- •1 Вопрос: Предел функции в точке. Геометрический смысл. Односторонние пределы.
- •1.2. Односторонние пределы
- •2 Вопрос: Бесконечно малые функции и их свойства. Эквивалентные бесконечно малые. Бесконечно большие функции. Вертикальные асимптоты графика функции.
- •2.1. Бесконечно малые и их свойства.
- •2.2. Эквивалентные бесконечно малые.
- •2.3. Бесконечно большие функции.
- •2.4. Асимптоты графика функции.
- •3 Вопрос: Арифметические действия с пределами. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции.
- •3.1. Арифметические действия с пределами.
- •3.2. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
- •3.3. Теорема о пределе промежуточной функции.
- •4.1. Первый и второй замечательные пределы.
- •4.3. Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Виды асимптот
- •5 Вопрос: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •10 Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.
- •11 Вопрос: Правило Лопиталя:
- •12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции:
- •13 Вопрос: Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •14 Вопрос: Общая схема исследования функций и построения графика. Формула Тейлора.
- •18 Вопрос: Уравнение плоскости в пространстве.
- •19.Уравнение прямой в пространстве.
- •20 Вопрос: Кривые II порядка.
- •21 Вопрос: Поверхности II порядка. Уравнения поверхностей второго порядка
- •22 Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка.
19.Уравнение прямой в пространстве.
20 Вопрос: Кривые II порядка.
21 Вопрос: Поверхности II порядка. Уравнения поверхностей второго порядка
Эллипсоид a, b, c — полуоси
|
|
Сфера (частный случай эллипсоида)
|
|
Однополостный гиперболоид c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси |
|
Двуполостный гиперболоид c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси |
|
Конус Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат
|
|
|
|
Эллиптический параболоид
|
|
|
|
Гиперболический параболоид
|
|
|
|
Эллиптический цилиндр a и b — полуоси |
|
|
|
Гиперболический цилиндр |
|
Параболический цилиндр p — фокальный параметр |
|
22 Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка.
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, где,,
,
состоящая из строк истолбцов.
Определение. Суммой матрициразмераназывается матрицатого же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицА и В: ,,.
Определение. Произведением αА матрицы на число α называется матрица, элементы которой.
Пример 7. Вычислить 3А+2В, если
, .
Решение. Вычислим ,. Тогда.
Определение. Произведением АВ матрицы размерана матрицуразмераназывается матрицаразмера, элемент которой, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В:
,
.
Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Умножим элементы первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и сложим все произведения. Полученный элемент поставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Далее вычислим остальные элементы произведения матриц.
.
Матрицу называют единичной. Легко проверить, что, если, конечно, число столбцов матрицыА равно числу строк матрицы Е, и ЕА=А.
Если матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов, то ее называют квадратной.
Определение. Определителем квадратной матрицы А называется определитель, составленный из ее элементов.
Обозначают определитель матрицы А либо det A (от слова детерминант, т.е. определитель), либо |A|, либо D.
Определение. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрицу называют вырожденной.
Определение. Матрица такая, что, называется обратной матрицеА.
Если А – невырожденная матрица, то существует и при этом единственная матрица, обратная к матрице А. При этом , где- алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы.
Замечание. Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А располагают в столбцах с теми же номерами, что и строки данной матрицы А.
Пример 9. Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение. Вычислим
Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:
, ,
,
, ,
,
, ,
.
Имеем .
22.2 Определители 2 и 3 порядка.
Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:
.
Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).
Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.
Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.
Определитель II порядка вычисляется по формуле:
Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:
Основные свойства определителей:
1.1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
1.3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
2. Алгебраическое дополнение и минор. Элементарные преобразования. Вычисление определителей n-го порядка (n >4)
Минором к элементу называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.
Алгебраическое дополнение – минор с соответствующим знаком, т.е.
.
Вычисление определителей n-го порядка выполняется по формуле:
т.е. определитель представляется в виде разложения по элементам -й строки.
Пример
Вычислить определитель IV порядка: