5 Вопрос: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

6 Вопрос: Арифметические действия с непрерывными функциями. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.

7 вопрос: Свойства функции, непрерывной на отрезке.

8 Вопрос: Понятие производной. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

9 Вопрос: Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцирование суммы, произведения и частного.

Пусть функция определена на отрезке [а; b]

Определение.

Функция называется дифференцируемая в точке x о , которая принадлежит отрезку

[a;b ] , если ее приращение в этой точке представлено в виде: ∆y = A∆x + α (∆x) ∙ ∆x, где А – число, независящее от ∆x, а α(∆x) → 0 при ∆x → 0.

Определение.

Если функция дифференцируема в точке x о, то часть приращения А ∙ ∆x при А≠0 называется дифференциалом функции и обозначается "dy". Если А≠0, то дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке:

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная.

∆y = A∆x + α (∆x) ∙ ∆x

А= f '( Хо) следовательно dy = f ' (Xо) ∙ ∆х

Принято писать так:

dy = f ' (x) ∙ dx — дифференциал в точке

Теорема о дифференцировании суммы, произведения. Частного.

Если две функции U (x) b V (x) имеют производную в точке x, то в этой точке имеют производные их суммы, произведения и частное при V ≠ 0.

При этом справедливы следующие формулы:

1. (U ± V) ' = U ' ± V’

2. (U∙ V)' = U ' ∙ V + V ' ∙ U

3. (U/V) ' = U ' ∙ V – U ∙ V ' / V^2, при V ≠ 0

Доказательство (через определение ):

(ℓ - предел )

y = U + V

∆y = ∆ (U + V) = ( U + ∆U + V + ∆V) – (U + V) = ∆U + ∆V

∆y/∆x = ∆U/∆x + ∆V/∆x

ℓ (∆U/∆x + ∆V/∆x) = ℓ ∆U/∆x + ℓ ∆V/∆x = U ' + V’

∆x→0 ∆x→ 0 ∆x→ 0

Таблица производных:

10 Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема .

Если функция U (x) – дифференцируема в точке Хо, а функция y = f (U) – дифференцируема в соответствующей точке U = U (Xo), то сложная функция y (f (U (x))) дифференцируема в точке Хо и f ' (U (x)) в точке Х = Хо = f ' (Uo) ∙ U' (Xo). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных всех ее звеньев.

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от, которое при дифференцировании последует рассматривать как постоянный множитель.

Теорема Ролля.

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b], f (х) дифференцируема на ( а;b).

f (a) = f (b), следовательно существует по крайней мере одна точка ζ принадлежащая ( а;b) , в которой производная ( f ' (ζ )) = 0.

Геометрический смысл:

Если значения функции на концах отрезка равны и выполняется условие теоремы Ролля, то найдется точка, в которой касательная параллельна ОХ.

Теорема Лагранжа.

Если:

f (x) непрерывна на [ а;b] и f (x) дифференцируема на ( а; b ), то найдется по крайней мере одна точка ζ , принадлежащая (а;b), такая что f ' (ζ) =( f (b) – f (a) )/ (b – a)

Геометрический смысл:

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой параллельна секущей.

Эта теорема более общая по отношению к теореме Ролля.

Теорема Коши. ( еще более общая ).

Если: f(x) непрерывна на [а;b]

g (x) непрерывна на [а;b]

f (x) дифференцируема на (а;b)

g(x) дифференцируема на (а;b)

g ' (x) ≠ 0, то существует по крайней мере одна точка ζ, такая что:

f(b) – f(a) / g(b) – g(a) = f ' (ζ) / g ' (ζ) — формула Коши.

Замечание.

Теорема Лагранжа является следствием теоремы Коши. Если g (x) = x, тогда g '(x) = 1, следовательно: f(b) – f(a) / b – a = f ' (ζ) / 1