6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте

В этом разделе мы обсуждаем две типичные экспериментальные задачи и связанные с ними проблемы анализа данных. Первая за­дача состоит в том, чтобы выяснить, может ли данный осциллятор быть захвачен определенной внешней силой, или могут ли два ос­циллятора взаимно синхронизоваться при заданной связи. Вторая экспериментальная задача состоит в том, чтобы проанализировать сигналы, генерируемые двумя осцилляторами, для того чтобы выяс­нить, взаимодействуют ли эти осцилляторы или же они независимы.

6.2.1 «Активный» эксперимент

Мы понимаем синхронизацию как возникновение определенных со­отношений между фазами и частотами взаимодействующих объ­ектов. Эти соотношения должны выполняться в некотором диапа­зоне расстроек и коэффициентов связи (этот диапазон соответствует области синхронизации). Следовательно, чтобы установить возник­новение синхронизации в конкретном эксперименте, нам необходимо иметь возможность изменять параметры осцилляторов (или осцил­лятора и внешней силы), влияющие на расстройку, или же иметь возможность варьировать силу связи. При этом нам необходимо сле­дить за поведением частот и/или разности фаз, т.е. мы должны про­вести «активный» эксперимент, управляя системой. Классический опыт Эпплтона [Appleton 1922] (см. раздел 4.1) является хорошим примером такого эксперимента.

Полное описание способности систем к синхронизации предпола­гает определение языка (языков) Арнольда. Тем не менее, если мы просто хотим убедиться в том, что синхронизация данных систем

возможна, то для этого достаточно наблюдать переход к синхрони­зации при изменении одного параметра. Наиболее простой способ показать переход - это вычислить частоты связанных осцилляторов Qi и Ог (наблюдаемые частоты) и построить график зависимости их разности от изменяемого параметра, как это было сделано Эпплто-ном в его эксперименте (см. рис. 4.4).⁴

В современных экспериментах сигналы обычно сохраняются в па­мяти компьютера для последующей обработки в режиме off-line. В этом случае частоты могут быть вычислены в соответствии с ре­комендациями предыдущего раздела и приложения П2. Отметим, что, если сигналы близки к периодическим, то синхронизацию мож­но выявить простым способом, анализируя классические фигуры Лиссажу, т.е. график зависимости одного сигнала от другого (ср. с рис. 3.9 и 3.23). В случае захвата частот этот график представляет собой замкнутую кривую.

6.2.2 «Пассивный» эксперимент

Приступим к обсуждению экспериментов, в которых нет возмож­ности изменять параметры систем и/или связи, а возможно толь­ко наблюдать генерируемые ими сигналы. Такая ситуация часто встречается при исследовании биологических или геофизических систем. Характерным примером является исследование взаимодей­ствия сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека по двум измеряемым сигналам: ЭКГ и дыханию (см. предыдущий раздел). Проблема состоит в том, чтобы выяснить, какую информацию мож­но в принципе извлечь из такого эксперимента? В частности, есте­ственным образом возникает вопрос: можно ли выявить синхрониза­цию путем анализа двухканальных данных?

Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицателен. Так как син­хронизация - это не состояние, а процесс подстройки частот и фаз, ее наличие или отсутствие не могут быть установлены по одному наблюдению. Кроме того, в системах с шумом (а реальные системы неизбежно подвержены влиянию шумов), переход к синхронизации размыт и не существует четкой границы между синхронными и несинхронными состояниями. Следовательно, без дополнительных предположений мы не можем выявить синхронизацию путем анализа

⁴ Возможны два варианта: можно наблюдать переход к синхронизации, т.е. сближение наблюдаемых частот, либо уменьшая расстройку при фикси­рованной связи, либо увеличивая связь при неизменной расстройке.

данных, даже если и удастся найти некие соотношения между фа­зами и частотами (которые должны быть вычислены по сигналам, как описано ранее). Тем не менее, анализ двухканальных данных, основанный на использовании теории синхронизации, может дать важную информацию о взаимосвязи между системами, которые ге­нерируют наблюдаемые сигналы.

Отметим, что определение зависимости между двумя (или несколькими) сигналами - это типовая задача обработки данных. Она решается традиционными линейными методами взаимнокорре-ляционного (взаимноспектрального) анализа [Рабинер и Голд 1975] или нелинейными методами, такими как вычисление взаимной ин­формации или максимальной корреляции [Renyi 1970; Pompe 1993; Voss and Kurths 1997].

