28.9. Умножение матрицы на вектор и матрицы на матрицу
|
← 28.8. Алгоритмы упорядочивания элементов в... |
28.10. Возведение квадратной матрицы в целую... → |
Алгоритмы умножения матрицы на вектор и матрицы на матрицу реализуют основные операции матричной алгебры. Они достаточно просты, но очень наглядно иллюстрируют применение циклов при работе с массивами.
В результате умножения матрицы A состоящей из m строк и n столбцов на вектор X, со-держащий n компонентов, получается вектор Y, состоящий из m компонентов:
Y = A x X.
Каждый компонент результирующего вектора Y находится по формуле:
;
( i = 1, 2, 3, … , m )
Из этой формулы следует внешний цикл по индексу i. В теле этого цикла происходит накопление суммы. Обычно специальной переменной для суммы не используют, а накапливают ее в i-том компоненте вектора Y. Перед накоплением суммы Yi обнуляется, а затем организуется цикл по индексу суммирования j. Блок-схема этого алгоритма приведена на рис. 28.19 а.
В результате умножения матрицы A из m строк и n столбцов на матрицу B из n строк и p столбцов получается матрица C, состоящая из m строк и p столбцов:
C = A x B
Каждый элемент матрицы-результата рассчитывается по формуле:
(
i = 1, 2, 3, … , m; j = 1, 2, 3, … , p )
Блок-схема алгоритма перемножения матриц приведена на рис. 28.19 б. Он очень похож на предыдущий, но только элементы результирующей матрицы рассчитываются в двойном цикле по индексу строки i и индексу столбца j. Накопление суммы выполняется в цикле по переменной k.
|
← 28.8. Алгоритмы упорядочивания элементов в... |
28.10. Возведение квадратной матрицы в целую... → |
28.10. Возведение квадратной матрицы в целую степень
|
← 28.9. Умножение матрицы на вектор и матрицы на... |
28.11. Исключение элементов массивов → |
Операция перемножения матриц дает возможность путем повторного умножения реализовать операцию возведения квадратной матрицы в целую степень. Это, в свою очередь, позволяет вычислять матричные степенные ряды, через которые выражаются матричные функции матричного аргумента. Рассмотрим алгоритм возведения квадратной матрицы A, содержащей n строк и n столбцов в степень m. Результирующую матрицу будем именовать B.
B = Am = E x A x A x...x A ,
где E – единичная матрица. Операция умножения выполняется m раз.
Блок-схема этого алгоритма представлена на рис. 28.20. Она представлена на двух уровнях детализации. На первом уровне (изображение слева) основные блоки представлены укрупненно. На изображении справа первый и последний блоки детализированы до основных алгоритмических конструкций. Блок умножения матрицы на матрицу не детализирован, т.к. он рассмотрен в предыдущем подразделе и предполагается, что в данном алгоритме он реализован как вызов вспомогательного алгоритма.
В основе алгоритма лежит цикл повторного умножения (по переменной k), который выполняется m раз. До начала цикла в выходной матрице B формируется единичная матрица. В теле основного цикла вызовом вспомогательного алгоритма выполняется умножение матрицы B на возводимую матрицу A, результатом является матрица C. Второй фрагмент тела цикла заключается в передаче данных от матрицы С матрице B. Детализации первого и третьего блока просты и не требуют особых пояснений.
|
← 28.9. Умножение матрицы на вектор и матрицы на... |
28.11. Исключение элементов массивов → |