t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';

y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';

plot(t,y,'o'); grid on

В следующих разделах мы рассмотрим три способа моделирования(аппроксимации) этих данных:

·Методом полиномиальной регрессии

·Методом линейно-параметрической (linear-in-the-parameters) регрессии

·Методом множественной регрессии

Полиномиальная регрессия

Основываясь на виде графика, можно допустить, что данные могут быть аппроксимированы полиномиальной функцией второго порядка:

y = a0 + a1t + a2t2

Неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом среднеквадратической подгонки (аппроксимации), которая основана на минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели. Мы имеем шесть уравнений относительно трех неизвестных,

представляемых следующей матрицей 6х3:

57

	X = [ones(size(t))		t t.^2]
X =	1.0000	0	0
	1.0000	0.3000	0.0900
	1.0000	0.8000	0.6400
	1.0000	1.1000	1.2100
	1.0000	1.6000	2.5600
	1.0000	2.3000	5.2900

Решение находится при помощи оператора \ :

a = X\y

a =

0.5318

0.9191 - 0.2387

Следовательно, полиномиальная модель второго порядка наших данных будет иметь вид

y = 0.5318 + 0.9191t – 0.2387 t2

Оценим теперь значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем кривую на график с исходными данными.

T = (0 : 0.1 : 2.5)';

Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a;

plot(T,Y,'-',t,y,'o'); grid on

Очевидно, полиномиальная аппроксимация оказалась не столь удачной. Здесь можно или повысить порядок аппроксимирующего полинома, или попытаться найти какую-либо другую функциональную зависимость для получения лучшей подгонки.

58

Линейно-параметрическая регрессия1

Вместо полиномиальной функции, можно было-бы попробовать так называемую линейнопараметрическую функцию. В данном случае, рассмотрим экспоненциальную функцию

y = a0 + a1℮-t + a2t℮-t

Здесь также, неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом наименьших квадратов. Составим и решим систему совместных уравнений, сформировав регрессионную матрицу X, и применив для определения коэффициентов оператор \ :

X = [ones(size(t)) exp(- t) t.*exp(- t)];

a = X\y

a =

1.3974

-0.8988

0.4097

Значит, наша модель данных имеет вид

y = 1.3974 – 0.8988℮-t + 0.4097t℮-t

Оценим теперь, как и раньше, значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем эту кривую на график с исходными данными.

Как видно из данного графика, подгонка здесь намного лучше чем в случае полиномиальной функции второго порядка.

1 Данная терминология не совсем соответствует принятой в русско-язычных изданиях.

59

Множественная регрессия

Рассмотренные выше методы аппроксимации данных можно распространить и на случай более чем одной независимой переменной, за счет перехода к расширенной форме записи. Допустим, мы измерили величину y для некоторых значений двух параметровx1 и x2 и получили следующие результаты

x1 = [0.2	0.5	0.6	0.8	1.0	1.1]' ;
x2 = [0.1	0.3	0.4	0.9	1.1	1.4]' ;
y = [0.17 0.26 0.28			0.23	0.27 0.24]' ;

Множественную модель данных будем искать в виде

y = a0 + a1x1 + a2x2

Методы множественной регрессии решают задачу определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 и a2 путем минимизации среднеквадратической ошибки приближения. Составим совместную систему уравнений, сформировав матрицу регрессии X и решив уравнения относительно неизвестных коэффициентов, применяя оператор \ .

X = [ones(size(x1)) x1 x2];

a = X\y

a =

0.1018

0.4844 -0.2847

Следовательно, модель дающая минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации имеет вид

y = 0.1018 + 0.4844x1 – 0.2847x2

Для проверки точности подгонки найдем максимальное значение абсолютного значения отклонений экспериментальных и расчетных данных.

Y = X*a;

MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr =

0.0038

Эта ошибка дает основание утверждать, что наша модель достаточно адекватно отражает результаты наблюдений.

60