Рис. 6.2 иллюстрирует различие этой типовой задачи и проблемы, которую мы рассматриваем ниже: мы пытаемся выявить взаимо­действие между осцилляторами, которые генерируют двухканаль-ные данные. Подчеркнем, что подход к анализу данных с точки зрения синхронизации явно предполагает, что данные генерируются несколькими (по крайней мере, двумя) взаимодействующими авто­колебательными системами. Если это предположение не может быть проверено, то описанные ниже методы могут быть интерпретиро­ваны только как средства анализа взаимосвязи между сигналами, и никакого заключения о связи между системами сделано быть не может.

Напомним, что взаимосвязь между фазами может также возник­нуть вследствие родственного явления, такого как стохастический резонанс (см. раздел 3.6.3). Другой причиной может быть, например, модуляция скорости распространения сигнала по передающему ка­налу (см. раздел 3.3.5). Этими замечаниями мы хотим подчеркнуть, что результаты пассивного эксперимента должны интерпретировать­ся с большой осторожностью; см. подробное обсуждение в разделе 6.4.

Совпадение частот или захват частот?

Если экспериментатор действительно имеет дело с сигналами, ге­нерируемыми двумя автоколебательными системами, и видит, что их частоты близки, то возникает вопрос, является это следствием гипотетического взаимодействия или же просто случайным совпаде­нием. На сегодняшний день не существует способа ответить на этот вопрос, можно только получить косвенное подтверждение гипотезы о взаимодействии.

Прежде всего отметим, что оценка отношения частот не помогает. Действительно, если две частоты равны (в пределах точности их определения), то мы не можем проверить, произошло это случайно, или есть проявление взаимодействия. С другой стороны, если мы нашли, что, например, O1/O2 = 1-05, то это не исключает существо­вание 1 : 1 синхронного режима, так как частые проскоки фазы на границе области синхронизации приводят к различию частот. (На­помним, что в системах с шумом область точного равенства частот может стремиться к нулю.) Поэтому, обычно оценка частот 0,\_}2 мо­жет быть использована только для того, чтобы оценить возможный порядок п : т синхронизации. Более полная информация может быть получена из анализа фаз.

Некоторые факторы, типичные для экспериментов, могут оказать­ся полезными для анализа данных. Ниже мы обсудим два важных аспекта.

1. Шум усложняет картину синхронизации, но в некоторых слу­чаях «пассивного» эксперимента он помогает отличить случай­ное совпадение частот от их истинного захвата. Действительно, шум порождает диффузию фазы, и при случайном совпадении частот разность фаз не является постоянной, а совершает слу­чайные блуждания.⁵ Распределение (ф\ — Ф2) mod 2іг является в этом случае практически равномерным, в то время как взаи­модействие приводит к появлению максимума в распределении (см. раздел 3.4). Это можно проинтерпретировать как суще­ствование предпочтительного значения разности фаз (взятой по модулю 2"7г), т.е. как захват фаз (в статистическом смысле). Следовательно, нам необходимо анализировать разность фаз; как показано ниже, наиболее эффективен для этого стробоско­пический метод.

2. Нестационарность данных, вызванная медленным изменени­ем параметров исследуемой системы, существенно усложняет анализ, но может также помочь найти дополнительные аргу­менты, подтверждающие гипотезу о взаимодействующих осцил­ляторах. Действительно, если мы наблюдаем, что мгновенные частоты двух сигналов изменяются, но их отношение остается (приблизительно) постоянным, то очень маловероятно, что это происходит случайно; в этом случае вполне разумно считать, что мы наблюдаем захват частот. Другим свидетельством мо­жет быть изменение соотношения частот, скажем, с «5/2 на ~3: маловероятно, что это случайность, скорее это похоже на переход между соседними языками Арнольда.

6.3 Анализ взаимоотношения между фазами

В этом разделе мы подробно обсуждаем методы анализа фазовых соотношений и иллюстрируем эти методы несколькими примерами.

⁵ В общем случае, при nfii и тПг мы должны рассматривать обобщенную разность фаз пфі — тф2\ здесь мы для простоты обсуждения предполагаем п = т = 1.