- •1 Вопрос: Предел функции в точке. Геометрический смысл. Односторонние пределы.
- •1.2. Односторонние пределы
- •2 Вопрос: Бесконечно малые функции и их свойства. Эквивалентные бесконечно малые. Бесконечно большие функции. Вертикальные асимптоты графика функции.
- •2.1. Бесконечно малые и их свойства.
- •2.2. Эквивалентные бесконечно малые.
- •2.3. Бесконечно большие функции.
- •2.4. Асимптоты графика функции.
- •3 Вопрос: Арифметические действия с пределами. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции.
- •3.1. Арифметические действия с пределами.
- •3.2. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
- •3.3. Теорема о пределе промежуточной функции.
- •4.1. Первый и второй замечательные пределы.
- •4.3. Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Виды асимптот
- •5 Вопрос: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •10 Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.
- •11 Вопрос: Правило Лопиталя:
- •12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции:
- •13 Вопрос: Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •14 Вопрос: Общая схема исследования функций и построения графика. Формула Тейлора.
- •18 Вопрос: Уравнение плоскости в пространстве.
- •19.Уравнение прямой в пространстве.
- •20 Вопрос: Кривые II порядка.
- •21 Вопрос: Поверхности II порядка. Уравнения поверхностей второго порядка
- •22 Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка.
11 Вопрос: Правило Лопиталя:
Теорема
Пусть f(x) и g(x) имеют производную f’(x) и g'(x) ( не равных нулю) в некоторой окресности точки х0 ,кроме быть может самой точки х0 и существ. limf(x) при x-> x0 и limg(x) при x->x0
Теорема Лопиталя:
либо ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности;
в проколотой окрестности ;
существует ,
тогда существует .
12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции:
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки ;
или не существует;
производная при переходе через точкуменяет свой знак.
Тогда в точке функцияимеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точкупроизводная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точкупроизводная меняет свой знак с плюса на минус.
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки ;
первая производная в точке;
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если, то в точкефункцияимеет минимум; если, то в точкефункциядостигает максимум.
Необходимое условие экстремума
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке, то ее производнаялибо равна нулю, либо не существует.
13 Вопрос: Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
График функции , дифференцируемой на интервале, является на этом интервалевыпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале, является на этом интервалевогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Теорема
(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция определена на интервалеи имеет непрерывную, не равную нулю в точкевторую производную. Тогда, есливсюду на интервале, то функция имеетвогнутость на этом интервале, если , то функция имеетвыпуклость.
Определение
Точкой перегиба графика функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция имеет перегиб в точке, тоили не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
первая производная непрерывна в окрестности точки ;
вторая производная или не существует в точке;
при переходе через точку меняет свой знак,
тогда в точке функцияимеет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
Найти вторую производную функции.
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Пример
Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
Решение. Найдем вторую производную заданной функции:
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :
Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Так как на промежутке вторая производная, то на этом промежутке функциявыпукла; в силу того, что на промежуткевторая производная- функция вогнута. Так как при переходе через точкувторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.
Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.
На промежутке функция выпукла, на промежуткефункция вогнута.