, что автономная динамика (определяемая функциями fW>(²)) может быть отделена от взаимодействия (описываемого в общем случае раз­личными членами р^¹)^²)), пропорционального параметру связи е. Это предположение мотивировано физической формулировкой про­блемы: есть два независимых осциллятора, которые могут функцио­нировать раздельно, но могут и взаимодействовать. Таким образом, мы исключаем ситуацию, когда две колебательные моды наблюда­ются в сложной системе, которая не может быть разделена на две составляющие.¹ Другой случай, не учитываемый системой (8.1), -это случай более сложной связи, требующей для своего описания дополнительных динамических переменных.²

При стремлении параметра связи е к нулю в каждой системе име­ется устойчивый предельный цикл, автономные частоты колебаний

¹ Тем не менее, в некоторых системах высокой размерности (например, в лазерах) возможна генерация двух независимых автоколебательных мод, которые можно рассматривать в рамках модели (8.1)

² В электронике это различие соответствует разнице между резистивной связью (нет дополнительных уравнений) и реактивной — емкостной или индуктивной — связью (необходимы дополнительные уравнения). Один такой пример будет рассмотрен в разделе 12.3.

систем равны од и о>2- Тогда, как описано в разделе 7.1, мы можем определить две фазы на циклах и в окрестностях³ (ср. с уравнени­ем (7.3)),

с1ф\

^т (8.2)

#2

В общем случае, частоты 0/1,0/2 находятся в иррациональном соот­ношении, и, следовательно, движение в системе несвязанных осцил­ляторов квазипериодическое.

В первом приближении мы можем написать уравнения для фаз связанных систем аналогично уравнению (7.14):

^ах к ^дЧ

Предполагая, что при малой связи возмущения амплитуд малы, под­ставим в правую часть значения переменных х^ух^ на циклах, где каждая из этих переменных есть некая функция от соответствующей фазы. Таким образом, мы получаем замкнутую систему уравнений для фаз

= 0/1 + е(2і(ф]_,ф2).. ^dt (8.4)

—^- = о/₂ + eQ₂{$2, Фі);

с 27г-периодическими (по обоим аргументам) функциями Qi,2-

Возможность записать замкнутые уравнения для фазовых пере­менных означает, что в многомерном фазовом пространстве пере­менных (х^.х^) существует двумерная инвариантная поверхность, параметризованная фазами ф\,фі- Более того, эта поверхность - тор, так как сдвиг любой из фаз на 27г дает ту же самую точку в фазовом пространстве. Этот двумерный тор есть полный аналог инвариант­ного тора неавтономной системы, описанного в разделе 7.3. Есть две возможности характеризовать динамику на инвариантном торе.

³ По сравнению с разделом 7.1 мы опускаем нижний индекс «О» при обозна­чении автономных частот; вместо этого мы используем нижний индекс, соответствующий номеру осциллятора.

Первая состоит в использовании малости параметра е и усреднении уравнения (8.4). Второй подход основан на конструировании отобра­жения окружности.

8.1.1 Усредненные фазовые уравнения

27г-периодические функции Qi_i2 в уравнениях (8.4) могут быть пред­ставлены в виде двойного ряда Фурье

Яі(ФъФ₂) = £а^е^¹⁺^², Я₂(ф₂,фі) = £_а'Л''**¹⁺"*² k,l k,l

В нулевом приближении фазы вращаются равномерно с невозмущен­ными (автономными) частотами

Фі = Wit, ф₂ = W₂t;

и в функциях <3i,2 все слагаемые соответствуют быстрым вращени­ям, кроме членов, удовлетворяющих резонансному условию

kwi + 1ш₂ и 0.

Предположим, что автономные частоты u>i_i2 находятся почти в резонансе:

и>і т ш₂ п '

Тогда все члены ряда Фурье с индексами к = nj, I = —mj являются резонансными и вносят вклад в усредненные уравнения. В результа­те мы получаем

— = ші + eqi(n4i - тф₂),

^М (8.5)

—— = ш₂ + ед₂(тф₂ - пфі). at

где

ді(7гфі - тф₂) = Y_{JJ a}"i-^mJ_еіЛпФі-т<һ)_ш_

с₁₂(тф₂ - пфі) = Ej ap'-^e'X"¹**-^).

Для разности фаз 'ф = пф\ — тф₂ двух осцилляторов мы получаем из (8.5)

^ = -„ + гд(-ф), (8.6)

где

v = ти)2 — вид.

а(Ф) = Щі{Ф) - тд₂(-ф).

