4. Распределения составляющих сопротивления и проводимости

Из характеристик участка [0, x] конечного отрезка [0, l] линии без потерь в экспонентах найдём выражения входных параметров участка:

, (0)

. (0)

Выделяя вещественную и мнимуючасти выражения сопротивления участка Z(x), получаем:

, (0)

. (0)

Если заменить здесь идентификаторы RнаG,XнаB, ана –, то получим выражения зависимостей вещественнойи мнимойчастей проводимости участкаY(x) от координатыx:

, (0)

. (0)

Проанализируем последние выражения. Так как значения их знаменателей неотрицательны при любых значениях x¹, то знаки этих выражений определяются знаками их числителей. Следовательно,, аX(x) иB(x) – знакопеременные функцииx. Период их изменения равен/2 =/. Можно убедиться, что на тех участках отрезка линии , где амплитуда напряжения при перемещении к началу отрезка возрастает, сопротивление и проводимость носят индуктивный характер (,), а там, где убывает – ёмкостный (,). В тех сечениях отрезка линии, в которых амплитуда напряжения максимальна , а тока – минимальна , значения входных параметров участка вещественны и равны:

,;,.

Рис. 24

Для сечений отрезка линии, в которых значение амплитуды напряжения минимально , а тока – максимально , в этих формулах нужнозаменить на – .

В сечениях отрезка линии с координатами

,

, ,

мнимая часть сопротивления участка принимает экстремальные значения, равные

Рис. 25

.

В сечениях отрезка линии с координатами

,

,

мнимая часть проводимости участка B(x_n) принимает экстремальные значения, равные

.

Графики распределений нормированных значений вещественных и мнимых составляющих сопротивления и проводимости участка отрезка однородной линии при ипоказаны на Рис. 24 и 25. На этих рисунках приняты следующие обозначения исследуемых параметров однородного участка: , ,

и , .

Для согласованной нагрузки , и графики составляющих входных параметров участка превращаются в семейство двух отрезков, параллельных оси абсцисс:, и , .

В другом предельном случае функции распределения мнимых составляющих параметров участка вырождаются в тангенсоиды, а вещественных – в прямые, совпадающие с осьюx, за исключением точек разрыва тангенсоид, в которых они также неограниченны.

Если обратиться к выражениям комплексных характеристик участка конечного отрезка линии в тригонометрических функциях (60) - (61), то с учётом обычных граничных условий для конца отрезка получаем другие, эквивалентные (65) - (66), формулы входных параметров участка конечного отрезка однородной линии:

(0)

В соответствии с принципом дуальности

(0)

Эти формулы предпочтительнее использовать при анализе процессов в отрезках линии без потерь в режимах стоячих волн.

5. Применение отрезков линии в качестве элементов согласующих устройств

Пассивный двухполюсник в конце отрезка линии, значения параметров Z_ниY_нкоторого совпадают со значениями характеристических параметров линиии, называютсогласованной нагрузкойотрезка. Напомним, что при согласованной нагрузке, то есть обратных (отражён­ных) волн напряжения и тока нет и вся мощность, доставленная ими к концу отрезка линии, поглощается нагрузкой. На практике редко удаётся обеспечить режим согласованной нагрузки без применения специальных устройств.

В диапазонах УВЧ и СВЧ (0,01 м < ₀< 1 м)используют распределённые компоненты согласующих устройств, в качестве которых берут отрезки радиотехнических кабелей и полосковых линий с допустимо малыми собственными потерями.

Рис. 26

Познакомимся с методикой определения значений параметров компонентов некоторых устройств согласования.

Одно из возможных устройств образовано отрезком линии без потерь, длина которого равна четверти длины волн /4 или их нечётному числу, с характеристическим сопротивлением, включённым в рассечку отрезка линии передачи на расстоянии l₁от его конца (Рис. 26). Этот отрезок линии называютчетвертьволновым трансформатором. При расчете такого согласующего устройства определению подлежат значение характеристического сопротивления R_ст(проводимостиG_ст) четвертьволнового отрезка и место его включенияl₁. Ради удобства решения поставленной задачи на схеме Рис. 26 для каждого однородного отрезка линии выбрана своя (локальная) система координат, отсчитываемых от его конца.

Рассмотрим теоретически этот способ согласования нагрузки с отрезком линии передачи. Сначала отрезок линии разрезают в сечении l₁пучности напряжения или тока, в котором значения сопротивленияZ(l₁) и проводимостиY(l₁)вещественны.Затем в этом разрезе включают четвертьволновый трансформатор с таким значением характеристического сопротивленияR_ст (про­водимости G_ст), чтобы его входное сопротивление (проводимость) равнялось характеристическому сопротивлениюR_с (проводимости G_c) линии.

Отсюда следует математическая формулировка условий согласования:

1. ,;(0)

либо

2. , . (0)

Первые условия вместе с формулами (68), (70) определяют координаты пучностей напряжения и тока

.

На спектр значений l_1k, поставляемых этой формулой, накладывается естественное ограничение

.

Чтобы получить более широкую полосу частот согласования (при негармоническом процессе), необходимо стремиться к возможно меньшим значениям длины несогласованного участка l_1k.

