Построение линий пересечения поверхностей методом секущих вспомогательных плоскостей

Одной из основных и актуальных задач начертательной геометрии является задача построения линий пересечения поверхностей. Линия пересечения (ЛП) поверхностей – это линия, общая для обеих поверхностей. Наиболее распространенным и универсальным способом построения ЛП является метод секущих вспомогательных плоскостей.

На рисунке показаны виды пересечений.

Пусть пересекаются две поверхности Ф1 и Ф2. Сначала находим характерные точки. Такими точками считаются точки пересечения образующих линий (точки 1, 2). Затем пересекаем обе поверхности вспомогательной плоскостью. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости, которые образуют простые сечения поверхностей.

Строим сечения обеих поверхностей.

Далее находим общие точки построенных сечений (точки 3, 4). Повторяем описанные построения с другой вспомогательной плоскостью (3-5 раз). Полученные точки соединяем плавной линией с учетом видимости участков этой линии.

54

Построение линий пересечения поверхностей методом секущих концентрических сфер

Метод концентрических сфер базируется на частном случае -пе ресечения поверхностей: соосные со сферой тела вращения пересекаются по окружностям, фронтальные проекции которых«вырождаются» в прямые линии.

Рассмотрим				метод			на примере
пересечения					двух		цилиндров.
Сначала			определяем характерные
точки		1.	Далее		в	месте		пересе-
чения		осей		находим			центр сфер
О.	Из	центра О				проводим		нор-
мали N1 и N2, максимальную нор-
маль берем за минимальный -ра
диус сфер. Проводим сферу ми-
нимального радиуса, находим ли-
нии пересечения ее с цилиндрами
и	в		месте		их		пересечения–
точку 3.

Повторяем	описанные	построе-
ния, используя сферы большего
радиуса. В результате построений
получаем	промежуточные	точки
2, 4. Полученные точки		соеди-
няем плавной линией.

55

Теорема Монжа и ее использование для построения линий пересечения поверхностей

Если две поверхности второго порядка описаны вокруг одной и той же сферы, то они пересекаются по кривым линиям второго порядка, фронтальная проекция которых «вырождается» в прямые линии, соединяющие противоположные характерные точки. Характерными точками являются точки пересечения образующих линий.

Пересекаются цилиндр и конус.
Обе поверхности описаны вокруг
одной и той же сферы. Следова-
тельно, на фронтальной проекции
линии	пересечения «вырожда-
ются» в прямые линии. Находим
характерные точки		поверхностей
и соединяем их		прямыми - ли
ниями.

Далее находим характерные точки на прямых линиях пересечения и строим их горизонтальные проекции. Промежуточные точки строим методом секущих вспомогательных плоскостей, подчинив их одной из поверхностей, например, конусу. Полученные точки соединяем плавными линиями.

56

Построение разверток кривых поверхностей

Вce поверхности делятся на развертывемые и неразвертываемые. Развертка поверхности – это геометрически закономерное преобразование поверхности в плоскость. Все многогранники и линейчатые поверхности являются развертываемыми. Нелинейчатые поверхности, как правило, неразвертываемые. Основным способом построения разверток является способ раскатки.

На рисунке показаны развертки конуса и цилиндра.

Рассмотрим построение развертки усеченного конуса. Известно, что конус развертывается в сектор окружности с радиусом, равным длине образующей. Угол сектора определяется по формуле (см. рисунок). Разделим основание на восемь частей. Отметим точки пересечения образующих с сечением. Каждую точку сносим на НВ образующей.

Строим сектор развертки, делим окружность сектора на восемь частей. На каждую образующую на развертке наносим точки сечения, замеряя на эпюре НВ расстояния от вершины конуса до каждой точки. Полученные точки соединяем плавной линией.

57

Неразвертываемые поверхности могут быть развернуты условно-при- ближенно путем аппроксимации (замены) неразвертываемых поверхностей развертываемыми поверхностями. Для этого исходную поверхность делят на отсеки(см. рисунок) и участки неразвертываемой поверхности заменяют - раз вертываемыми поверхностями (цилиндрическими, коническими или плоскостями).

Рассмотрим построение развертки поверхности тора.

Делим поверхность тора на отсеки. Выделим один отсек и заменим участок торовой поверхности -ци линдрической. В этом случае поверхность отсека можно развернуть.

Строим развертку поверхности отсека. Построения ясны из чертежа. Полная развертка тора будет - со стоять из нескольких разверток отсеков в зависимости от их количества.

58

Учебное издание

Кирин Евгений Михайлович, Краснов Михаил Николаевич

Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Редактор Т. В. Веденеева Корректор Н. А. Сидельникова

Компьютерная верстка М. Б. Жучковой

Подписано в печать 09.06.11.

Формат 60´841/16. Усл. печ. л. 3,49.

Тираж 150. Заказ № 423.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40.

Тел./факс: [phone]; e-mail: iic@pnzgu.

59