Следствие

Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение

, . (6)

Если в качестве базиса выбрать векторы , то, используя свойства 1–3, можно найти координатное представление скалярного произведения

,

(7)

Мы воспользовались тем, что ,.

Следствие

Используя (6) и (7), заключаем, что

. (8)

Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (5) и 2) существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (7):

(9)

где ,в.

Теперь согласно нашей схеме длина вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длины вектора в –мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде

. (10)

Вывод 4

В трехмерном векторном пространстве длина вектора (8) находится благодаря теореме Пифагора. В абстрактном векторном пространстве размерности больше трех аксиомами (5) задается скалярное произведение, а длина выражается через скалярное произведение по формуле (6). В арифметической модели скалярное произведение существует в виде (9), а длина вектора определяется согласно формуле (10).

Определение

Абстрактное –мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (5), называем –мерным векторным евклидовым пространством. Его координатная модельсо скалярным произведением (9) называется декартовой моделью. (Рене Декарт (1596–1650) впервые ввел координатную модель трехмерного евклидова пространства).

4. Модель Вейля евклидовой геометрии

   1. Арифметизация трехмерного евклидова пространства

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2. Эту модель будем обозначать ³и называть евклидовым пространством.

Построим арифметическую, или координатную, модель евклидова пространства ³, используя координатную модель евклидова векторного пространства , построенную в §3. Для этого введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкамA,B³ вектор и обозначается как отображение. Операциюможно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими основными свойствами.

Свойства операции откладывания вектора

1. Для всякой фиксированной точки A₀³ и произвольной точки B³ отображение

(1)

является взаимно однозначным отображением точекB³ на множество векторов .

2. (

   0

   Аксиома треугольников). Для любых трех точекA,B,C³ справедливо равенство

.

3. (Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки.

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве³, а вектор – радиус–вектором точкив этом пространстве. КоординатамиточкиM³ называют координаты радиус–вектора (рис. 7), где,,– направленные отрезки в³, соответствующие базисным векторам ,,векторного пространствапри отображении (1) с. Таким образом, по построению операции откладывания вектора в³ приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0³, представляет взаимно однозначное соответствие между точками M³ и арифметическими упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концови. Учитывая, что, из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть =(u₁,v₁,w₁) и =(u₂,v₂,w₂) – направленные отрезки в ³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁) (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)