Выполнение деления

Операция выполняется по аналогии с операцией умножения, при этом деление сводится к совокупности последовательных вычитаний со сдвигом вправо. Если деление на цело невозможно, то результат есть приближенная величина, причем степень приближения (количество знаков после запятой) зависит от пользователя в соответствии с условиями задачи.

Лекция №9 перевод чисел из одной системы счисления в другую

Человечество в процессе своего развития использовало различные позиционные системы счисления: пятеричную, десятичную, двенадцатиричную. Создание вычислительной техники привело к необходимости использования систем счисления кратных 2ⁿ: двоичной, восьмеричной, шестнадцатиричной., поэтому возникла необходимость в создании правил перехода чисел из любой позиционной системы в любую другую. В принципе, разработаны различные методики преобразования. Объединим их в 2 подгруппы:

• универсальная;

• частные случаи.

Назовем старую систему, т.е. систему из которой выполняется перевод Р-ичной, а систему в которую он выполняется Q-ичной, тогда универсальная методика перевода чисел из Р-ичной системы вQ-ичную представляется тремя компонентами:

• общий;

• для целых чисел;

• для правильных дробей.

Общая методика:

• представить Р-ичное число двумя операндами, т.е. в виде целой и дробной части (правильной дроби);

• произвести перевод каждого из операндов в новую Q-ичную систему по конкретным правилам;

• сформировать представление числа в новой Q-ичной системе, записав через разделитель полученное изображение целой и дробной части.

Методика преобразования целых чисел (целочисленного операнда):

• разделить на цело Р-ичное число на основание новой Q-ичной системы, записанное в Р-ичном изображении, результат деления: целое число (частное) и остаток;

• зафиксировать остаток и представить его цифрой новой системы;

• проанализировать частное, если оно больше или равно основания системы, то повторить предыдущие пункты, используя частное, как целое число, подлежащее переводу; если частное меньше основания системы, то деление прекратить;

• сформировать результат перевода, как число, старшим разрядом которого является последнее из получаемых частных, а следующие остатки дописать в порядке, обратном получению в виде цифр новой Q-ичной системы.

Универсальное правило перевода правильных дробей:

• умножить переводимую дробь на основание новой системы Q, записанное в старой Р-ичной системе;

• зафиксировать целую часть полученного результата и представить ее цифрой новой системы; проанализировать оставшуюся дробь и если она равна нулю, то прекратить вычисление, в противном случае повторить предыдущие пункты, не переведется нацело, либо до достижения заданной точности (количества зафиксированных цифр;

• сформулировать полученное значение в новой Q-ичной системе структуры: 0,n₁n₂…n_m, где используются в качестве разрядов после разделителя зафиксированные цифры новой системы счисления (n_i) в порядке их получения, т.е.n₁– результат первого вычисления,n₂– второго и т.д.

Универсальность методики компенсируется одним недостатком, т.е. неудобством для человека вычислений в любых системах, кроме десятичной. Поэтому на практике универсальным методом пользуются только для перевода чисел из системы с основанием Р=10 в Q-ичную систему с основанием. Для обратного перевода чисел из системыв системуQ=10 используют простейший частный случай с методикой:

• представить переводимое число в виде полинома в новом десятичном изображении;

• свернуть полученный полином.

Примеры:

1. 47,4₁₀перевести в двоичную систему.

47,4₁₀=47₁₀+0,4₁₀

47₁₀2₁₀

46₁₀23₁₀ 2₁₀

1₁₀22₁₀ 11₁₀ 2₁₀

1₁₀ 10₁₀5₁₀2₁₀

1₁₀4₁₀2₁₀2₁₀

1₁₀2₁₀1₁₀

0

47₁₀=101111

0,4₁₀

2₁₀

0,8₁₀

2₁₀

1,6₁₀

2₁₀

1,2₁₀

2₁₀

0,8₁₀

2₁₀

1,6₁₀

2. Преобразовать 47,4₁₀в восьмеричную систему.

47,4₁₀=47₁₀+0,4₁₀

47₁₀8₁₀

40₁₀5₁₀47₁₀=57₈

7₁₀

0,4₁₀

8₁₀

3,2₁₀

8₁₀

1,6₁₀

8₁₀

4,8₁₀

8₁₀

6,4₁₀

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать выводы:

• чем меньше основание новой системы счисления, тем больше разрядов в изображении числа;

• перевод чисел из десятичной системы в двоичную требует выполнения значительного количества действий;

• чем больше основание системы по отношению к десяти, тем менее удобно оно для человека.

Пример 3: 47,4₁₀преобразовать в шестнадцатиричную систему.

47,4₁₀=47₁₀+0,4₁₀

47₁₀16₁₀

32₁₀2₁₀47₁₀=2F₁₆

15₁₀

0,4₁₀

16₁₀

6,4₁₀

16₁₀

6,4₁₀

Примеры обратных переводов чисел, т.е. из системы с в системуQ=10:

Пример 1:

Анализ полученного результата позволяет сделать вывод, что истинное значение в новой десятичной системе счисления получить не удается, результат есть приближенное уменьшенное значение, причем количество разрядов в дробной части исходного числа определяет степень погрешности результата. Чем разрядов больше, тем погрешность меньше.

Пример 2: 2F,66₁₆преобразовать в десятичную систему.

Анализ обратных преобразований подтверждает ранее сделанные выводы о количестве цифр при изображении чисел в различных традиционных системах счисления, а также количестве действий при свертывании полиномов. Исходя из изложенного были разработаны промежуточные методы перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот, с использованием промежуточных систем счисления.

Промежуточная – система счисления, основание которой кратно 2 в целой положительной степени (n).

Следовательно, основания любой промежуточной системы вычисляются зависимостью: Р=2ⁿ, т.е. Р=4, Р=8, Р=16, Р=32 и т.д.

В настоящее время широко используются 2 промежуточные системы: восьмеричная (Р=8) и шестнадцатиричная (Р=16). Для рассмотрения методики представления чисел в промежуточных системах выполним таблицу записи чисел (целых, положительных) в некоторых из них:

10^ая	8^ая	5^ая	2^ая	16^ая
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20	0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31	0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

32