Вывод 3

Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современного математического формализма. Роль математического формализма в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического формализма, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.

Формирование математических текстов на основе дедуктивного метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам – свойствам аксиоматических систем. К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук

Анри Пуанкаре

Глава II свойства аксиоматических систем

Математические структуры и аксиоматические теории
1. Понятие отношений между объектами

Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что то же, элементами x, y, … , некоторых множеств Ax, By, … . Отношения между двумя элементами xA и yB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать Ð(x,y), xA, yB. Отношение Ð (x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение Ð(x,y) определяет множество P(x,y) упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xA и yB по следующему правилу:

(x,y) P  {выполняется Ð (x,y)} (1)

Множество упорядоченных пар (x,y) xA и yB называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается AB.

Следствие 1

Всякое бинарное или двухместное отношение Ð(x,y) между элементами x, y двух множеств Ax и By представляется некоторым подмножеством P(x,y)AB по закону (1). Обратно, всякое подмножество PAB по этому же закону (1) представляет некоторое отношение Ð(x,y).

Пример 1

Пусть A=B=R – множество действительных чисел. Тогда RR есть декартово произведение евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. (Другими словами, множество числовых упорядоченных пар (x,y), xR, yR представляет все точки евклидовой плоскости.)

Определение

Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)(x~y), если выполняются три условия:

Рефлексивности x~x;
Симметричности: если x~y, то y~x;
Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.

Любое отношение эквивалентности Ð(x,y) для (x,y)MM определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yM попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M/Ð или M/P, что равносильно в силу следствия 1.

Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M=MM…M… и MM= при ij, то отношение принадлежности элементов одному классу (xM)(yM)Ð(x,y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.