5. Комплексные Характеристики конечного отрезка однородной линии

   1. Общее решение комплексных телеграфных уравнений

Для определённости условимся в дальнейшем направлять положительные значения мощности, потребляемой отрезком линии, слева направо. При этом исследователю предоставлена возможность выбора ориентации координатной оси либо по потоку положительной мощности, либо против него, а начало отсчёта координат можно совместить, в принципе, с любым сечением отрезка линии. Однако, если ограничиться положительными значениями координаты сечения на интервале[0,l], то начало их отсчёта придётся совместить с соответствующим концом отрезка линии. Ради будущего удобства записи характеристик отрезка линии выберем координатную ось0x (0 x  l), направленнуюпротивположительного направления потока мощности (Рис. 8 и 9). При этомx= lотносится к началу отрезка линии, аx=0 –к его концу.

Рис. 8

Рис. 9

Ввиду очевидной связи значенийx иx альтернативных систем координат (x = l – x)знак «минус» исчезает как в погонных динамических

,

так и в комплексных погонных характеристиках линии

, (0)

. (0)

Уравнения Гельмгольца для Uи дляI, в чём нетрудно убедиться, инвариантны относительно преобразований координатx = l – x.

Их общие решения можно записать в виде суммы экспонент:

,

.

Если перейти к выражениям мгновенных значений составляющих этих величин в произвольном сечении, то нетрудно обнаружить, что их первые слагаемые, пропорциональные , являются комплексами действующих значений волн напряжения и тока, перемещающихся вдоль отрезка линии от его начала к концу (по потоку положительной мощности). Вторые же слагаемые, пропорциональные, представляют комплексы действующих значений волн напряжения и тока, перемещающихся в обратном направлении. Таким образом, распределения напряжения и тока вдоль конечного отрезка есть результат наложения (интерференции) прямо- и обратнобегущих (прямых и обратных) соответствующих волн

, (0)

. (0)

Все эти волны движутся с одинаковыми значениями фазовых скоростей, причём каждая из них одинаково затухает в направлении своего распространения. Поэтому общие решения уравнений Гельмгольца для Uи дляIможно переписать так:

, (0)

, (0)

где постоянные интегрирования U_п(0), U_о(0) и I_п(0), I_о(0)по сути являются комплексами действующих значений компонентов волн напряжения и тока в конце отрезка линии (x = 0). Представление напряжения и тока в видесуммы прямых и обратных волн означает, что условно положительные направления как самих величин, так и их составляющиходинаковы.

В дальнейшем выражения вида (24) - (25) мы будем называть, для определённости, комплексными характеристиками участка [0,x] конечного отрезка линии(0  x  l) в экспоненциальных функциях.

Отметим, что входящие в (24) - (25) постоянные интегрирования не независимы, поскольку функции U(x) иI(x) связаны между собой комплексными погонными характеристиками линии (20) - (21). Поэтому в действительности число независимых постоянных интегрирования в последних выражениях с четырёх сокращается до двух:

и ,

либо

и .

Запишем общие решения уравнений Гельмгольца для U(x) и I(x), в которых постоянными интегрирования служат, к примеру,U_п(0), U_о(0)

, (0)

; (0)

и I_п(0), I_о(0):

, (0)

. (0)

Каждую пару постоянных интегрирования легко выразить через любые два из четырёх граничных значений U₁, I₁,U₂, I₂(Рис. 9). Так, например, приx = 0из системы (26) - (27)

,

получаем

и . (0)

Аналогичным образом из системы (28) - (29) находим дуальные соотношения

и. (0)

Тогда комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении отрезка линии, отстоящем на расстоянии x от его конца(0x l)определяются такими дуальными выражениями:

(0)

(0)

Конец отрезка однородной линии является, по существу, локальной неоднородностью, на которой происходит частичное или полное отражение прямых волн напряжения и тока. С этой точки зрения составляющим напряжения и тока (22), (23) можно придать и иной смысл, рассматривая первые из них как падающие волны [u_п(x,t), i_п(x,t)],а вторые – как волны, отражённые от конца отрезка[u_о(x,t),i_о(x,t)]. Вместе с тем следует отметить, что эти понятия для установившегося, в частности, гармонического процесса имеют, по существу, расчётный характер.

Коэффициентами отражения по напряжению и по токув конце отрезка однородной линии(x = 0) называют соответственно отношения комплексов действующих значений напряжений и токов отражённой и падающей волн в этом сечении:

,

.

где для определённости,значения их модулей и аргументов ограничим неравенствами:

;

.

Теперь комплексные характеристики участка конечного отрезка линии в экспоненциальных функциях преобразуются к такому виду:

,

.

Принимая во внимание соотношения (30) - (31), выразим коэффициенты отражения и через комплексы действующих значений напряжения и тока в конце отрезка линии:

,. (0)

Несложно показать, что

(0)

Связь между U₂и I₂определяется граничными условиями в конце отрезка линии. Теперь характеристики участка конечного отрезка линии в экспоненциальных функциях можно записать либо так:

, (0)

, (0)

либо, принимая во внимание линейную зависимость U_п(0) и I_п(0), в одном из двух равносильных представлений:

,;

или

,.

Выражения комплексных характеристик участка [0, x] в экспонентах позволяют не только количественно, но и качественно определять распределение действующих значений напряжений и токов и их начальных фаз вдоль конечного отрезка линии(0  x  l).

Общие решения уравнений Гельмгольца можно представить и в виде линейной комбинации гиперболических функций shx и chx. Следуя описанной методике или непосредственно из выражений (32) - (33), нетрудно выразить в них постоянные интегрирования через идентификаторы напряженияU₂ и токаI₂ в конце отрезка. В результате получим пару взаимодуальных комплексных характеристик – уравнений участка конечного отрезка линии в гиперболических функциях, которые за счёт безусловной потери наглядности обеспечивают бóльшую компактность записи:

,(0)

. (0)

Комплексные характеристики участка конечного отрезка однородной линии в экспоненциальных и гиперболических функциях взаимно дополняют друг друга; выбор тех или иных диктуется условиями задачи.