3. Независимость аксиомы параллельности

Напомним, что планиметрия строится на системе 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2 §2). Пусть Т={T₁,...,T₁₄} – система аксиом без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R₁(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модель R² – арифметической евклидовой плоскости: R²= R₁(T,П). В качестве реализаций R₂(T,П) возьмем модель Пуанкаре L₂= R₂(T,П). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R₁(T,П) и R₂(T,П), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии.

Замечание 1

Доказательство независимости всех аксиом евклидовой геометрии можно найти, например, в [7], [8].

4. Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М (см п.6.1–6.2 §6). Любое высказывание "и"И обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории , обозначим множество таких высказыванийД. Высказывание "и"И опровержимо в системе , обозначим множество таких высказыванийО. Наконец, высказывание "и"И не является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры ∑_Т, есть сумма непересекающихся классов

И=ДUОUН. (1)

Определение (дедуктивной полноты)

Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.

Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид

И=ДUО. (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П – параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты (см., например [7], [8]).

В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и две ее реализации в модели R² и в модели L₂. Мы уже показали (см. пример п.6.5. §6), что модели R² и L₂ неизоморфны.

Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности)

Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Рассмотренная выше система аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L₂ и R² этой системы.

Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты. Если система аксиом категорична, то она и дедуктивно полна.

Обратное утверждение не справедливо. Существуют примеры дедуктивно полных систем аксиом, у которых имеются неизоморфные реализации (см. далее пример 2 из п.8.8).