Большое каноническое распределение

Используем

, (2.70)

, (2.72)

,

получаем

. (2.75)

Вероятность наличия N частиц в системе

Интегрируем (2.75) по фазовому пространству и получаем искомую вероятность

.

Из

(2.17)

получаем вероятность наличия N частиц в системе

. (2.76)

С учетом

(2.73)

выполняется условие нормировки

.

Термодинамические характеристики системы

Из определения омега-потенциала

, ,, (2.69)

(2.72)

находим

, (2.77)

, (2.78)

–уравнение состояния. (2.79)

Физический смысл (2.78)

С учетом

, (2.73)

, (2.76)

выражение (2.78) сводится к определению среднего числа частиц

.

ПРИМЕР

Вывод формулы Больцмана

из условия термодинамического равновесия

Используем химический и электрохимический потенциалы идеального газа атомов, совершающих поступательные движения:

, (2.62а)

, (2.59)

,

где – потенциальная энергия частицы в точке.

При определяеми получаем электрохимический потенциал в начале координат

.

При термодинамическом равновесии

, (2.60)

тогда

,

получаем

.

Откуда следует формула Больцмана

. (П.7.12)

Вопросы коллоквиума

1. Фазовое пространство для идеального газа. Микросостояние и макросостояние. Фазовый ансамбль. Число степеней свободы. Число микросостояний. Плотность микросостояний фазового ансамбля. Теорема Лиувилля.

2. Каноническое распределение. Условие применимости. Статистический интеграл. Свободная энергия. Применение к идеальному газу. Статистический интеграл поступательного движения частицы.

3. Распределение энергии частицы по степеням свободы для гамильтониана со степенными зависимостями. Неустранимая погрешность измерительного прибора с упругой силой.

4. Распределение Максвелла по модулю скорости и по энергии для концентрации частиц. Наиболее вероятные и средние значения.

5. Распределение Больцмана по координатам для концентрации частиц. Формула Больцмана для однородного поля тяжести.

6. Термодинамические потенциалы. Внутренняя энергия. Химический и электрохимический потенциал. Условие равновесия системы. Химический потенциал и статистический интеграл. Зависимости химического потенциала.

Вопросы экзамена

1. Биномиальное распределение. Дробовой шум.

2. Статистическое описание системы частиц в фазовом пространстве. Функция распределения. Теорема Лиувилля.

3. Микроканоническое распределение. Энергетическая плотность состояний. Термодинамические величины. Вычисление плотности состояний идеального газа.

4. Каноническое распределение. Статистический интеграл. Термодинамические величины. Вычисление статистического интеграла поступательного движения.

5. Распределение энергии по степеням свободы. Неустранимая погрешность измерительного прибора. Закон Дюлонга и Пти.

6. Распределение энергии по степеням свободы. Флуктуационная ЭДС в активном сопротивлении.

7. Распределение Максвелла по скорости и по энергии. Средние значения скоростей и энергии.

8. Плотность потока частиц, плотность потока энергии.

9. Термоэлектронная эмиссия. Формула Ричардсона.

10. Распределение Больцмана. Газ в центрифуге.

11. Распределение Больцмана. Поляризация диэлектрика.

12. Термодинамические характеристики системы с переменным числом частиц. Химический потенциал и его вычисление для идеального газа.

13. Распределение Максвелла–Больцмана для частиц по состояниям.

14. Большое каноническое распределение. Выражения для термодинамических характеристик.

15. Трудности классической статистической физики. Полуклассическая квантовая механика. Квантование одномерных систем. Условия применимости.

40