Нейман часть 3

Определить комплексы действующих значений токов. Построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

		A I A			E A	1
				jxC		U AB
E A
			r			I B
		U nN			A
N			n		I A
		jxC r		r		Nn
					jxC j
	0	B I B			U CA	B
EC N
		E B			C
		C I C
					EC	U BC E B
						I C
		Рис. 2.4			Рис. 2.5

Решение

1. Фазные ЭДС генератора, соединенного звездой, образуют симметричную систему:

E e j0о

E e j120о

120о В ,

E

220

0о В ,

E

220

A

ф

В

ф

E e j120о

E

220

120о В .

С

ф

2. Комплексы сопротивлений фаз нагрузки

53,1о Ом .

Z A

Z B

ZC

r

jxC

6

j8 10

3. Нагрузка симметричная, следовательно, напряжение смещения

нейтрали U nN

0 . Токи в линиях (фазах нагрузки) равны между собой

по величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120о . Расчет токов достаточно выполнить только по одной фазе, напри-

мер, по фазе A :

	I A	E A	220			0о			о
								22	53,1 А .
		Z A	10		53,1о
			31

Соответствующие токи в фазах B и C получим с помощью фазного множителя:

I B

a

2

I A

e

j120о

22

о

22

66,9

о

А ,

53,1

I С

aI A

e

j120о

22

о

22

о

А .

53,1

173,1

Проверка решения по первому закону Кирхгофа:

I A I B I C 22 53,1о 22 66,9о 22 173,1о 0 .

4. Для построения совмещенной топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов (рис. 2.5) выбираем масштабы

напряжений и токов. Принимаем потенциал	N	0 (рис. 2.4). В вы-
бранном масштабе на комплексной плоскости		1, j строим сим-

метричную топографическую диаграмму напряжений. На диаграмме (рис. 2.5) строим векторы линейных (фазных) токов I A , I B и I C

с учетом углов сдвига фаз.

Так как напряжение между нейтральными точками генератора и нагрузки не возникает (U nN 0 ), топографические диаграммы напряжений генератора и нагрузки совпадают.

Задача 2.3

К трехфазному генератору (рис. 2.6) с действующими значениями фазных ЭДС Eф 127 В подключена симметричная нагрузка. Опреде-

лить комплексы действующих значений токов в фазах нагрузки, если

			A	I A	jxL			a
	E A					r		U
									a
	N				I N			n
EC			E B		r				r
					c				b
	N	0	B	I B	jxL	U	c	U	b
			C	I C	jxL

Рис. 2.6

32

сопротивления фаз r 16 Ом , сопротивления линейных проводников xL 12 Ом . Построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение

1. Фазные ЭДС генератора образуют симметричную систему. Комплексы действующих значений фазных ЭДС:

Eфe j0о

E A

127

0о

В ,

EВ

a2 E A

e j120о

127

127

120о

В ,

0о

e j120о

120о

В .

EС

aE A

127

0о

127

2. Наличие симметрии фаз указывает на равенство нулю тока в

нейтральном проводе ( I N

0 ). Напряжение между нейтральными точ-

ками генератора и нагрузки также не возникает – U nN 0 . Линейные (фазные) токи равны между собой по величине и сдвинуты относи-

тельно друг друга по фазе на угол 120о .

Комплекс действующего значения тока в фазе A :

I	A	E A	127		0о		6,35		36,9	о	А .
		r jxL	16 j12

Токи в фазах B и C получим с помощью фазного множителя:

I B

a2 I A

e

j120о 6,35

36,9о

6,35

156,9о А ,

j120о

I С aI A

e

6,35

36,9

о

6,35

о

83,1 А .

Проверка решения по первому закону Кирхгофа

I A I B

I C

6,35

36,9о

6,35

156,9о

6,35

83,1о 0 .

3. Построение совмещенной топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов приведено на рис. 2.7.

33

Предварительно рассчитаем напряжения на нагрузке:

U a	I A r	6,35		36,9о		16	101,6		36,9о В ,
U b I B r		6,35		156,9о		16	101,6		156,9о В ,
									83,1о В.
U с	I С r 6,35				83,1о	16	101,6

	Производим выбор масштабов напряжений и токов, принимаем
N	0 (рис. 2.6). В выбранном масштабе на комплексной плоскости

строим диаграммы напряжений генератора и нагрузки. С учетом углов сдвига фаз строим на диаграмме векторы линейных (фазных) токов

I A , I B и I C .

