Дефектные матрицы

Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает

0.8127	0.8165		0.8165
-0.3386	-0.4082		-0.4082
-1.0000		0	0
0	1.0000		0
0		0	1.0000
Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-
тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид
A =
6	12	19
-9	-20	-33
4	9	15

V =

-0.4741 -0.4082 -0.4082

D =

Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-

висимых собственных векторов не существует(и поэтому не существует обратная матрица

V-1).

Сингулярное разложение матриц

Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-

трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотношения

Av = σu ATu = σv

Имея диагональную матрицу сингулярных чиселΣ и две ортогональные матрицыU и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать

AV = U Σ

ATU = V Σ

Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-

ного разложения

A = U ΣVT

Полное сингулярное разложение матрицыА размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столбцов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столбцов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая

39

экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матрицы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.

Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда последняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рассмотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений относятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло- жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной матрицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.

Для матрицы

A =

9	4
6	8
2	7

полное сингулярное разложение задается в форме

[U,S,V] = svd(A)

и приводит к следующим результатам

U =

-0.6105 0.7174 0.3355 -0.6646 -0.2336 -0.7098 -0.4308 -0.6563 0.6194

S =

14.9359		0
0	5.1883
0		0

V =

-0.6925 0.7214 -0.7214 -0.6925

Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.

[U,S,V] = svd(A,0)

U =

-0.6105 0.7174 -0.6646 -0.2336 -0.4308 -0.6563

S =

14.9359		0
0	5.1883

V =

40