- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Вопрос 22.
Эластичность и её свойства.
Определение. Пусть функция y определена в некоторой окрестности точки x, дифференцируема в точке x и y(x) ≠ 0. Эластичностью функции y в точке x называется величина
(y) = (1)
Если предположить, что x , то можно рассматривать величину
, (2)
которая характеризует величину относительного изменения y в результате соответствующего относительного изменения x; например, процентное изменение спроса на товар в результате однопроцентного изменения цены этого товара. Тогда из (1) и (2) следует, что
Если y>0, то по теореме о производной сложной функции.
Если y<0, то ,
поэтому при y<0
Следовательно, формулу (1) можно переписать в виде
при y>0
(3)
при y<0
Обе эти формулы можно объединить в одну : .
Теорема. 1) Если u, v – функции, для которых определены эластичности и,
То: =+,
(4)
-.
2) Если для функции y = y(x), определённой на интервале , существует обратная функцияx = x(y), причём y дифференцируема на этом интервале и ни в одной точкеx интервала не выполняется равенство , то для всехx0,y0 определены величиныи,
причём =(5)
◄По формуле
= ;
= Равенства (4) доказаны.
Далее, по теореме о производной сложной функции ,
что в соответствии с (1) даёт
, т.е (5) ►
В качестве примера рассмотрим ценовую эластичность спроса.
Пусть P – первоначальная цена товара, Q – первоначальное количество получаемой продукции, т.е. первоначальный спрос, - изменение цены,- соответствующее изменение спроса. Обычно при повышении цены, т.е. при>0, спрос на товар сокращается, т.е.<0, поэтому
и,
по теореме о предельном переходе в неравенствах, .
Величина эластичности в зависимости от цен представляет собой важную характеристику спроса на товар.
Спрос является эластичным, если . Причём уменьшение цен на 1% вызывает увеличение спроса меньше, чем на 1%.
При спросе с единичной эластичностью, т.е. , процент увеличения спроса равен проценту уменьшения цен товара.
Теорема. Пусть R(P) = P*Q(P) – выручка от реализации по цене P продукции в объёме Q(P) .
Пусть Q(P) – дифференцируемая функция. Если , т.е. если спрос эластичен, то с ростом цен выручка уменьшается, а с уменьшением цен – возрастает.
Если , т.е. если спрос неэластичен,, то с ростом цен выручка растёт, с уменьшением цен выручка уменьшается.
Если , то выручка не меняется с изменением цен.
Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
Пусть - некоторая проколотая окрестность точки а.
Определение: Точка а – точка локального максимума f(x), если для всех xвыполняется неравенствоf(x)<f(a).Если для всех xвыполняется неравенство, то говорят о точкенестрогого максимума.
Аналогичным образом определяются точки локального минимума и нестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие в определение неравенства неравенствами и, соответственно.
Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точки экстремума.
Теорема 23.1(П. Ферма): Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная Тогда=0.
◄Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всехxвыполняется неравенствоf(x)<f(a), или . Еслиxих<a, то .
По условию существует производная . Значит, существует. По теореме о предельном переходе в неравенствах,.
Аналогично, приx,х>a выполняется неравенство , поэтому. Так как,==, должны выполняться неравенства, из которых следует доказываемое равенство=0. ►
Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция . Она имеет минимум в точке х=0. однако,ине существует.
Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: . Эта функция имеет производную, обращающуюся в ноль при х=0, однаковозрастает на всей числовой прямой.
Следствие (необходимые условия экстремума). Если функция непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х0 , в которых производная функции либо не существует, либо обращается в 0.
Теорема 23.2(М.Ролль) Пусть
Тогда существует точка с(a;b) такая, что =0.
◄Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], она принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m.
Если оказалось, что m=M, то это означает, что m=f(x)=M для всех x[a;b], т.е. функция - постоянная на [a;b]. Поэтому для всех х(a;b) имеет место равенство =0.
Если же mM, т.е. m<M, то хотя бы одно из этих значений функция принимает во внутренней точке [a;b].
Действительно, по условию 3) значения f(a) и f(b) равны друг другу и могут оказаться равны не более, чем одному из чисел m, M.
Пусть, например, М=f(c), где с(a;b). Так как М наибольшее значение функции f(x) на всем отрезке [a;b], то оно будет наибольшим и для x, т.е.с – точка локального экстремума.
По условию 2), в этой точке существует производная . По теореме Ферма,=0.►
Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным.
Примеры. 1)
Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех имеем=1.
2) f(x)=,x[-1;1].
Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): =-1; на интервале (0;1):=1. В точкеx=0 производная не существует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что =0
3) f(x)=x
Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем =1.
Следствие теоремы 23.2: Пусть
Тогда существует точка такая, что.
◄Для функции на отрезке [x0;x] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому существует точка такая, что .
Рассмотрим функцию на отрезке [x0;c1]. Для нее также выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому существует точка с2 , , такая что.
Аналогичными рассуждениями получаем, что существуют точки такие, чтоНаконец, рассмотрим функциюна отрезке [x0;cn]. она тоже удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.к. существует на (x0;), значит и на (x0;cn). Поэтому, по теореме Ролля, существует точка такая, что.►
Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя бы одна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.