		E A	1
			I A
	I C		U a
		U c
j			Nn
		EC	E B
			U b
			36, 9о

I B

Рис. 2.7

Задача 2.4

Симметричный трехфазный генератор с фазными ЭДС Eф 220 В

питает симметричную нагрузку, соединенную в треугольник (рис. 2.8). Определить фазные и линейные токи схемы, если сопротивления фаз нагрузки соответственно равны r 28 Ом , xL 16 Ом . Построить со-

вмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

34

			A		I A			a
E A						I ca		jxL
		U CA				r
EC	N			U AB		jxL		r
		E B						I ab
						I bc	r
								jxL
						c		b
			B		I B
			C	U BC	I	C

Рис. 2.8

Решение

1.

Комплексы действующих значений фазных ЭДС генератора.

Пусть E A

EAe j0о

В ,

220

0о

e j120о

тогда

EВ

a2 E A

120о

В ,

220

0о

220

e j120о 220

0о

120о

В .

EС

aE A

220

2.

Комплексы действующих значений линейных напряжений:

U AB

E A

E B

0o

120о

30о

220

220

380

В,

120о

120о

90о

U BС

E B

EC

220

220

380

В ,

0o

150о

U СA

EС

E A

220

120о

220

380

В .

3.

Комплексные сопротивления фаз нагрузки:

Z ab Zbc

Z ca

r

jxL

28

j16

32, 25

29,7o Ом .

4. Фазные токи вычислим по закону Ома:

I ab

U AB

380

о

30о

Z ab

32, 25

29,7о

11,78

0,3 A ,

35

I

bc

U BC

380

90о

11,78

119,7

о

A

,

Z bс

32, 25

29,7о

U CA

I ca

380

150о

о

A .

Z ca

32, 25

29,7о

11,78

120,3

5. Комплексы действующих значений линейных токов вычислим через разности фазных токов по первому закону Кирхгофа:

I A

I ab

I ca

11,78

0,3о

11,78

120,3о

17,72

j10,11

20, 4

29,7о A ,

I B

I bc

I ab

11,78

119,7о 11,78

0,3о

17,62

j10, 29

20, 4

149,7о A ,

119,7о

I C

I ca

I bc

11,78

120,3о

11,78

0,11

j20, 4

20, 4

90,3o A .

Проверка решения по первому закону Кирхгофа:

I A I B I C 20, 4 29,7о 20, 4 149,7о 20, 4 90,3о 0 .

П р и м е ч а н и е. Для симметричной нагрузки токи в фазах равны между собой по величине, фазовый сдвиг между ними составляет 120 . Достаточно было вычислить по закону Ома ток только одной фазы:

		U	AB		380		30о			о
I ab		Z ab		32,25			29,7о		11, 78	0,3 A .

Токи двух других фаз вычисляются с помощью фазного множителя:

I bc	a2 I ab	e j120о	11,78		0,3о	11,78			119,7о А ,
		e j120о
								120,3о А .
I cа	aI ab		11, 78	0,3о		11, 78
			36

Линейные токи по величине в 3 раз больше фазных токов Iл 3 Iф

и отстают от фазных токов на угол 30о . На основании найденного значения фазного тока I ab комплексные значения линейных токов тогда составят:

j30о

0,3о 1

30о

29, 7о A ,

I A

3Iab e

3

11, 78

20, 4

j120о

I

B

a2 I

A

e

20, 4

29,7

20, 4

149,7о A ,

e j120о

I C

aI A

20, 4

29, 7

20, 4

90,3о A .

6. Для построения совмещенной топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов выбираем масштабы напряжения и тока (рис. 2.9). Потенциал нейтральной точки N (рис. 2.8) при-

нимаем равным нулю (	N	0 ). В выбранном масштабе на

комплексной плоскости строим векторы фазных ЭДС E A , E B , EС и линейных напряжений U AB , U BС , U СA . Так как сопротивления ли-

нейных проводов, соединяющих генератор и нагрузку, равны нулю, то топографические диаграммы напряжений генератора и нагрузки совпадают.

