Тема 2. Система сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 9). Так как сила – вектор скользящий, то эти силы можно перенести вдоль линий их действия в точку пересечения. Тогда мы делаем переход от системы сходящихся сил к системе сил пересекающихся в одной точке (рис. 10).

Рис. 9 Рис.10

Далее, рассматривая уже систему сил пересекающихся в одной точке, мы можем заменить эту систему сил равнодействующей. Складываем эти силы на основании аксиомы 3. Сложение можно проводить геометрическим или аналитическим способами.

а) Геометрический способ сложения сил

Этот способ сложения применим в основном для случаев, когда слагаемые силы расположены в одной плоскости. Допустим, нам нужно сложить четыре силы, пересекающиеся в точке (рис. 11). Откладываем из точки, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы , затем из конца вектора откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы , затем из конца вектора откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы и из конца вектора откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы . Получили ломаную линию (рис. 12). Вектор, соединяющий начальную и конечную точки этой ломаной линии, будет по модулю и направлению определять равнодействующую данной системы сил (рис. 13).

12

Рис. 11 Рис.12 Рис.13

По этому принципу можно складывать любое количество сил. Ломаная линия, получаемая в процессе сложения сил, называется силовым многоугольником, а само правило сложения сил называется правилом силового многоугольника.

б) Аналитический способ сложения сил

При этом способе делается переход от векторов к зависимостям между их проекциями на основании теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Допустим, требуется сложить систему сил. Расписывая эти силы через их проекции на оси координат, получаем

,

,

……………………..

.

Затем, складываем коэффициенты при соответствующих орт-векторах получаем и зависимость для определения равнодействующей этой системы сходящихся сил

. (1)

Коэффициенты, стоящие при соответствующих орт-векторах в зависимости (1), представляют собой проекции вектора на оси координат, а направление этого вектора будет определяться направляющими косинусами:

, ,

, ,. (2)

, ,

Зависимости (2) позволяют решать задачи о сложении сил аналитически.

13

Условия равновесия системы сходящихся сил

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю (). Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

2. Аналитическое условие равновесия. . Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то выражение обратится в ноль только тогда, когда одновременно,,или

, ,. (3)

Равенства (3) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей были равны нулю.

Из полученных условий равновесия можно получить следствие. Правило трех сил: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, лежащих в одной плоскости, две из которых пересекаются в одной точке, то линия действия третьей силы проходит через точку пересечения первых двух сил.

Складываем две силы и . Получаем равнодействующую этих сил . Тогда тело находится в равновесии под действием двух сили . А это возможно, только если эти силы прямопротивоположные (аксиома 1). Значит, линия действия силы проходит через точку (рис. 14).

Рис. 14

14