Для резистивной нагрузки , аргумент коэффициента отражения принимает всего лишь одно из двух значений:= 0, еслиR_н > R_с и, соответственно,G_н < G_c, либо=, когдаG_н > G_c, R_н < R_с.В обоих случаях трансформатор можно подключить непосредственно к нагрузке.

В пучностях напряжения и тока значения сопротивления Z(l₁) и проводимостиY(l₁)вещественны

,.

Обозначим характеристические сопротивление и проводимость трансформатора через R_стиG_стсоответственно. Тогда из характеристик участка конечного отрезка линии (60), (61) при x = /4 и получим

;

.

Отсюда ,(0)

.(0)

Подчинив значения этих величин вторым условиям согласования (73), (74), получим пару дуальных искомых формул для характеристических параметров трансформатора

, (0)

. (0)

При соблюдении условий согласования на участке l – l₁ линии передачи (Рис. 26) наблюдается режим бегущих волн, а в трансформаторе и следующем за ним участке – режим смешанных волн.

Если нагрузка недостаточно согласована с отрезком линии, возникают отражённые волны напряжения и тока, которые перемещаются к началу отрезка. При отсутствии согласования отрезка с генератором, то есть если сопротивление генератора отличается от характеристического сопротивления линии, происходит повторное отражение волн напряжения и тока от начала отрезка.

Рис. 27

Для согласования отрезка линии на его входе и выходе, можно представить себе следующую общую схему с двумя четвертьволновыми трансформаторами (Рис. 27) (активные элементы канонических схем замещения генератора на ней не показаны).

Первый из них, длина которого равна нечётному числу /4, преобразует вещественную часть сопротивления (проводимости) участка линии, нагруженного пассивным компонентом схемы замещения генератора, к характеристическому сопротивлению (проводимости) линии. Перед нагрузкой включён другой трансформатор, назначение которого рассмотрено выше. Поскольку схема согласования Рис. 27 симметрична относительно вертикальной оси, то для расчёта значений «симметричных» параметров её компонентов – места включения трансформаторов и их характеристических сопротивления или проводимости – можно пользоваться приведёнными выше формулами с соответствующей корректировкой идентификаторов входящих в них величин.

При комплексной нагрузке можно предложить согласующее устройство в виде четвертьволнового трансформатора и динамического элемента, включаемого параллельно нагрузке или последовательно с ней. Таким динамическим элементом в диапазонах УВЧ и СВЧ может служить разомкнутый или короткозамкнутый шлейф – отрезок той же линии подходящей длины. Подключение динамического элемента цепи преобразует заданную комплексную нагрузку в эквивалентную резистивную.

Для определённости возьмём устройство согласования четвертьволновым трансформатором и шлейфом, включённым параллельно нагрузке (Рис. 28). Выведем формулы, определяющие значения длины шлейфа l₂и характеристической проводимостиG_стчетвертьволнового трансформатора. Из описания принципа действия рассматриваемого согласующего устройства следуют два математических условия согласования:

1. , (0)

2. . (0)

Обратимся к формуле (72), выражающей проводимость Y(x) участка конечного отрезка. Для разомкнутого шлейфа приY_н= 0 из неё следует

Рис. 28

. (0)

Та же формула для короткозамкнутого шлейфа при Z_н= 0 даёт

. (0)

Из этих формул и первого условия согласования (79)имеем:

• для разомкнутого шлейфа

,;

• для короткозамкнутого шлейфа

,,

причём l_2k  0. Отсюда видно, в частности, что при резистивной нагрузке надобность в шлейфе отпадает.

В соответствии со вторым условием согласования (80), отрезок линии длиной lбудет работать в согласованном режиме, если значения входной проводимости нагруженного трансформатораи характеристической проводимостиG_cлинии одинаковы.

Заменяя в формуле (76) идентификатор на, получаем

.

Отсюда при ограничении (80) следует

. (0)

При соблюдении условий согласования в отрезке линии передачи l (Рис. 28) обеспечен режим бегущих волн, в трансформаторе – режим смешанных волн, а в шлейфе будут только стоячие волны напряжения и тока.

Существуют схемы согласования всего одним шлейфом, подключаемым, например, параллельно линии передачи вблизи нагрузки (Рис. 29). Шлейф подключается в таком сечении l₁, в котором вещественная часть проводимости равна характеристической проводимости линии. Шлейф длинойl₂, включаемый в это сечение, компенсирует мнимую составляющую проводимости несогласованного участка линии. Отсюда следуют два условия согласования:

1. ,

1. 

   Рис. 29

   

Из формулы (69), определяющей вещественную часть проводимости участка конечного отрезка линии, и первого условия согласования получаем

,

причём .

Для получения выражений, задающих спектры длин шлейфов, обратимся ко второму условию согласования и формулам (70), (81) и (82). В результате несложных преобразований получим:

• для разомкнутого на конце шлейфа (Рис. 28, а)

,.

• для короткозамкнутого шлейфа (Рис. 28, б)

,.

Знаки перед вторыми слагаемыми формул для l_1k иl_2n согласованы.

Очевидно, что шлейф должен быть как можно короче и его следует подключать возможно ближе к нагрузке.

В зависимости от назначения линии передачи применяют различные согласующие устройства, принцип действия которых и порядок расчёта подробно рассматриваются в специальных курсах.