			1
	I C		A, a
	I bc	I ca
				I ca
			U AB
	U	CA	E A	I A
j			Nn	I ab
		EC	E B
C, c			U BC	B, b
		I bc		29, 7о
			I ab

I B

Рис. 2.9

		1
		A, a
	I ca				29, 7о
		E A	U AB
	U CA
j		Nn
	EC		E B		I ab
			I A				I B
C, c					B, b
		U BC	I		I
	I bc			ca		bc

I C

Рис. 2.10

37

Построение векторной диаграммы токов начинаем с фазных токов I ab , I bc и I ca , которые отстают по фазе относительно фазных (линей-

ных) напряжений U AB , U BС

и U СA

на углы

29,7о . Векторы ли-

нейных токов I A ,

I B и I С

строим как геометрическую разность фаз-

ных токов нагрузки соответствующих фаз и примыкающего к ним

линейного проводника.

П р и м е ч а н и е. При построении векторной диаграммы можно вос-

пользоваться иным расположением векторов токов, представленным в качест-

ве примера на рис. 2.10. Фазные токи I ab ,

I bc , I ca

с учетом углов сдвига их

фаз располагают в виде лучевой диаграммы, а затем достраивается треуголь-

ник линейных токов I A , I B и I С .

Задача 2.5

Симметричный трехфазный генератор с фазными ЭДС Eф

220 В ,

соединенными в треугольник, питает симметричную нагрузку, также

соединенную в треугольник (рис. 2.11). Определить комплексы дейст-

вующих значений фазных и линейных токов, если фазные сопротивле-

ния

нагрузок

xн

36 Ом ,

сопротивления

линейных

проводников

rл

28 Ом , xл

24 Ом .

A

rл

jxл

I A

a

I ca

EC

E

A

jxн

jxн

I bc

jxн

I ab

b

B

rл

jxл I

c

EB

B

C

rл

jxл

I C

Рис. 2.11

38

Решение

1. Выполним замену соединения фазных ЭДС генератора с треугольника на звезду (рис. 2.12):

EI

Eф

220

127 В .

ф

3

3

E I

E I e j0о

Предположим, что

127

0о В ,

тогда

A

ф

EBI

a2 E A

e

j120о

127

127

120о

В ,

0o

e j120о

ECI

aE A

120о

В .

127

0о

127

2. Треугольник сопротивлений нагрузки преобразуем в эквива-

лентную звезду (рис. 2.12):

xI

xн

36

12 Ом .

н

3

3

Комплексы сопротивлений фаз

Z

A

Z

B

Z

C

r

jx

л

jxI

28

j24 j12

л

н

28j12 30, 46 23, 2о Ом .

4.Комплексы действующих значений линейных токов

I A	EIA		127 0о	4,17		23,2	о	А .
	Z A	30,46 23,2о
	I
	E A							I
		A	rл	jxл	I A	a		jxн
	I
	E B							I
		B	rл	jxл	I B	b		jxн
N								n
	I
	EC							I
		C	rл	jxл	I C	c		jxн
			Рис. 2.12
			39

Комплексы линейных токов в фазах В и С получим с помощью фазного множителя

I B	a2 I A	e j120о	4,17		23, 2о	4,17		143, 2о A ,
		e j120о
I C	aI A		4,17		23, 2о	4,17		96,8о A .

5. Возвращаясь к исходной схеме (рис. 2.11), имеем в виду, что для случая симметричной нагрузки фаз векторы фазных токов в 3 раз

меньше линейных токов ( Iф																				Iл
																										3 )				и опережают по фазе векторы
линейных токов на угол 30о :
	I						I A						e	j30о	4,17									23, 2о					1				30					о	2, 41				6,8	о		А ,
		ab
							3											3
I			I B					e			j30о				4,17				143, 2о																о												о
	bс																											1			30								2, 41		113, 2							А ,
			3															3
	I ca				I C							e		j30о	4,17					96,8о														о										о
																											1			30									2, 41	126,8						А .
							3											3

Задача 2.6

Две симметричные трехфазные нагрузки, соединенные в звезду и треугольник, подключены через трехпроводную линию к выводам симмет-

ричного генератора с линейным напряжением Uл	380 В (рис. 2.13).
Определить показания амперметров электромагнитной системы,
установленных в схеме, если r 4 Ом , xL	10 Ом , xн1 9 Ом ,
xн2 12 Ом .

Решение

1. Действующие значения фазных напряжений генератора

Uф	Uл			380				220 В .
	3			3
				40