3.3. Теорема о пределе промежуточной функции.
ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)
Если 
на 
и существуют 
и 
и
их значения конечны и равны, то существует
предел промежуточной функции 
и
его значение совпадает со значением
пределов оценивающих слева и справа
функций.
Доказательство
рекомендуем построить самостоятельно,
используя
определение предела по Коши для
функций 
и 
при 
.
ТЕОРЕМА (об арифметике функций, имеющих конечный предел в одной и той же точке)
Пусть
функции 
и 
при 
имеют
конечные пределы, т.е. 
, 
, 
и 
–
конечные числа.
Тогда
при 
имеет
конечный предел каждая из функций:
1) 
;
2) 
; 3) 
(при 
).
Доказательство. 1. Операция сложения функций определяется поточечно. Утверждение верно для произвольного конечного множества функции. Здесь рассматривается сумма двух функций.
Имеем 
,
т.е. для всякого 
(в
частности, для 
)
существует 
так, что 
.
Аналогично
(
)
(
,
).
Рассмотрим
и оценим: 
на 
.
Итак, 
,
т.е. по определению предела 
–
конечное
число,
причем предел СУММЫ функций равен СУММЕ
пределов слагаемых функций, если предел
каждой слагаемой функции – конечное
число.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существование конечного предела суммы функций не определяет существование предела каждого слагаемого.
4 Вопрос: Первый и второй замечательные пределы. Предел функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.
4.1. Первый и второй замечательные пределы.
*В лекциях мы кроме, как символьной формулировки первого и второго замечательных пределах не писали, так что они не должны требовать доказательства.
http://www.xn--80aaenbrolc2dd.xn--p1ai/pervyj-i-vtoroj-zamechatelnye-predely/
http://www.bez-dvoek.ru/matem/dif/dif18.html
Здесь вы найдете подробные доказательства.
4.2. Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Запись этого факта:
Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число bназывается пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Записывается это так:
4.3. Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Виды асимптот
Прямая 
называется вертикальной
асимптотой графика
функции 
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
или 
.
Замечание. Прямая 
не
может быть вертикальной асимптотой,
если функция непрерывна
в точке 
.
Поэтому вертикальные асимптоты следует
искать в точках разрыва функции.
Прямая 
называется горизонтальной
асимптотой графика
функции 
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
.
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Прямая 
называется наклонной
асимптотой графика
функции 
,
если
Нахождение наклонной асимптоты
(В условиях существования наклонной асимптоты)
Если
для функции 
существуют
пределы 
и 
,
то функция имеет наклонную асимптоту 
при 
.
Горизонтальная
асимптота является частным случаем
наклонной при 
.
Если
при нахождении горизонтальной асимптоты
получается, что 
,
то функция может иметь наклонную
асимптоту.
Кривая 
может
пересекать свою асимптоту, причем
неоднократно.
Пример:
Задание. Найти
асимптоты графика функции 
Решение. Область определения функции:
а)
вертикальные асимптоты: прямая 
-
вертикальная асимптота, так как
б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:
то есть, горизонтальных асимптот нет.
в)
наклонные асимптоты 
:
Таким
образом, наклонная асимптота: 
.
Ответ. Вертикальная
асимптота - прямая 
.
Наклонная
асимптота - прямая 
.