Позиционные системы счисления

Позиционной называется система счисления, в которой значения каждой цифры числа зависит от месторасположения в ряду других, составляющих его.

Представление чисел в позиционных системах может выполнятся в двух вариантах:

• компактном;

• развернутом.

Структура компактного представления:

где i– индекс, определяющий разряд конкретной цифры в ряду других составляющих число;

a_i – цифра алфавита системы счисления;

,- разделитель, определяющий начало целой и дробной части числа;

a₀– нулевой разряд единиц.

Нулевой разряд позволяет отсчитать все последующие, с фиксированным увеличением каждого на единицу.

В качестве цифр алфавита любой позиционной системы используются арабские: 0, 1, 2, …, 9, а затем заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, …, если цифр более десяти. Отличие каждой позиционной системы от любой другой определяется количеством цифр в алфавите. Анализ записанных чисел не позволяет оценить их реальное значение до тех пор, пока не ясно, в какой системе счисления они записаны. Эта неопределенность ликвидируется записью справа внизу от числа индекса конкретной системы счисления. При отсутствии индекса числа считаются представленными в традиционной для человека десятичной системе счисления. Для характеристики конкретной системы счисления, помимо количества цифр, используют основание системы.

Основание системы счисления (Р) – величина, определяющая конкретную систему счисления по отношению к любой другой.

Основание определяет:

• количество цифр в алфавите;

• разность значений двух смежных разрядов.

Иначе говоря, основные характеристики системы. Использование основания позволяет получить полную развернутую запись любого числа в виде полинома со структурой:

,

где a_i– цифра алфавита конкретной системы счисления;

P– основание системы счисления;

i – под или надстрочный индекс, определяющий номер конкретного разряда в ряду других.

Внимание! Численное значение основания Р формируется для любой системы из двух первых цифр алфавита, записанных в обратном порядке, т.е. Р=10, т.к. первые 2 цифры в любой позиционной системе есть 0 и 1. Правило работает для основания, записанного в своей родной позиционной системе. Запись значения основания любой системы счисления в традиционной для человека десятичной системе оформляется соответствующим десятичным числом с указанием индекса. Например, основание восьмеричной системы может быть записано: Р=10₈=8₁₀. Исходя из изложенного можно сделать вывод, что в качестве основания системы счисления можно использовать любое значение Р в диапазоне:

Внимание! Все позиционные системы формируют, представляют и обрабатывают числа по идентичным правилам, аналогичным рассмотренным для десятичной системы в средней школе. Рассмотрим примеры некоторых позиционных систем:

Десятичная система:

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Знаки: «+», «-».

Знаки разделителя: «,», «.».

Первые 16 целых положительных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14₁₀.

Пятеричная система:

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4.

Знаки: «+», «-».

Знаки разделителя: «,», «.».

Первые 10 целых положительных чисел: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14₅.