Глава 3. Плоская система сил

3.1. Условия равновесия плоской системы сил

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил системы на оси координат и сумма моментов всех сил относительно любой точки равнялась бы нулю, т.е.

	(1.11)
	(1.12)
	(1.13)

Выполнение условий равновесия отражает то физический факт, что тело под действием данной системы сил не перемещается вдоль осей 0xи 0yи не вращается относительно начала координат – точки 0 (она выбрана произвольно).

Пример 1.3.На балкуABдействует равномерно распределенная нагрузка с интенсивностьюq = 50 Н/м (рис. 1.28). Пренебрегая весом балки определить величину реакции жесткой заделки, еслиAC = AB = 1 м.

Решение.Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой. Составим на основе условий равновесия (1.11 – 1.13) уравнения равновесия балки предварительно заменив жесткую заделку ее реакциями,и:

; ;.

Сосредоточенная сила условно считается приложенной в точке D, причемCD = DB. Тогда,

3.2. Приведение плоской системы сил к данному центру

Докажем необходимость и достаточность условий равновесия (1.11)-(1.13). Для этого возьмем любую произвольную плоскую систему сил, и, пользуясь теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все заданные силы в точку О.

Дано: требуется упростить данную систему сил (рис. 1.29,а). Перенесем все силы параллельно самим себе в произвольную точку 0, добавив при этом присоединенные пары сил, моменты которых равны моментам заданных сил относительно центра приведения 0.

Таким образом после переноса всех сил в точку 0 мы получили систему 2nпараметров. Так как все силы пересекаются в одной точке О, то их всегда можно сложить по аксиоме 3 и заменить одной силой, которая называется главным вектором системы:

(1.14)

Так как присоединенные пары сил расположены в одной плоскости, то их можно сложить и заменить одной парой сил, момент которой называется главным моментом системы M₀:

(1.15)

Вывод. Любую плоскую систему сил всегда можно заменить одной силой – главным вектором – и одной парой сил – главным моментом М₀ (рис. 1.29,б).

Случаи приведения плоской системы сил

1. R0; М₀=0– случай равнодействующей.

В этом единственном случае главный вектор системы является ее равнодействующей.

2. R=0; М₀– случай результирующей пары сил. В этом единственном случае величина и направление главного момента не зависят от выбора центра приведения.

3. R;M₀– общий случай. Можно показать, что общий случай всегда можно привести к одной равнодействующей в новом центре приведения.

4. R=0;M₀=0– случай равновесия плоской системы сил.

Очевидно, для того, чтобы имел место случай 4, необходимо и достаточно, чтобы для заданной системы сил выполнялись условия (1.11)-(1.13).

3.3. Приведение произвольной плоской системы сил к равнодействующей

Найдем такую точку , в которой заданная система сил приводится к равнодействующей (рис. 1.30).

Воспользуемся теоремой о параллельном переносе силы.

Перенесем главный вектор в точку , при этом расстояние выберем из условия:

.

(1.16)

Силу Rв точке обозначим и добавим присоединенный момент

.

(1.17)

Из сравнения (1.16) и (1.17) следует, что главный моменти присоединенный моментравны по величине и противоположны по направлению, т.е. в сумме они дают 0. Следовательно является равнодействующей данной системы сил.

Очевидно, изложенный метод может быть применен всегда, т.е. произвольную плоскую систему сил можно привести либо к равнодействующей (случай 1), либо к паре сил (случай 2).