(8.7)

Отметим, что уравнение (8.6) имеет точно такой же вид, как урав­нение (7.24) раздела 7.1.6, и нам не надо повторять его анализ. В случае синхронизации уравнение (8.6) имеет устойчивое состояние равновесия фо и наблюдаемые частоты колебаний равны

Легко видеть, что отношение частот остается постоянным внутри области синхронизации:

Ql m fi₂ п

Рассмотрим более подробно простейший ступай резонанса 1:1, т.е. случай, когда автономные частоты осцилляторов почти совпадают: ид и и>2- Тогда в вышеприведенных формулах т = п = 1. Далее, предположим, что связь симметрична, т.е. ді(ф) = Я2(Ф)] тогда, в соответствии с (8.7), получим антисимметричную функцию связи в (8.6), д(ф) = —д(-'ф). Простейшая и наиболее естественная антисим­метричная 27г-периодическая функция есть синус, и соответствую­щая модель взаимодействия двух осцилляторов выглядит как

йф ~аЧ

v + еыпф.

В зависимости от знака е возможны два случая - притягивающее или отталкивающее взаимодействие.⁴ Если е < 0, то устойчивое состояние разности фаз 'ф лежит в интервале ^тт/2 < ф < тт/2, и, в частности, при нулевой расстройке v устойчивое значение разности фаз равно нулю. Можно сказать, что фазы «притягиваются» друг к другу. Если е > 0, то устойчивое значение разности фаз лежит в интервале тт/2 < ф < Зтт/2, и для совпадающих автономных частот равно 7г; это случай «отталкивания». Эти два типа синхрон­ного движения называют синфазным («іп-phase») и противофазным («anti-phase» или «out-of-phase») режимам.⁵ Примечательно, что ко­личественные характеристики синхронизации (в частности, шири­на области синхронизации) одинаковы для обоих случаев. Стоит

⁴ Или же, что эквивалентно, можно сказать, что t положительно, но функ­ция связи меняет знак, sin?/) —¥ — sin?/).

⁵ Напомним читателю, что Гюйгенс в своем первом наблюдении явления синхронизации обнаружил именно противофазный режим синхронизации маятниковых часов.

отметить, что, если форма изохрон в окрестности предельного ци­кла нетривиальна, то притяжение или отталкивание фаз может не соответствовать притяжению или отталкиванию между исходными

(1 2)

переменными х_к ' (см. примеры в [Han et al. 1995, 1997; Postnov et al. 1999a]).

В усредненном описании синхронизация возникает как идеальный захват фаз: существование устойчивой особой точки i/jq в уравне­нии (8.8) означает не только то, что осцилляторы имеют одинаковые частоты, но и постоянство фазового сдвига, ф\ = фі + i/jq. Последнее свойство не выполняется, если мы рассматриваем полную систему (8.4): за счет нерезонансных членов фазы не захвачены идеально, а осциллируют вокруг траектории усредненной системы (8.5). Эти осцилляции могут быть особенно велики, еспи колебания близки к релаксационным, т.е., если функция связи Qi,2 содержит много гармоник.

8.1.2 Отображение окружности

Правая часть уравнений (8.4) 27г-периодична по обеим переменным; следовательно поток на двумерной фазовой плоскости (Ф1.Ф2) экви­валентен потоку на двумерном торе 0 < ф\ < 2тт, О < фі < 2тт. Этот двухмерный поток может быть сведен к обратимому отображению окружности.

Выберем прямую фі = О в качестве секущей. Выпуская траекто­рию из <^і(0), Ф2Ф) = 0 и следуя вдоль нее до точки ф\{і), ф2{і) = 2тх. получим отображение фі(0) —>• фі(і). Вводя дискретное время п. запишем отображение в виде

где функция Ғ такова, что Ғ(х + 2тт) = 2ж + Ғ(х).^(і Для невзаимодей­ствующих систем это отображение сводится к линейному повороту

фі(п+ 1) = фі(п) + 2тг—.

Ш2

Фактически, мы используем здесь малость взаимодействия: поток на торе не произволен, а близок к вращениям по обеим координатам. Это обеспе­чивает как отсутствие состояний равновесия, так и замкнутых траекто­рий, не охватывающих тор, и, следовательно, существование отображения Пуанкаре.

Для отображения окружности (8.9) можно определить чисто враще­ния р в соответствии с уравнением (7.52), что дает отношение двух наблюдаемых частот

Отметим, что возможен эквивалентный способ получения отобра­жения окружности: можно выбрать в качестве секущей ф\ = 0 и получить отображение ф₂ —>• Ғ{ф₂)\ новое число вращения будет обратно старому.

Вся теория отображения окружности (раздел 7.3) может быть применена к данному случаю. В частности, выход из синхронизации происходит через бифуркацию седло-узел, как описано в разделах 7.1 и 7.3.