• Кубическая интерполяция требует большей памяти и времени исполнения чем ступенчатая или линейная. Однако в данном случае как интерполируемые данные, так и их производные являются непрерывными.
Относительные качественные характеристики всех перечисленных методов сохраняются и в случае двухили многомерной интерполяции.
2. Интерполяция на основе быстрого преобразования Фурье _
Функция interpft осуществляет одномерную интерполяцию с использованием быстрого преобразование Фурье (FFT). Этот метод вычисляет преобразование Фурье от вектора, который содержит значения периодической функции. Затем вычисляется обратное преобразование Фурье с использованием большего числа точек. Функция записывается в форме
y = interpft(x, n)
где x есть вектор, содержащий дискретные значения периодической функции, заданной на равномерной сетке, а n - число равномерно распределенных точек, в которых нужно оценить значения интерполируемой функции.
Двумерная интерполяция
Функция interp2 осуществляет двумерную интерполяцию - важную операцию при обработке изображений и графического представления данных. В наиболее общей форме эта команда имеет вид
ZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, method)
где Z есть прямоугольный массив, содержащий значения двумерной функции; X и Y являются массивами одинаковых размеров, содержащие точки в которых заданы значения двумерной функции; XI и YI есть матрицы, содержащие точки интерполяции (то есть промежуточные точки, в которых нужно вычислить значения функции); method – строка, определяющая метод интерполяции. В случае двумерной интерполяции возможны три различных метода:
•Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод дает кусочно-постоянную поверхность на области значений. Значение функции в интерполируемой точке равно значению функции в ближайшей заданной точке.
•Билинейная интерполяция (method = 'linear'). Метод обеспечивает аппроксимацию данных при помощи билинейной поверхности (плоскости) на множестве заданных значений двумерной функции. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений четырех ближайших точек. Данный метод можно считать «кусочно-билинейным»; он быстрее и требует меньше памяти, чем бикубическая интерполяция.
•Бикубическая интерполяция (method = 'cubic'). Данный метод аппроксимирует поверхность при помощи бикубических поверхностей. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений в шестнадцати ближайших точках. Метод обеспечивает значительно более гладкую поверхность по сравнению с билинейной интерполяцией. Это может быть ключевым преимуществом в приложениях типа обработки изображений. Особенно эффективным данный метод является в ситуациях, когда требуется непрерывность как интерполируемых данных, так и их производных.
Все эти методы требуют, чтобы X и Y были монотонными, то есть или всегда возрастающими или всегда убывающими от точки к точке. Эти матрицы следует сформировать с использованием функции meshgrid, или же, в противном случае, нужно убедиться, что «схема» то-
48
чек имитирует сетку, полученную функцией meshgrid. Перед интерполяцией, каждый из указанных методов автоматически отображает входные данные в равномерно распределенную сетку. Если X и Y уже распределены равномерно, вы можете ускорить вычисления добавляя звездочку к строке метода, например, '*cubic'.
Сравнение методов интерполяции
Приведенный ниже пример сравнивает методы двумерной интерполяции в случае матрицы данных размера 7х7.
1. Сформируем функцию peaks на «грубой» сетке (с единичным шагом).
[x, y] = meshgrid(-3 : 1 : 3); z = peaks(x,y);
surf(x,y,z)
где функция meshgrid(-3:1:3) задает сетку на плоскостиx и y в виде двумерных массивов размера 7х7; функция peaks(x,y) является двумерной функцией, используемой в MATLAB-е в качестве стандартных примеров, а surf(x,y,z) строит окрашенную параметрическую поверхность. Соответствующий график показан ниже.
2. Создадим теперь более мелкую сетку для интерполяции (с шагом 0.25).
