- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
2.Производная
Пусть определена в окрестности точки .
Поскольку на множестве определена функция и- предельная точка для , то можно ставить вопрос
о существовании предела разностного отношения в точке.
Определение 19.2. Число (если оно существует) называютпроизводной функции в точкеи обозначают символом.
Итак,
, (2)
при условии, что предел существует.
Для обозначения производной также используется символ .
Например, скорость прямолинейного движения есть производная перемещения как функции времени. Часто полезно, по аналогии с этим, трактовать и производную любой функции в точке как скорость изменения функции в этой точке. Пример- скорость химической реакции.
Пример 1'. Линейная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная - постоянная.
◄Действительно,
.►
В частности, постоянная имеет всюду производную, равную нулю, а тождественная функция - производную, равную единице.
Пример 2'. Квадратичная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная равна.
◄Действительно,
.►
Пример 3'. Модуль не имеет производной в точке 0.
◄Действительно, не существует, поскольку предел приэтого отношения равен 1, а предел приравен -1 и, следовательно, предел прине существует ►
В этом примере мы встретились с ситуацией, когда существуют и . Эти величины называются, соответственно, правой и левой производной и обозначаются . Для существования производной, по теореме 9.4, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны друг другу.
Теорема 19.2. Функция , дифференцируемая в точке, имеет в этой точке производную, и последняя равна коэффициенту в представлении функции по формуле (1).
◄Согласно определению 1, -- предельная точка области определения функции . В силу формулы(1), для всех. .Так как при, то на основании формулы(2) заключаем, что существует и равна.►
Из единственности предела следует единственность коэффициента в формуле (1). Теорема 19.2 показывает, что функция , дифференцируемая в точке, представима в виде
, (3)
где при.
На основании теоремы 19.2 утверждения примеров 1' - 2' являются следствиями соответствующих утверждений примеров 1-2. Вместе с тем, пример 3’ показывает, что функция не является дифференцируемой в точке 0.
Теорема 19.3. Функция , имеющая производную в точке, дифференцируема в этой точке.
◄По условию, существует . Следовательно, по теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,
, (4)
где и при. Положим
Тогда также прии по формуле (4') для всех справедлива формула (3). Тем самым, дифференцируема в точке(с коэффициентом).►
Таким образом, сказать, что числовая функция дифференцируема в данной точке, или что она имеет в этой точке производную, одно и то же. Нахождение производной функции у функцииназываютдифференцированием этой функции.
3. Касательная к графику функции
Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение касательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых привело к созданию дифференциального исчисления.
Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линией служит график функции.
Определение 19.3. Пусть числовая функция определена на невырожденном промежуткеи непрерывна в его точке(так что расстояниеот соответствующей точки графика до его точки , , стремится к нулю при) .Касательной к графику функции в точке называют такую прямую, проходящую через , что отношение расстояния от точки до этой прямой к расстоянию от до стремится к нулю при (т.е.что бесконечно мало по сравнению с при ).
Суть этого определения можно наглядно описать следующим образом: если представить, что точка движется по линии к точке касания ,то, какова бы ни была точность наблюдения, с некоторого момента точка , будучи еще отличной от ,уже неотличима от своей проекции на касательную (рис. 14). Таким образом, кривая, обладающая в точке касательной, почти сливается с ней вблизи этой точки.
Теорема 19.4. Если функция , определенная на промежутке, дифференцируема в его точке, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен .
◄ По условию и по теореме 19.2 предыдущего пункта, представление
, (5)
справедливо для всех, принадлежащих некоторой окрестности точки , ипри. Прямая с угловым коэффициентом , проходящая через точку , имеет уравнение
. (6)
Пусть - точка графика с абсциссой и (рис. 15), - проекция этой точки на прямую (6) и -точка этой прямой с абсциссой . Тогда направленный отрезок равен ,так что, вычитая (8) из (7), получаем .Так как ,а , то . Но при . Следовательно, при , т.е. (7) - уравнение касательной к графику функциив его точке . ►
Таким образом, нахождение углового коэффициента касательной (как и нахождение скорости) приводит к вычислению производной.
Замечание 1. Секущая имеет угловой коэффициент (см. рис. 15). Таким образом теорема 1 показывает, что угловой коэффициент касательной в точке есть предел углового коэффициента секущейпри .