3. Два недостатка аксиоматики д. Гильберта

Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается не часто.

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек. Последнее приходится доказывать (см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16 требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще ряд замечаний, которые вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих свойств.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами – точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n–точек уже в XIX в. В XX в. модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека.

Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n–мерного векторного пространства. Начнем с изучения структуры векторного пространства на множестве обыкновенных направленных отрезков.

3. Структура векторного пространства

   1. Модель направленных отрезков

Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.

А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.

Решение сформулированной задачи состоит из двух частей: 1) в определении направленных отрезков, определении указанных операций, доказательстве основных свойств этих операций и 2) указании критерия, согласно которому проверяется, достаточно ли сформулированных свойств для описания модели.

Вначале определим операции и построим систему свойств (аксиом). Направленный отрезок есть отрезокAB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l», причем порядок пары точек означает, что точка А – начало, В – конец направленного отрезка.

Для простоты будем направленные отрезки обозначать также одной буквой =и т.д.

Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых с параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.

На множестве направленных отрезков ,,, ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.

Суммой направленных отрезков иназовем направленный отрезок=+, который имеет то же начало, что ии тот же конец, что и, если начало отрезкапараллельным переносом совместить с концом(рис 11, а).

Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонахи(рис. 4, b). Правило сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (b) – правилом параллелограмма.