[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);
3. Осуществим интерполяция перечисленными выше методами.
zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
49
zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');
zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');
Сравним графики поверхностей для различных методов интерполяции.
surf(xi,yi,zi1) |
surf(xi,yi,zi2) |
surf(xi,yi,zi3) |
Метод ‘nearest’ |
Метод ‘bilinear’ |
Метод ‘bicubic’ |
Интересно также сравнить линии уровней данных поверхностей, построенных при помощи специальной функции contour.
contour(xi,yi,zi1) |
contour(xi,yi,zi2) |
contour(xi,yi,zi3) |
Метод ‘nearest’ |
Метод ‘bilinear’ |
Метод ‘bicubic’ |
Отметим, что бикубический метод производит обычно более гладкие контуры. Это, однако, не всегда является основной заботой. Для некоторых приложений, таких, например, как обработка изображений в медицине, метод типа ступенчатой интерполяции может быть более предпочтительным, так как он не «производит» никаких «новых» результатов наблюдений.
Анализ данных и статистика
В данном разделе будут рассмотрены некоторые основные возможности системы MATLAB в области анализа данных и статистической обработки информации. Помимо базовых функций, в системе MATLAB имеется также ряд специализированных пакетов, предназначенных для решения соответствующих задач в различных приложениях(на английском языке даны названия пакетов) :
·Optimization – Нелинейные методы обработки данных и оптимизация.
·Signal Processing – Обработка сигналов, фильтрация и частотный анализ.
·Spline – Аппроксимация сплайнами.
50
·Statistics – Углубленный статистический анализ, нелинейная аппроксимация и
регрессия.
·Wavelet - Импульсная декомпозиция сигналов и изображений.
Внимание ! MATLAB выполняет обработку данных, записанных в виде двумерных массивов по столбцам ! Одномерные статистические данные обычно хранятся в отдельных векорах, причем n-мерные векторы могут иметь размерность 1х n или nх1. Для многомерных данных матрица является естественным представлением, но здесь имеются две возможности для ориентации данных. По принятому в системеMATLAB соглашению, различные переменные должны образовывать столбцы, а соответствующие наблюдения - строки. Поэтому, например, набор данных, состоящий из 24 выборок 3 переменных записывается в виде матрицы размера 24х3.
Основные функции обработки данных
Перечень функций обработки данных, расположенных в директорииMATLAB-а datafun
приведен в Приложении 8 .
Рассмотрим гипотетический числовой пример, который основан на ежечасном подсчете числа машин, проходящих через три различные пункта в течении 24 часов. Допустим, результаты наблюдений дают следующую матрицу count
count = |
|
|
11 |
11 |
9 |
7 |
13 |
11 |
14 |
17 |
20 |
11 |
13 |
9 |
43 |
51 |
69 |
38 |
46 |
76 |
61 |
132 |
186 |
75 |
135 |
180 |
38 |
88 |
115 |
28 |
36 |
55 |
12 |
12 |
14 |
18 |
27 |
30 |
18 |
19 |
29 |
17 |
15 |
18 |
19 |
36 |
48 |
32 |
47 |
10 |
42 |
65 |
92 |
57 |
66 |
151 |
44 |
55 |
90 |
114 |
145 |
257 |
35 |
58 |
68 |
11 |
12 |
15 |
13 |
9 |
15 |
10 |
9 |
7 |
Таким образом, мы имеем 24 наблюдения трех переменных. Создадим вектор времени, t, состоящий из целых чисел от 1 до 24: t = 1 : 24. Построим теперь зависимости столбцов матрицы counts от времени и надпишем график:
51
plot(t, count)
legend('Location 1','Location 2','Location 3',0) xlabel('Time')
ylabel('Vehicle Count') grid on
где функция plot(t, count) строит зависимости трех векторов-столбцов от времени; функция legend('Location 1','Location 2','Location 3',0) показывает тип кривых; функции xlabel и ylabel надписывают координатные оси, а grid on выводит координатную сетку. Соответствующий график показан ниже.
Применим к матрице count функции max (максимальное значение), mean (среднее значение) и std (стандартное, или среднеквадратическое отклонение).
mx = max(count) mu = mean(count) sigma = std(count)
В результате получим
mx =
114 145 257
mu =
32.00 46.5417 65.5833
sigma =
25.3703 41.4057 68.0281
где каждое число в строке ответов есть результат операции вдоль соответствующего столбца матрицы count. Для определения индекса максимального или минимального элемента нужно в соответствующей функции задать второй выходной параметр. Например, ввод
52