3.4. Равновесие системы тел

В реальных условиях в равновесии как правило находится система тел, связанных между собою известным образом. Т.к. вся система тел находится в равновесии, то, очевидно, каждое из тел, входящих в систему, также находится в равновесии и для каждого из этих тел можно записать условия равновесия (1.11)-(1.13). Это позволит определить внутренние реакции связей. Следовательно, в общем случае число уравнений равновесия будет равно S=k*n, гдеk- число условий равновесия для одного тела.n– число тел.

Пример 1.4.Определить реакции шарнировA,B,C, для конструкции, изображенной на рис. 1.31.

Рассмотрим равновесие системы двух тел для которых:

Составим уравнения равновесия:

	(а)
	(б)
	(в)

Так как в этих уравнениях содержится 4 неизвестных, то для увеличения числа уравнений рассмотрим отдельно равновесие тела АС (рис. 1.32):

	(г)
	(д)
	(е)

Из уравнений (а)-(е) найдем:

Так как некоторые проекции реакций получились с минусом, то в действительности они направлены в сторону противоположную указанной на рис. 1.31 и 1.32.

Пример 1.5.Механизм робота-манипулятора состоит их трех звеньев, которые в положении равновесия расположены в вертикальной плоскости (рис. 1.33). Определить моменты сил приводов в шарнирахA,B, С, если длины звеньевl₁ = 0,8 м,l₂ = 0,5 м,l₃ = 0,3 м, их массы,,. Рука манипулятораCDнесет груз массой. Звенья считать однородными стержнями;,.

Решение.Для определения момента в шарниреCрассмотрим отдельно равновесие рукаCD. Очевидно, для определениядостаточно найти сумму моментов действующих на звено 3 сил и прировнять ее нулю. Заметим, что реакции шарнираCx_Cиy_Смомента относительно точкиCне не создают ()на рисунке они не показаны. Тогда

.

Аналогично для звеньев 2 и 3 имеем:

Решая полученные уравнения относительно искомых моментов, получим:

; ;.

3.5. Равновесие тел при наличии трения

3.5.1. Трение скольжения

Сопротивление, которое возникает при стремлении перемещения одного тела по поверхности другогоназывается силой трения скольжения.

Силу трения определяют в соответствии с законами Амонтона – Кулона.

1. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможному смещению.

2. Предельная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению

(1.18)

где - статический коэффициент трения.

3. В общем случае сила трения отвечает условию

   (1.19)

4. Для большинства трущихся поверхностей можно считать, что сила трения не зависит от скорости их скольжения.

Коэффициент трения зависит от материала поверхностей, их состояния (обработки), наличия смазки. Обычно считают, что коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся тел и их скорости. Коэффициенты трения для различных тел определяют экспериментально.

Пример 1.6.Определить предельное значение силыQ, при котором тело будет находиться в покое на наклонной плоскости, если коэффициент трения скольжения тело по наклонной плоскости равенf(рис. 1.34).

Решение. Тело должно находится в покое под действием силы, силы тяжести, нормальной реакциии силы трения. Возможны два случая нарушения покоя тела: 1) если силапревышает некоторое предельное значение, то возможно движение тела вверх и тогда сила тренияTбудет направлена вниз (рис. 1.34,а); 2) если же силабудет меньше предельной величины, то возможно движение тела вниз и тогда сила трение будет направлена вверх (рис. 1.34,б).

Условия равновесия приложенных к телу сил в первом и втором случаях в проекциях на ось 0xимеют вид:

; ,

откуда ,

.

Таким образом тело будет находиться в покое, если сила будет отвечать неравенству

Из полученного ответа следует, что при наличии трения условия равновесия записываются в виде неравенств.

При отсутствии в рассмотренном примере силы тело будет находиться в покое на наклонной плоскости приили. В предельном случае

(1.20)

На основе зависимости (1.20) можно определять статические коэффициенты трения с помощью простого прибора – наклонной плоскости, на которой закрепляют испытуемый материал. Угол, определяемый из выражения , называетсяуглом трения.

С углом трения связана важная характеристика физико-механических свойств любого сыпучего материала – угол естественного откоса.

Углом естественного откосаназывается наибольший угол наклона откоса к горизонту, при котором частица сыпучего материала, находящаяся на откосе, остается в покое (рис. 1.35). Очевидно, угол естественного откосаопределяется из выражения

		(1.21)
где–	коэффициент внутреннего трения т.е. взаимного трения частиц сыпучего материала.