- •Введение
- •Проекционный метод и виды проецирования
- •Инвариантные свойства (аксиомы) проецирования
- •Ортогональное проецирование на две и три плоскости проекций
- •Образование и свойства эпюра Монжа
- •Построение проекций точки по заданным координатам
- •Определение октанта по заданному эпюру точки
- •Построение недостающей проекции точки
- •Связь эпюра Монжа с проекционным чертежом
- •Прямые общего и частного положения
- •Построение следов прямой
- •Определение октантов, через которые проходит прямая
- •Метод прямоугольного треугольника
- •Теорема Фалеса и ее применение для решения задач
- •Определение видимости скрещивающихся прямых
- •Теорема прямого угла
- •Плоскости общего и частного положения
- •Проведение в плоскости горизонтали и фронтали
- •Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости
- •Угол между плоскостью и плоскостью проекций
- •Позиционные задачи на принадлежность
- •Проведение через прямую вспомогательных плоскостей
- •Пересечение прямой с плоскостью
- •Позиционные задачи на пересечение плоскостей
- •Пересечение плоскостей, заданных плоскими фигурами
- •Определение видимости пересекающихся объектов
- •Позиционные задачи на параллельность
- •Проведение перпендикуляра к плоскости
- •Определение расстояния от точки до плоскости
- •Восстановление перпендикуляра заданной длины
- •Определение расстояния от точки до прямой
- •Перпендикулярность плоскостей
- •Метод замены плоскостей проекций
- •Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций
- •Вторая типовая задача метода замены плоскостей проекций
- •Параметры вращения и методы преобразования эпюра вращением
- •Метод вращения вокруг проецирующих осей
- •Метод вращения вокруг линий уровня
- •Метод вращения плоскости вокруг следов и способы построения совмещенного следа
- •Методика решения задач способом совмещения
- •Метод плоско-параллельного перемещения (ППП)
- •Определение угла между прямой и плоскостью
- •Определение угла между плоскостями
- •Методы построения сечений многогранников
- •Построение разверток многогранников
- •Построение проекций особых точек на поверхности
- •Построение промежуточных точек на поверхности
- •Конические, цилиндрические и сферические сечения
- •Построение сечений поверхностей плоскостями частного положения
- •Построение сечений поверхностей плоскостями общего положения
- •Пересечение прямой с поверхностью (общий метод)
- •Построение линий пересечения поверхностей методом секущих вспомогательных плоскостей
- •Построение линий пересечения поверхностей методом секущих концентрических сфер
- •Теорема Монжа и ее использование для построения линий пересечения поверхностей
- •Построение разверток кривых поверхностей
Образование и свойства эпюра Монжа
Рассмотрим проецирование точки в одном из октантов, например, в первом. Из пространственного макета видно, что проекции точки находятся в вершинах прямоугольного параллелепипеда. Преобразуем макет так, чтобы плоскости проекций совместились в одну. Для этого мысленно разрежем макет вдоль оси OY и повернем плоскости Н и W (на 90°, как показано на чертеже). При этом саму точку А удалим, оставив только ее проекции и осиOX, OYH ,OYW и OZ.
В результате преобразований получается проекционный чертеж точки, или эпюр Монжа, который имеет следующие свойства:
- горизонтальная проекция точки А/ определяется координатами X и YH;
-фронтальная проекция точкиА// определяется координатами X и Z;
-профильная проекция точки А///
определяется координатами Z и
YW;
-проекции А/ и А// всегда находятся на одной вертикальной линии связи;
-проекции А// и А/// всегда находятся на одной горизонтальной линии связи;
- отрезок АXА/ равен отрезку AZA///, так как они оба являются
координатой Y;
- по двум проекциям точки всегда можно построить третью проекцию.
9
Построение проекций точки по заданным координатам
Необходимо построить проекции точки А с координатами(-30,
-15, -20).
Предварительно по таблице знаков (см. с. 8) определяем номер октанта – седьмой. Вычерчиваем оси координат.
От |
начала координат |
отклады- |
|
ваем координату X (-30) вправо, |
|||
так как она со знаком минуси, |
|||
получаем |
точку АX. Через |
точку |
|
АX |
проводим вертикальную -ли |
||
нию связи. От точки вверх откла- |
|||
дываем координату Y (-15) и по- |
|||
лучаем |
горизонтальную |
проек- |
|
цию точки А/. |
|
От точки Ах вниз откладываем координату Z (-20) и получаем фронтальную проекцию точки А//.
Через точку А// проводим горизонтальную линию связи, и на пересечении с вертикальной осью получаем точку АZ. От нее откладываем влево координату Y (-15) и получаем профильную проекцию точки А///.
10
Определение октанта по заданному эпюру точки
Предположим, необходимо определить номер октанта, в котором находится точка, если задан эпюр точки в двух или трех проекциях.
Определяем знаки координат точки. Так как точка АX находится влево от начала координат, то координата X имеет знак«плюс». Так как координата Y, использованная для построения горизонтальной проекции точки, отложена вверх, то координата Y имеет знак «минус». Так как координата Z, использованная для построения фронтальной проекции точки, отложена вниз, то координата Z имеет знак «минус». Значит точка А имеет знаки координат (+, -, -).
Определяем номер октанта, в котором находится точка. Это можно сделать двумя способами: по таблице знаков или по модели октантов, которую можно представить зрительным воображением. Второй способ реализуется так: если координата X имеет знак +, то точка А может находиться только вI, II, III или IV октантах; так как координата Y имеет знак «минус», то это может быть только во II и III октантах; если координата Z имеет знак «минус», то точка А может находиться только в III октанте.
11
Построение недостающей проекции точки
Предположим, задан эпюр точки А в двух проекцияхА// и А///. Требуется построить недостающую горизонтальную проекцию А/. Построения будем проводить, используя свойства эпюра Монжа.
Так как горизонтальная проекция точки А/ находится на одной вертикальной линии связи с фронтальной проекцией точки А//, то через точку А// проводим эту линию связи. На оси ОХ получаем точку АX.
Недостающая проекция А/ |
опре- |
||
деляется |
координатами X |
и Y. |
|
Координата X известна, а коор- |
|||
динату Y берем с профильной |
|||
проекции (отрезок Аz А///). Так как |
|||
отрезок |
отложен |
вправо, то |
|
значит координата Y имеет знак +. |
|||
Замеряем |
координату Y и от- |
||
кладываем ее от точкиAX вдоль |
|||
линии связи вниз. Получаем |
|||
искомую |
проекцию А/. Точка А |
||
имеет знаки координат (+, +, -) и |
|||
находится в IV октанте. |
|
|
12